Mặt tròn xoay là một trong những nội dung quan trọng trong chương trình toán học Trung học phổ thông. Chuyên đề này bao gồm nhiều kiến thức như định nghĩa, khái niệm, tính chất và công thức…
- Cho đường thẳng Δ và một điểm \(M \notin \Delta \). Khi đó có một đường tròn \(\left( {{C_M}} \right)\) duy nhất đi qua M là nhận Δ làm trục.
+ Bán kính đường tròn đó là khoảng cách từ M đến Δ.
+ Nếu \(M \in \Delta \) thì quy ước “đường tròn” \(\left( {{C_M}} \right)\) chỉ gồm một điểm.
- Mặt tròn xoay: Trong mặt phẳng (P) cho đường thẳng Δ và một đường \(\left( C \right)\) bất kì (đường cong hoặc đường thẳng). Khi cho \(\left( C \right)\) quay quanh Δ thì ta được mặt tròn xoay trục Δ sinh bởi \(\left( C \right)\).
Cho đường tròn quay quanh đường kính của nó ta sẽ được mặt cầu.
b) Mặt nón tròn xoay
c) Mặt trụ
1. Định nghĩa
- Trục của đường tròn là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn tại tâm của nó.- Cho đường thẳng Δ và một điểm \(M \notin \Delta \). Khi đó có một đường tròn \(\left( {{C_M}} \right)\) duy nhất đi qua M là nhận Δ làm trục.
+ Bán kính đường tròn đó là khoảng cách từ M đến Δ.
+ Nếu \(M \in \Delta \) thì quy ước “đường tròn” \(\left( {{C_M}} \right)\) chỉ gồm một điểm.
- Mặt tròn xoay: Trong mặt phẳng (P) cho đường thẳng Δ và một đường \(\left( C \right)\) bất kì (đường cong hoặc đường thẳng). Khi cho \(\left( C \right)\) quay quanh Δ thì ta được mặt tròn xoay trục Δ sinh bởi \(\left( C \right)\).
2. Ví dụ mặt tròn xoay
a) Mặt cầuCho đường tròn quay quanh đường kính của nó ta sẽ được mặt cầu.
- Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng \(d,d'\) cắt nhau tại (O) và tạo thành góc \(\alpha \left( {{0^0} < \alpha < {{90}^0}} \right)\). Khi quay mặt phẳng (P) xung quanh d thì đường thẳng d' sinh ra một mặt được gọi là mặt nón tròn xoay (gọi tắt mặt nón)
- (O) được gọi là đỉnh của mặt nón, d là trục và d' là đường sinh. Góc \(2\alpha \) được gọi là góc ở đỉnh của mặt nón.
- Hình nón: Cho tam giác (AOB) vuông tại (O). Khi quay tam giác quanh trục \(OA\) thì đường gấp khúc \(ABO\) tạo thành hình nón tròn xoay (gọi tắt hình nón).
- Hình tròn \(\left( {O;OB} \right)\) là mặt đáy của hình nón, \(A\) là đỉnh, \(AB\) là đường sinh, \(AO\) là đường cao.
- Mặt trụ tròn xoay là hình tròn xoay sinh bởi đường thẳng \(l\) khi quay một đường thẳng Δ song song với \(l\).
- Khi đó Δ được gọi là trục, \(R\) là bán kính và \(l\) là đường sinh. Mặt trụ có trục Δ, bán kính \(R\) là tập hợp các điểm cách Δ một khoảng bằng \(R\).
- Hình trụ tròn xoay là hình sinh bởi \(4\) cạnh của hình chữ nhật khi quay quanh một đường trung bình của hình chữ nhật đó, hoặc ta cũng có được hình trụ nếu quay hình chữ nhật quanh một cạnh của nó.
- Đường tròn \(\left( {A;AD} \right)\) và \(\left( {B;BC} \right)\) là hai đáy của hình trụ, \(AD\) là bán kính và \(CD\) là đường sinh, \(AB\) là đường cao.