Khoảng cách từ điểm \(M\left( {1;1;1} \right)\) đến mặt phẳng là

Phương Pháp Toạ độ Trong Không Gian| Phương Trình Mặt Phẳng |
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 2}}{3}\), \({d_2}:\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{{ - 3}}\). Mặt phẳng (P) chứa \({d_1}\) và song song với \({d_2}\). Khoảng cách từ điểm \(M\left( {1;1;1} \right)\) đến mặt phẳng là:
A. \(\frac{5}{{\sqrt 3 }}\)
B. 4
C. \(\sqrt 3 \)
D. 1

Ta có \(\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} = \left( {2; - 1;3} \right),\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} = \left( { - 1;2; - 3} \right)\) suy ra \(\left[ {\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} ;\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right] = \left( { - 3;3;3} \right).\)
Mặt phẳng (P) chứa \({d_1}\) và song song \({d_2}\) nên có một VTPT là: \(\overrightarrow n = - \frac{1}{3}\left[ {\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} ;\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right] = \left( {1; - 1; - 1} \right).\)
Ta có: \(A( - 1;1;2) \in {d_1} \Rightarrow A \in \left( P \right)\)
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: \(\left( P \right):x - y - z + 4 = 0.\)
Khoảng cách từ M đến (P) là: \(d(M,(P)) = \frac{{\left| {1 - 1 - 1 + 4} \right|}}{{\sqrt 3 }} = \sqrt 3 .\)