Toán 12 Lũy thừa

Lũy thừa là chuyên đề quan trọng của lớp 12. một phép toán hai ngôi của toán học thực hiện trên hai số a và b, kết quả của phép toán lũy thừa là tích số của phép nhân có b thừa số a nhân với nhau. Lũy thừa ký hiệu là a$^b$, đọc là lũy thừa bậc b của a, số a gọi là cơ số, số b gọi là số mũ.
1. Định nghĩa luỹ thừa

2. Tính chất của luỹ thừa

• Với mọi a > 0, b > 0 ta có: ${a^\alpha }.{a^\beta } = {a^{\alpha + \beta }}\quad ;\quad \frac{{{a^\alpha }}}{{{a^\beta }}} = {a^{\alpha - \beta }}\quad ;\quad {({a^\alpha })^\beta } = {a^{\alpha .\beta }}\;;\quad {(ab)^\alpha } = {a^\alpha }.{b^\alpha }\quad ;\quad {\left( {\frac{a}{b}} \right)^\alpha } = \frac{{{a^\alpha }}}{{{b^\alpha }}}$
• a > 1 : ${a^\alpha } > {a^\beta }\; \Leftrightarrow \;\alpha > \beta $; 0 < a < 1 : ${a^\alpha } > {a^\beta }\; \Leftrightarrow \;\alpha < \beta $
• Với 0 < a < b ta có: \({a^m} < {b^m} \Leftrightarrow m > 0\); \({a^m} > {b^m} \Leftrightarrow m < 0\)

Chú ý:

• Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0.
• Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.

3. Định nghĩa và tính chất căn thức của lũy thừa

• Căn bậc n của a là số b sao cho \({b^n} = a\).
• Với a, b ≥ 0, m, n ∈ N*, p, q ∈ Z ta có: $\sqrt[n]{{ab}} = \sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}$; \(\sqrt[n]{{\frac{a}{b}}} = \frac{{\sqrt[n]{a}}}{{\sqrt[n]{b}}}(b > 0)\); \(\sqrt[n]{{{a^p}}} = {\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^p}(a > 0)\); \(\sqrt[m]{{\sqrt[n]{a}}} = \sqrt[{mn}]{a}\)
  Nếu $\,\frac{p}{n} = \frac{q}{m}\,\, \to \,\sqrt[n]{{{a^p}}} = \sqrt[m]{{{a^q}}}\,\,(a > 0)$; Đặc biệt \(\sqrt[n]{a} = \sqrt[{mn}]{{{a^m}}}\)
• Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì \(\sqrt[n]{a} < \sqrt[n]{b}\).
• Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì \(\sqrt[n]{a} < \sqrt[n]{b}\).

Chú ý:
+ Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n. Kí hiệu \(\sqrt[n]{a}\).
+ Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau.

Xem thêm bài tập