Quy nạp toán học là một phương pháp chứng minh toán học dùng để chứng minh một mệnh đề về bất kỳ tập hợp nào được xếp theo thứ tự.
Gọi P( n ) là một mệnh đề chứa biến \(n\left( {n \in {N^*}} \right)\). Chứng minh P( n ) đúng với mọi số tự nhiên \(n \in {N^*}\).
Phương pháp quy nạp toán học:
Ta có:
$\begin{array}{*{20}{l}} \begin{array}{l} {\left( {k + 1} \right)^7} - \left( {k + 1} \right)\\ = C_7^0.{k^7} + C_7^1.{k^6} + C_7^2.{k^5} + C_7^3.{k^4} + C_7^4.{k^3} + C_7^5.{k^2} + C_7^6.k + C_7^7 - \left( {k + 1} \right) \end{array}\\ {\begin{array}{*{20}{l}} { = {k^7} + 7{k^6} + 21{k^5} + 35{k^4} + 35{k^3} + 21{k^2} + 7k + 1 - k - 1}\\ { = \left( {{k^7} - k} \right) + 7\left( {{k^6} + 3{k^5} + 5{k^4} + 5{k^3} + 3{k^2} + k} \right)} \end{array}} \end{array}$
Do và \(7\left( {{k^6} + 3{k^5} + 5{k^4} + 5{k^3} + 3{k^2} + k} \right) \vdots 7\) nên \(P\left( {k + 1} \right) = {\left( {k + 1} \right)^7} - \left( {k + 1} \right) \vdots 7\).
Vậy mệnh đề đã cho đúng.
Sử dụng phương pháp quy nạp toán học đã nêu ở trên.
1. Kiến thức cần nhớ
Bài toán:Gọi P( n ) là một mệnh đề chứa biến \(n\left( {n \in {N^*}} \right)\). Chứng minh P( n ) đúng với mọi số tự nhiên \(n \in {N^*}\).
Phương pháp quy nạp toán học:
- Bước 1: Chứng minh P( n ) đúng với \(n = 1\).
- Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý, giả sử P( n ) đúng với \(n = k \ge 1\), chứng minh P( n ) cũng đúng khi \(n = k + 1\).
- Bước 1: Chứng minh P( n ) đúng với \(n = p\).
- Bước 2: Với \(k \ge p\) là một số nguyên dương tùy ý, giả sử P( n ) đúng với \(n = k\), chứng minh P( n ) cũng đúng khi \(n = k + 1\).
Giải
Đặt \(P\left( n \right) = {n^7} - n\).- Với \(n = 1\) thì \(P\left( 1 \right) = {1^7} - 1 = 0 \vdots 7\) nên \(P\left( 1 \right)\) đúng.
- Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k \in {N^*}\), tức là \(P\left( k \right) = \left( {{k^7} - k} \right) \vdots 7\).
Ta có:
$\begin{array}{*{20}{l}} \begin{array}{l} {\left( {k + 1} \right)^7} - \left( {k + 1} \right)\\ = C_7^0.{k^7} + C_7^1.{k^6} + C_7^2.{k^5} + C_7^3.{k^4} + C_7^4.{k^3} + C_7^5.{k^2} + C_7^6.k + C_7^7 - \left( {k + 1} \right) \end{array}\\ {\begin{array}{*{20}{l}} { = {k^7} + 7{k^6} + 21{k^5} + 35{k^4} + 35{k^3} + 21{k^2} + 7k + 1 - k - 1}\\ { = \left( {{k^7} - k} \right) + 7\left( {{k^6} + 3{k^5} + 5{k^4} + 5{k^3} + 3{k^2} + k} \right)} \end{array}} \end{array}$
Do và \(7\left( {{k^6} + 3{k^5} + 5{k^4} + 5{k^3} + 3{k^2} + k} \right) \vdots 7\) nên \(P\left( {k + 1} \right) = {\left( {k + 1} \right)^7} - \left( {k + 1} \right) \vdots 7\).
Vậy mệnh đề đã cho đúng.
2. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Chứng minh mệnh đề.
Phương pháp:Sử dụng phương pháp quy nạp toán học đã nêu ở trên.
Dạng 2: Tìm công thức tổng quát cho tổng dãy số.
Phương pháp:- Bước 1: Dự đoán công thức tổng quát cho tổng dãy số.
- Bước 2: Sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức vừa dự đoán.
Sửa lần cuối: