Lý thuyết tích vô hướng hai vector

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
I. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ
1. ĐỊNH NGHĨA

Với mỗi góc α (0$^0$ ≤ α ≤ 180$^0$), ta xác định điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho MOx = α. Giả sử điểm M có toạ độ (x, y). Khi đó:
  • Tung độ y của điểm M gọi là sin của góc α, kí hiệu là sinα.
  • Hoành độ x của điểm M gọi là côsin của góc α, kí hiệu là cosα.
  • Tỉ số $\frac{y}{x}$ (với x ≠ 0) gọi là tang của góc α, kí hiệu là tanα.
  • Tỉ số $\frac{x}{y}$ (với y ≠ 0) gọi là côtang của góc α, kí hiệu là cotα.
Các số sinα, cosα, tanα, cotα gọi là các giá trị lượng giác của góc α.
Ta có: sinα = y, cosα = x, tanα = $\frac{y}{x}$ = $\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}$, cotα = $\frac{x}{y}$ = $\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}$.
Giá trị lượng giác của hai góc bù nhau
a. sin(180$^0$ - α) = sinα.​
b. cos(180$^0$ - α) = cosα.​
c. tan(180$^0$ - α) = - tanα.​
d. cot(180$^0$ - α) = - cotα.​
Hàm số lượng giác của hai góc phụ nhau
a. sin(90$^0$ - α) = cosα.​
b. cos(90$^0$ - α) = sinα.​
c. tan(90$^0$ - α) = cotα.​
d. cot(90$^0$ - α) = tanα.​
2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG ĐẶC BIỆT
tích vô hướng hai vector.png


3. CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
a. Sin$^2$α + cos$^2$α = 1.​
b. tanα = $\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}$ và cotα = $\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}$.​
c. tanα.cotα = 1.​
d. $\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}$ = 1 + tan$^2$α và $\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}$ = 1 + cot$^2$α.​
II. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
1. GÓC GIỮA HAI VECTƠ

  • Cho hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ ($\vec a$, $\vec b$ ≠ $\overrightarrow 0 $). Từ điểm O nào đó, ta vẽ các vectơ $\overrightarrow {OA} $ = $\vec a$ và $\overrightarrow {OB} $ = $\vec b$. Khi đó: Số đo của góc AOB được gọi là số đo của góc giữa hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$, hoặc góc giữa hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$.
  • Ta thấy ngay việc xác định góc giữa hai vectơ không phụ thuộc vào việc chọn điểm O, do đó góc giữa hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ được kí hiệu là ($\vec a$, $\vec b$).

2. ĐỊNH NGHĨA TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
Định nghĩa:
Tích vô hướng của hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ kí hiệu là $\vec a$.$\vec b$ là một số thực được xác định bởi:
$\vec a$.$\vec b$ = |$\vec a$|.|$\vec b$|.cos($\vec a$,$\vec b$).
Từ định nghĩa với $\vec a$, $\vec b$ ≠ $\overrightarrow 0 $ ta có các kết quả:
a. ${\vec a^2}$ = $\vec a$.$\vec a$.cos0$^0$ = |$\vec a$|$^2$.​
b. $\vec a$.$\vec b$ > 0 ⇔ cosα > 0 ⇔ 0$^0$ ≤ α < 90$^0$.​
c. $\vec a$.$\vec b$ = 0 ⇔ cosα = 0 ⇔ α = 90$^0$ ⇔ $\vec a$ ⊥ $\vec b$.​
d. $\vec a$.$\vec b$ < 0 ⇔ cosα < 0 ⇔ 90$^0$ < α ≤ 180$^0$.​
Nếu một trong hai vectơ bằng $\overrightarrow 0 $ thì ta quy ước: $\vec a$.$\overrightarrow 0 $ = $\vec b$.$\overrightarrow 0 $ = 0.

3. TÍNH CHẤT CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG
Với mọi vectơ $\vec a$, $\vec b$, $\overrightarrow c $ và với mọi số thực k ta đều có :
  • Tính chất 1 (Tính chất giao hoán): $\vec a$.$\vec b$ = $\vec b$.$\vec a$.
  • Tính chất 2 (Tính chất phân phối): $\vec a$.($\vec b$ + $\overrightarrow c $) = $\vec a$.$\vec b$ + $\vec a$.$\overrightarrow c $
  • Tính chất 3 m($\vec a$).$\vec b$ = m($\vec a$.$\vec b$).
4. BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG
  • Nếu $\vec a$(a$_1$, a$_2$) và $\vec b$(b$_1$, b$_2$) thì: $\vec a$.$\vec b$ = a$_1$.b$_1$ + a$_2$.b$_2$.
  • Góc α giữa hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ xác định bởi: cosα = $\frac{{{a_1}.{b_1} + {a_2}.{b_2}}}{{\sqrt {a_1^2 + a_2^2} .\sqrt {b_1^2 + b_2^2} }}$.
III. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
1. ĐỊNH LÍ CÔSIN TRONG TAM GIÁC

Trong ΔABC có AB = c, BC = a, CA = b ta có:
  • a$^2$ = b$^2$ + c$^2$ - 2bccosA;
  • b$^2$ = a$^2$ + c$^2$ - 2accosB;
  • c$^2$ = a$^2$ + b$^2$ - 2abcosC.
2. ĐỊNH LÍ SIN TRONG TAM GIÁC
Trong ΔABC có AB = c, BC = a, CA = b ta có: $\frac{a}{{\sin A}}$ = $\frac{b}{{\sin B}}$ = $\frac{c}{{\sin C}}$ = 2R, trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC.

3. TỔNG BÌNH PHƯƠNG HAI CẠNH VÀ ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC
Trong ΔABC có AB = c, BC = a, CA = b và các đường trung tuyến tương ứng là m$_a$, m$_b$, m$_c$, ta có:
  • b$^2$ + c$^2$ = 2$m_a^2$ + $\frac{{{a^2}}}{2}$,
  • c$^2$ + a$^2$ = 2$m_b^2$ + $\frac{{{b^2}}}{2}$,
  • a$^2$ + b$^2$ = 2$m_c^2$ + $\frac{{{c^2}}}{2}$.
4. DIỆN TÍCH TAM GIÁC
Trong ΔABC có AB = c, BC = a, CA = b và các đường cao tương ứng là h$_a$, h$_b$, h$_c$, ta có:
  • S = $\frac{1}{2}$aha = $\frac{1}{2}$bhb = $\frac{1}{2}$chc.
  • S = $\frac{1}{2}$bcsinA = $\frac{1}{2}$acsinB = $\frac{1}{2}$absinC = $\frac{{abc}}{{4R}}$
  • S = pr = $\sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} $.
với p là nửa chu vi tam giác, r bán kính đường tròn nội tiếp).
 

Chương 7: Vector, tích vô hướng hai vecto

Lý thuyết vecto

Tọa độ vecto

Tích vô hướng

Góc trong tam giác