Toán 12 Lý thuyết nguyên hàm

Công thức nguyên hàm không thể thiếu trong bộ môn giải tích lớp 12, cũng là một trong những khái niệm xuất hiện khá nhiều trong đề thi đại học

1. Kiến thức cần nhớ
+ Định nghĩa: \(\int {f(x)dx = F(x) + C \Leftrightarrow F'(x) = f(x)} \)
+ Tính chất:
1/ \(\int {f'(x)dx = f(x) + C} \)
2/\(\int {kf(x)dx = k\int {f(x)dx} } \) với \(\forall k \ne 0\).
3/ \(\int {\left[ {f(x) \pm g(x)} \right]dx = } \int {f(x)dx} \pm \int {g(x)dx} \)
+ Bảng nguyên hàm:

2. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tìm nguyên hàm của hàm số.
Phương pháp:
- Bước 1: Biến đổi hàm số \(f\left( x \right)\) về các hàm số sơ cấp có nguyên hàm đã biết.
- Bước 2: Sử dụng định nghĩa, tính chất, bảng nguyên hàm,…để tìm nguyên hàm các hàm số.
Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}}{{{x^2}}}\).
Ta có: \(f\left( x \right) = \dfrac{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}}{{{x^2}}} = \dfrac{{{x^4} - 2{x^2} + 1}}{{{x^2}}} \) \(= {x^2} - 2 + \dfrac{1}{{{x^2}}}\)
Do đó \(F\left( x \right) = \int {\left( {{x^2} - 2 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)dx} \) \(= \int {{x^2}dx} - 2\int {dx} + \int {\dfrac{1}{{{x^2}}}dx} \) \(= \dfrac{{{x^3}}}{3} - 2x - \dfrac{1}{x} + C\).

Dạng 2: Tìm hàm số cho biết đạo hàm và giá trị của hàm số tại một điểm.
- Bước 1: Tìm nguyên hàm của hàm số đã cho, sử dụng định nghĩa, tính chất, bảng nguyên hàm,…
- Bước 2: Thay giá trị đề bài cho vào và tìm hằng số \(C\) suy ra hàm số cần tìm.
Ví dụ: Tìm hàm số \(F\left( x \right)\) biết \(F'\left( x \right) = \dfrac{{x - 1}}{{\sqrt[3]{x}}}\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) và \(F\left( 1 \right) = 3\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}F'\left( x \right) = \dfrac{{x - 1}}{{\sqrt[3]{x}}} = \left( {x - 1} \right){x^{ - \frac{1}{3}}} = {x^{\frac{2}{3}}} - {x^{ - \frac{1}{3}}}\\ \Rightarrow F\left( x \right) = \int {F'\left( x \right)dx} = \int {\left( {{x^{\frac{2}{3}}} - {x^{ - \frac{1}{3}}}} \right)dx} \end{array}\)
$ = \dfrac{{{x^{\frac{2}{3} + 1}}}}{{\dfrac{2}{3} + 1}} - \dfrac{{{x^{ - \frac{1}{3} + 1}}}}{{ - \dfrac{1}{3} + 1}} + C = \dfrac{3}{5}{x^{\frac{5}{3}}} - \dfrac{3}{2}{x^{\frac{2}{3}}} + C$
Lại có \(F\left( 1 \right) = 3\) nên \(\dfrac{3}{5}{.1^{\frac{5}{3}}} - \dfrac{3}{2}{.1^{\frac{2}{3}}} + C = 3 \Leftrightarrow C = \dfrac{{39}}{{10}}\).
Vậy \(F\left( x \right) = \dfrac{3}{5}{x^{\frac{5}{3}}} - \dfrac{3}{2}{x^{\frac{2}{3}}} + \dfrac{{39}}{{10}}\).