Lý thuyết mặt cầu và khối cầu

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Mặt cầu là gì, định nghĩa khối cầu, công thức tính diện tích mặt cầu, công thức thể tích khối cầu, mặt phẳng kính, vị trí tương đối của mặt cầu với mặt phẳng và đường thẳng

1. Định nghĩa

+ Mặt cầu tâm \(O\) bán kính \(R\) là tập hợp các điểm \(M\) trong không gian cách điểm \(O\) cố định một khoảng \(R\) không đổi.
LÝ THUYẾT MẶT CẦU.png
Kí hiệu: \(S\left( {O;R} \right) = \left\{ {\left. M \right|OM = R} \right\}\)
+ Khối cầu tâm \(O\) bán kính \(R\) là tập hợp các điểm \(M\) thuộc mặt cầu và nằm trong mặt cầu.
Kí hiệu: \(V\left( {O;R} \right) = \left\{ {\left. M \right|OM \le R} \right\}\)

2. Vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng

Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(O\), bán kính \(R\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\), gọi \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên \(\left( P \right)\).
Vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng.png
  • Nếu \(OH < R\) thì \(\left( S \right)\) cắt \(\left( P \right)\) theo đường tròn tâm \(H\) và bán kình \(r = \sqrt {{R^2} - O{H^2}} \).
  • Nếu \(OH = R\) thì \(\left( S \right)\) tiếp xúc \(\left( P \right)\) tại tiếp điểm \(H\).
  • Nếu \(OH > R\) thì \(\left( S \right)\) và \(\left( P \right)\) không có điểm chung.
Đặc biệt: Nếu \(OH = 0\left( {O \equiv H} \right)\) thì đường tròn giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( S \right)\) được gọi là đường tròn lớn, \(\left( P \right)\) được gọi là mặt phẳng kính.

3. Vị trí tương đối của mặt cầu và đường thẳng

Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(O\), bán kính \(R\) và đường thẳng \(d\), gọi \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên \(d\).
Vị trí tương đối của mặt cầu và đường thẳng.png
  • Nếu \(OH < R\) thì \(\left( S \right)\) cắt \(d\) tại \(2\) điểm phân biệt.
  • Nếu \(OH = R\) thì \(\left( S \right)\) cắt \(d\) tại một điểm duy nhất \(H\). (\(d\) là tiếp tuyến với mặt cầu, \(H\) là tiếp điểm)
  • Nếu \(OH > R\) thì \(\left( S \right)\) và \(d\) không có điểm chung.

4. Tiếp tuyến với mặt cầu

- Qua một điểm nằm trong mặt cầu không vẽ được tiếp tuyến nào với mặt cầu.
Tiếp tuyến với mặt cầu.png
- Qua một điểm nằm trên mặt cầu vẽ được vô số tiếp tuyến với mặt cầu tại điểm đó. Tập hợp các tiếp tuyến chính là mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu.
- Qua một điểm nằm ngoài mặt cầu vẽ được vô số tiếp tuyến với mặt cầu. Tập hợp các tiếp điểm với mặt cầu là đường tròn nằm trên mặt cầu.