Lũy thừa là một phép toán hai ngôi của toán học thực hiện trên hai số a và b, kết quả của phép toán lũy thừa là tích số của phép nhân có b thừa số a nhân với nhau.
1. Định nghĩa lũy thừa và căn
- Cho số thực b và số nguyên dương n \((n \ge 2)\). Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu \({a^n} = b\).
- Chú ý: Với n lẻ và \(b \in \mathbb{R}\): Có duy nhất một căn bậc n của \(b\), kí hiệu là \(\sqrt[n]{b}\).
2. Một số tính chất của lũy thừa
- Giả thuyết rằng mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa:
- Nếu a > 1 thì \({a^\alpha } > {a^\beta } \Leftrightarrow \alpha > \beta \); Nếu 0 < a < 1 thì \({a^\alpha } > {a^\beta } \Leftrightarrow \alpha < \beta \).
- Với mọi 0 < a < b, ta có: \({a^m} < {b^m} \Leftrightarrow m > 0\); \({a^m} > {b^m} \Leftrightarrow m < 0\)
- Chú ý:
* Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0 .
* Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.
3. Một số tính chất của căn bậc n
Với \(a,b \in \mathbb{R};n \in {\mathbb{N}^*}\), ta có:
- $\sqrt[{2n}]{{{a^{2n}}}} = \left| a \right|,\,\forall a.$
- \(\sqrt[{2n + 1}]{{{a^{2n + 1}}}} = a,\forall a\).
- $\sqrt[{2n}]{{ab}} = \sqrt[{2n}]{{\left| a \right|}}.\sqrt[{2n}]{{\left| b \right|}},\,\forall ab \ge 0.$
- \(\sqrt[{2n + 1}]{{ab}} = \sqrt[{2n + 1}]{a} \cdot \sqrt[{2n + 1}]{b},\forall a,b\).
- $\sqrt[{2n}]{{\frac{a}{b}}} = \frac{{\sqrt[{2n}]{{\left| a \right|}}}}{{\sqrt[{2n}]{{\left| b \right|}}}},\,\forall ab \ge 0;\,b \ne 0.$
- \(\sqrt[{2n + 1}]{{\frac{a}{b}}} = \frac{{\sqrt[{2n + 1}]{a}}}{{\sqrt[{2n + 1}]{b}}},\forall a,\forall b \ne 0\).
- \(\sqrt[n]{{{a^m}}} = {\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^m},\forall a > 0\), n nguyên dương, M nguyên.
- \(\sqrt[n]{{\sqrt[m]{a}}} = \sqrt[{nm}]{a},\forall a \ge 0\), n ,Mnguyên dương.
- Nếu \(\frac{p}{n} = \frac{q}{m}\) thì \(\sqrt[n]{{{a^p}}} = \sqrt[m]{{{a^q}}}\,,\forall a > 0,m,n\)nguyên dương, \(p,q\) nguyên. Đặc biệt: \(\sqrt[n]{a} = \sqrt[{m \cdot n}]{{{a^m}}}\).
Câu 1. Khẳng định nào sau đây đúng :
A. \({a^{ - n}}\)xác định với mọi \(\forall a \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\};\forall n \in N\)
B. ${a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}};\forall a \in \mathbb{R}$
C. \({a^0} = 1;\forall a \in \mathbb{R}\)
D. \(\sqrt[n]{{{a^m}}} = {a^{\frac{m}{n}}};\forall a \in \mathbb{R};\forall m,n \in \mathbb{Z}\)
Áp dụng tính chất của lũy thừa với số mũ thực ta có đáp án A là đáp án chính xác.
A. \(\forall x \ne \frac{1}{2}\)
B. \(\forall x > \frac{1}{2}\)
C. \(\forall x \in \left( {\frac{1}{2};2} \right)\)
D. \(\forall x \ge \frac{1}{2}\)
Biểu thức \({\left( {2x - 1} \right)^{ - 2}}\)có nghĩa \( \Leftrightarrow 2x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{1}{2}\)
B. \(\forall x \in \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\).
A. $\forall x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$.
C. \(\forall x \in \left( { - 1;1} \right)\).
D. \(\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { \pm 1} \right\}\).
Biểu thức \({\left( {{x^2} - 1} \right)^{\frac{1}{3}}}\)có nghĩa \( \Leftrightarrow {x^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 1\\x < - 1\end{array} \right.\)
A. \(\forall x \in \mathbb{R}\)
B. Không tồn tại \(x\)
C. \(\forall x > 1\) D.\(\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ {\rm{0}} \right\}\)
Biểu thức \({\left( {{x^2} + x + 1} \right)^{ - \frac{2}{3}}}\)có nghĩa \( \Leftrightarrow {x^2} + x + 1 > 0 \Leftrightarrow \forall x \in \mathbb{R}\)
A. a.
B. |a|.
C. - a.
D. ${a^{\frac{n}{2}}}$.
Áp dụng tính chất của căn bậc n
A. ${a^{\frac{n}{{2n + 1}}}}$.
B. |a|.
C. - a.
D. a.
Áp dụng tính chất của căn bậc n
A. \({\rm{T = \{ }} \pm \sqrt[{2017}]{{2016}}{\rm{\} }}\) B \({\rm{T = \{ }} \pm \sqrt[{2016}]{{2017}}{\rm{\} }}\)
C. \({\rm{T = \{ }}\sqrt[{2016}]{{2017}}{\rm{\} }}\)
D. \({\rm{T = \{ }} - \sqrt[{2016}]{{2017}}{\rm{\} }}\)
Áp dụng tính chất của căn bậc n
A. Phương trình \({x^{2015}} = - 2\) vô nghiệm.
B. Phương trình \({x^{21}} = 21\) có 2 nghiệm phân biệt.
C. Phương trình \({x^e} = \pi \) có 1 nghiệm.
D. Phương trình \({x^{2015}} = - 2\) có vô số nghiệm.
Áp dụng tính chất của căn bậc n
A. Có một căn bậc n của số 0 là 0.
B. \( - \frac{1}{3}\) là căn bậc 5 của \( - \frac{1}{{243}}\).
C. Có một căn bậc hai của 4.
D. Căn bậc 8 của 2 được viết là \( \pm \sqrt[8]{2}\).
Áp dụng tính chất của căn bậc n
A. 12
B. 16
C. 18
D. 24
Phương pháp tự luận. ${\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^{ - 0,75}} + {\left( {\frac{1}{8}} \right)^{ - \frac{4}{3}}} = {({2^{ - 4}})^{\frac{{ - 3}}{4}}} + {\left( {{2^{ - 3}}} \right)^{\frac{{ - 4}}{3}}} = {2^3} + {2^4} = 24$
Phương pháp trắc nghiệm. Sử dụng máy tính
Phương pháp trắc nghiệm. Sử dụng máy tính
A. \({a^{\frac{5}{4}}}\)
B. \({a^{\frac{1}{4}}}\)
C. \({a^{\frac{3}{4}}}\)
D. \({a^{\frac{1}{2}}}\)
Phương pháp tự luận. \(\sqrt {a\sqrt a } = \sqrt a .\sqrt[4]{a} = {a^{\frac{1}{2}}}.{a^{\frac{1}{4}}} = {a^{\frac{3}{4}}}\)
Phương pháp trắc nghiệm. Gán một hoặc hai giá trị để kiểm tra kết quả. Cụ thể gán \(a = 2\) rồi sử dụng máy tính kiểm tra các đáp số bằng cách xét hiệu bằng không, sau đó để an toàn chọn thêm một giá trị bất kỳ nữa, nhập vào máy tính\(\sqrt {a\sqrt a } - {a^{\frac{3}{4}}}\)được kết quả 0 suy ra A là đáp án đúng.
Phương pháp trắc nghiệm. Gán một hoặc hai giá trị để kiểm tra kết quả. Cụ thể gán \(a = 2\) rồi sử dụng máy tính kiểm tra các đáp số bằng cách xét hiệu bằng không, sau đó để an toàn chọn thêm một giá trị bất kỳ nữa, nhập vào máy tính\(\sqrt {a\sqrt a } - {a^{\frac{3}{4}}}\)được kết quả 0 suy ra A là đáp án đúng.
A. \( - \frac{{13}}{6}\).
B. \(\frac{{13}}{6}\).
C. \(\frac{5}{6}\).
D. $ - \frac{5}{6}$.
Phương pháp tự luận. $\frac{{\sqrt {2\sqrt[3]{4}} }}{{{{16}^{0,75}}}} = \frac{{\sqrt 2 .\sqrt[6]{{{2^2}}}}}{{{{\left( {{2^4}} \right)}^{\frac{3}{4}}}}} = \frac{{{2^{\frac{5}{6}}}}}{{{2^3}}} = {2^{\frac{{ - 13}}{6}}}$.
A. \(\frac{2}{{15}}\).
B. \(\frac{4}{{15}}\).
C. \(\frac{2}{5}\).
D. \(\frac{{ - 2}}{{15}}\).
Phương pháp tự luận. $\sqrt[5]{{\frac{b}{a}\sqrt[3]{{\frac{a}{b}}}}} = \sqrt[5]{{\frac{b}{a}}}.\sqrt[{15}]{{\frac{a}{b}}} = {\left( {\frac{a}{b}} \right)^{ - \frac{1}{5}}}.{\left( {\frac{a}{b}} \right)^{\frac{1}{{15}}}} = {\left( {\frac{a}{b}} \right)^{ - \frac{2}{{15}}}}$.
A. \(\frac{1}{3}\)
B. - 1
C. 1
D. \(\frac{1}{2}\)
Phương pháp tự luận. ${a^{\frac{2}{3}}}\sqrt a = {a^{\frac{2}{3}}}.{a^{\frac{1}{2}}} = {a^{\frac{5}{6}}} \Rightarrow m = \frac{5}{6}$;${b^{\frac{2}{3}}}:\sqrt b = {b^{\frac{2}{3}}}:{b^{\frac{1}{2}}} = {b^{\frac{1}{6}}} \Rightarrow n = \frac{1}{6}$
\( \Rightarrow m + n = 1\)
\( \Rightarrow m + n = 1\)
A. \( - \frac{{11}}{6}\)
B. \(\frac{{11}}{6}\)
C. \(\frac{8}{5}\)
D. \( - \frac{8}{5}\)
Phương pháp tự luận. ${x^{\frac{4}{5}}}.\sqrt[6]{{{x^5}\sqrt x }} = {x^{\frac{4}{5}}}.{x^{\frac{5}{6}}}.{x^{\frac{1}{{12}}}} = {x^{\frac{{103}}{{60}}}} \Rightarrow m = \frac{{103}}{{60}}$
${y^{\frac{4}{5}}}:\sqrt[6]{{{y^5}\sqrt y }} = {y^{\frac{4}{5}}}:\left( {{y^{\frac{5}{6}}}.{y^{\frac{1}{{12}}}}} \right) = {y^{ - \frac{7}{{60}}}} \Rightarrow n = - \frac{7}{{60}}$\( \Rightarrow m - n = \frac{{11}}{6}\)
${y^{\frac{4}{5}}}:\sqrt[6]{{{y^5}\sqrt y }} = {y^{\frac{4}{5}}}:\left( {{y^{\frac{5}{6}}}.{y^{\frac{1}{{12}}}}} \right) = {y^{ - \frac{7}{{60}}}} \Rightarrow n = - \frac{7}{{60}}$\( \Rightarrow m - n = \frac{{11}}{6}\)
A. \(\frac{{2017}}{{567}}\)
B. \(\frac{{11}}{6}\)
C. \(\frac{{53}}{{24}}\)
D. \(\frac{{2017}}{{576}}\)
Phương pháp tự luận.
Ta có: $\sqrt {\frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt[4]{8}}}} = \frac{{\sqrt 2 .\sqrt[4]{2}}}{{\sqrt[8]{{{2^3}}}}} = {2^{\frac{3}{8}}} \Rightarrow x = \frac{3}{8}$; $\frac{{2\sqrt 8 }}{{\sqrt[3]{4}}} = \frac{{{{2.2}^{\frac{3}{2}}}}}{{{2^{\frac{2}{3}}}}} = {2^{\frac{{11}}{6}}} \Rightarrow y = \frac{{11}}{6}$\( \Rightarrow \) \({x^2} + {y^2} = \frac{{53}}{{24}}\)
Ta có: $\sqrt {\frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt[4]{8}}}} = \frac{{\sqrt 2 .\sqrt[4]{2}}}{{\sqrt[8]{{{2^3}}}}} = {2^{\frac{3}{8}}} \Rightarrow x = \frac{3}{8}$; $\frac{{2\sqrt 8 }}{{\sqrt[3]{4}}} = \frac{{{{2.2}^{\frac{3}{2}}}}}{{{2^{\frac{2}{3}}}}} = {2^{\frac{{11}}{6}}} \Rightarrow y = \frac{{11}}{6}$\( \Rightarrow \) \({x^2} + {y^2} = \frac{{53}}{{24}}\)
A. 0,09
B. 0,9
C. 0,03
D. 0,3
Phương pháp tự luận.
Vì \(x = 0,09 > 0\) nên ta có: $f\left( x \right) = \sqrt[3]{x}.\sqrt[6]{x} = {x^{\frac{1}{3}}}.{x^{\frac{1}{6}}} = {x^{\frac{1}{2}}} = \sqrt x \left( {\forall x \ge 0} \right)$$ \Rightarrow f\left( {0,09} \right) = 0,3$
Vì \(x = 0,09 > 0\) nên ta có: $f\left( x \right) = \sqrt[3]{x}.\sqrt[6]{x} = {x^{\frac{1}{3}}}.{x^{\frac{1}{6}}} = {x^{\frac{1}{2}}} = \sqrt x \left( {\forall x \ge 0} \right)$$ \Rightarrow f\left( {0,09} \right) = 0,3$
A. 0,13.
B. 1,3.
C. 0,013.
D. 13.
Phương pháp tự luận.
Vì \(x = 1,3 > 0\) nên ta có: $f\left( x \right) = \frac{{\sqrt x \sqrt[3]{{{x^2}}}}}{{\sqrt[6]{x}}} = \frac{{{x^{\frac{1}{2}}}.{x^{\frac{2}{3}}}}}{{{x^{\frac{1}{6}}}}} = x$$ \Rightarrow f\left( {1,3} \right) = 1,3$
Vì \(x = 1,3 > 0\) nên ta có: $f\left( x \right) = \frac{{\sqrt x \sqrt[3]{{{x^2}}}}}{{\sqrt[6]{x}}} = \frac{{{x^{\frac{1}{2}}}.{x^{\frac{2}{3}}}}}{{{x^{\frac{1}{6}}}}} = x$$ \Rightarrow f\left( {1,3} \right) = 1,3$
A. 0,027.
B. 0,27.
C. 2,7.
D. 27.
Phương pháp tự luận.
Vì \(x = 2,7 > 0\) nên ta có: $f\left( x \right) = \sqrt[3]{x}\sqrt[4]{x}\sqrt[{12}]{{{x^5}}} = {x^{\frac{1}{3}}}.{x^{\frac{1}{4}}}.{x^{\frac{5}{{12}}}} = x$$ \Rightarrow f\left( {2,7} \right) = 2,7$.
Vì \(x = 2,7 > 0\) nên ta có: $f\left( x \right) = \sqrt[3]{x}\sqrt[4]{x}\sqrt[{12}]{{{x^5}}} = {x^{\frac{1}{3}}}.{x^{\frac{1}{4}}}.{x^{\frac{5}{{12}}}} = x$$ \Rightarrow f\left( {2,7} \right) = 2,7$.
A. $ - 9{a^2}\left| b \right|$.
B. $9{a^2}\left| b \right|$.
C. $9{a^2}b$.
D. $3{a^2}\left| b \right|$.
Phương pháp tự luận. $\sqrt {81{a^4}{b^2}} = \sqrt {{{\left( {9{a^2}b} \right)}^2}} = \left| {9{a^2}b} \right| = 9{a^2}\left| b \right|$.
A. a < 1.
B. 0 < a < 1.
C. a > 1.
D. 1 < a < 2.
Do \(\sqrt 3 < \sqrt 7 \) và số mũ không nguyên \( \Rightarrow {a^{\sqrt 3 }} > {a^{\sqrt 7 }}\) $ \Leftrightarrow 0 < a < 1$.
A. a > 1.
B. a < 1.
C. 0 < a < 1.
D. 1 < a < 2.
Do \( - \frac{1}{{17}} > - \frac{1}{8}\) và số mũ không nguyên nên \({a^{ - \frac{1}{{17}}}} > {a^{ - \frac{1}{8}}}\) khi a > 1.
A. 1 < a < 2.
B. a < 1.
C. 0 < a < 1.
D. a > 1.
Do \( - 0,25 > - \sqrt 3 \) và số mũ không nguyên nên \({a^{ - 0,25}} > {a^{ - \sqrt 3 }}\) khi a > 1.
A. a + b.
B. $\sqrt a - \sqrt b $.
C. $\sqrt a + \sqrt b $.
D. a - b.
\(\frac{{\frac{{{a^{1,5}} + {b^{1,5}}}}{{{a^{0,5}} + {b^{0,5}}}} - {a^{0,5}}{b^{0,5}}}}{{{a^{0.5}} - {b^{0.5}}}} = \frac{{\frac{{{{\left( {\sqrt a } \right)}^3} + {{\left( {\sqrt b } \right)}^3}}}{{\sqrt a + \sqrt b }} - \sqrt {ab} }}{{\sqrt a - \sqrt b }} = \frac{{\sqrt a - 2\sqrt {ab} + \sqrt b }}{{\sqrt a - \sqrt b }} = \sqrt a - \sqrt b \)
A. ${x^2}\left( {x + 1} \right)$.
B. $ - {x^2}\left( {x + 1} \right)$
C. ${x^2}\left( {x - 1} \right)$.
D. ${x^2}\left( {x + 1} \right)$.
Phương pháp tự luận. $\sqrt[4]{{{x^8}{{\left( {x + 1} \right)}^4}}} = \sqrt[4]{{{x^2}{{\left( {x + 1} \right)}^4}}} = \left| {{x^2}\left( {x + 1} \right)} \right| = {x^2}\left| {x + 1} \right|$.
A. $ - x{\left( {x + 1} \right)^3}$.
B. $x{\left( {x + 1} \right)^3}$.
C. $\left| {x{{\left( {x + 1} \right)}^3}} \right|$.
D. $x\left| {{{\left( {x + 1} \right)}^3}} \right|$.
Phương pháp tự luận. $\sqrt[3]{{{x^3}{{\left( {x + 1} \right)}^9}}} = \sqrt[3]{{{{\left( {x{{\left( {x + 1} \right)}^3}} \right)}^3}}} = x{\left( {x + 1} \right)^3}$
A. ${a^0} = 1\forall a$.
B. ${a^2} > 1 \Leftrightarrow a > 1$.
C. $2\sqrt 3 < 3\sqrt 2 $.
D. ${\left( {\frac{1}{4}} \right)^{ - 1}} < {\left( {\frac{1}{4}} \right)^2}$.
Đáp án A và B sai do áp dụng trực tiếp lí thuyết.
Dùng máy tính để kiểm tra kết quả đáp án A và D.
Dùng máy tính để kiểm tra kết quả đáp án A và D.
A. $a < - 1$.
B. a < 1.
C. a > - 1.
D. $a \ge - 1$.
Do \(2\sqrt 3 - 1 > 1\)nên \({\left( {2\sqrt 3 - 1} \right)^{a + 2}} < 2\sqrt 3 - 1 \Leftrightarrow a + 2 < 1 \Leftrightarrow a < - 1\)
A. ${\left( {0,01} \right)^{ - \sqrt 2 }} > {\left( {{\rm{10}}} \right)^{ - \sqrt 2 }}$. B.${\left( {0,01} \right)^{ - \sqrt 2 }} < {\left( {{\rm{10}}} \right)^{ - \sqrt 2 }}$.
C. ${\left( {0,01} \right)^{ - \sqrt 2 }} = {\left( {{\rm{10}}} \right)^{ - \sqrt 2 }}$. D.\({a^0} = 1,\forall a \ne 0\).
Dùng máy tính kiểm tra kết quả.
A. ${\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^3} < {\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^4}$.
B. ${\left( {\sqrt {11} - \sqrt 2 } \right)^6} > {\left( {\sqrt {11} - \sqrt 2 } \right)^7}$.
C. ${\left( {4 - \sqrt 2 } \right)^3} < {\left( {4 - \sqrt 2 } \right)^4}$.
D. ${\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)^4} < {\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)^5}$.
Dùng máy tính kiểm tra kết quả.
A. $m > \frac{3}{2}$.
B. $m < \frac{1}{2}$.
C. $m > \frac{1}{2}$.
D. $m \ne \frac{3}{2}$.
Ta có \(\sqrt 3 + \sqrt 2 = \frac{1}{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }} \Rightarrow \)\({\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)^{2m - 2}} < {\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)^{ - 1}} \Leftrightarrow 2m - 2 > - 1 \Leftrightarrow m > \frac{1}{2}\)
A. ${a^{\frac{1}{n}}} = \sqrt[n]{a}$$\forall a > 0$.
B. ${a^{\frac{1}{n}}} = \sqrt[n]{a}$$\forall a \ne 0$.
C. ${a^{\frac{1}{n}}} = \sqrt[n]{a}$$\forall a \ge 0$.
D. ${a^{\frac{1}{n}}} = \sqrt[n]{a}$$\forall a \in \mathbb{R}$.
Áp dụng định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỉ ta có đáp án A là đáp án chính xác.
A. $\sqrt {ab} = \sqrt a \sqrt b $$\forall a,b$.
B. $\sqrt[{2n}]{{{a^{2n}}}} \ge 0$$\forall a$,n nguyên dương$\left( {n \ge 1} \right)$.
C. $\sqrt[{2n}]{{{a^{2n}}}} = \left| a \right|$$\forall a$,n nguyên dương$\left( {n \ge 1} \right)$.
D. $\sqrt[4]{{{a^2}}} = \sqrt a $$\forall a \ge 0$.
Áp dụng tính chất căn bậc n ta có đáp án A là đáp án chính xác.
A. $\sqrt[4]{{{a^4}{b^4}}} = ab$.
B. $\sqrt[3]{{{a^3}{b^3}}} = ab$.
C. $\sqrt {{a^2}{b^2}} = \left| {ab} \right|$.
D. $\sqrt {{a^4}{b^2}} = - {a^2}b$.
Áp dụng tính chất căn bâc n ta có đáp án A là đáp án chính xác.
A. $\forall a \in \mathbb{R}$.
B. $a \le 3$.
C. a > 3.
D. $a \ge 3$.
Ta có \(\sqrt {{{(3 - a)}^2}} = \left| {a - 3} \right| \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 3\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{}\end{array}neu\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{}\end{array}a \ge 3\\ - a + 3\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{}\end{array}neu\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{}\end{array}a < 3\end{array} \right.\)
A ${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}$.
B. $\frac{{{a^n}}}{{{a^m}}} = {a^{n - m}}$.
C. ${\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m + n}}$.
D. ${\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}}$.
Áp dụng tính chất của lũy thừa với số mũ thực ta có đáp án C là đáp án chính xác.
A. 1 < a < 2.
B. a < 1.
C. a > 1.
D. 0 < a < 1.
Do \(\frac{1}{2} > - \frac{1}{2}\) và số mũ không nguyên \( \Rightarrow {\left( {\frac{1}{a}} \right)^{\frac{1}{2}}} > {\left( {\frac{1}{a}} \right)^{ - \frac{1}{2}}}\) $ \Leftrightarrow \frac{1}{a} > 1 \Leftrightarrow 0 < a < 1$.
A. a < 1;0 < b < 1.
B. a > 1;b < 1.
C. 0 < a < 1;b < 1.
D. a > 1;0 < b < 1.
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2} > \frac{1}{6}\\{a^{\frac{1}{2}}} > {a^{\frac{1}{6}}}\end{array} \right. \Rightarrow a > 1\) và \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt 2 < \sqrt 3 \\{b^{\sqrt 2 }} > {b^{\sqrt 3 }}\end{array} \right. \Rightarrow 0 < b < 1\)
Vậy đáp án D đúng.
Vậy đáp án D đúng.
A. $\forall x \in \mathbb{R}$.
B. $x < 1$.
C. $x > - 1$.
D. $x < - 1$.
Vì $\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right).\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right) = 1$$ \Leftrightarrow \left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right) = \frac{1}{{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)}}$nên
${\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)^x} > \sqrt 3 + \sqrt 2 $$ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)^x} > \frac{1}{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}$$ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)^x} > {\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)^{ - 1}}$.
Mặt khác $0 < \sqrt 3 - \sqrt 2 < 1$ $ \Rightarrow $$x < - 1$. Vậy đáp án A là chính xác.
${\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)^x} > \sqrt 3 + \sqrt 2 $$ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)^x} > \frac{1}{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}$$ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)^x} > {\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)^{ - 1}}$.
Mặt khác $0 < \sqrt 3 - \sqrt 2 < 1$ $ \Rightarrow $$x < - 1$. Vậy đáp án A là chính xác.
A. $a \ne 0$
B. $\forall a \in \mathbb{R}$
C. $a \ge 0$
D. a > 0
Ta có ${2^{a{x^2} - 4x - 2a}} = \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^{ - 4}}}}$(*)$ \Leftrightarrow {2^{a{x^2} - 4x - 2a}} = {2^2} \Leftrightarrow a{x^2} - 4x - 2a = 2$$ \Leftrightarrow a{x^2} - 4x - 2\left( {a + 1} \right) = 0$
PT (*) có hai nghiệm phân biệt $a{x^2} - 4x - 2\left( {a + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\2{a^2} + 2a + 4 > o\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow a \ne 0$
Vậy đáp án A là đáp án chính xác.
PT (*) có hai nghiệm phân biệt $a{x^2} - 4x - 2\left( {a + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\2{a^2} + 2a + 4 > o\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow a \ne 0$
Vậy đáp án A là đáp án chính xác.
A. ${\left( { - 3} \right)^{ - 4}}$.
B. ${\left( { - 3} \right)^{ - \frac{1}{3}}}$.
C. ${0^4}$.
D. ${\left( {\frac{1}{{{2^{ - 3}}}}} \right)^0}$.
Vì \( - \frac{1}{3} \notin \mathbb{R}\) nên ${\left( { - 3} \right)^{ - \frac{1}{3}}}$không có nghĩa. Vậy đáp án B đúng.
A. ${a^{\sqrt 2 }}$.
B. ${a^{2\sqrt 2 - 1}}$.
C. ${a^{1 - \sqrt 2 }}$.
D. a.
$P = {a^{\sqrt 2 }}.{\left( {\frac{1}{a}} \right)^{\sqrt 2 - 1}} = {a^{\sqrt 2 }}.{a^{ - \sqrt 2 + 1}} = {a^{\sqrt 2 - \sqrt 2 + 1}} = a$. Vậy đáp án D đúng.
A. a > - 2
B. $\forall a \in \mathbb{R}$
C. a > 0
D. a < - 2
${\left( {a + 2} \right)^\pi }$có nghĩa khi \(a + 2 > 0 \Leftrightarrow a > - 2\). Vậy đáp án A đúng.
A. ${a^{\frac{1}{n}}} = \sqrt[n]{a}$,$\forall a \ne 0$.
B. ${a^{\frac{1}{n}}} = \sqrt[n]{a}$,$\forall a > 0$.
C. ${a^{\frac{1}{n}}} = \sqrt[n]{a}$,$\forall a \ge 0$.
D. ${a^{\frac{1}{n}}} = \sqrt[n]{a}$,$\forall a \in \mathbb{R}$.
Đáp án B đúng. Đáp án A, C, D sai vì điều kiện của a
A. $\sqrt[4]{{{a^4}{b^4}}} = ab$
B. $\sqrt[3]{{{a^3}{b^3}}} = ab$
C. $\sqrt {{a^2}{b^2}} = \left| {ab} \right|$
D. $\sqrt {{a^2}{b^4}} = a{b^2}$
Do $a > 0,b < 0$nên $\sqrt[4]{{{a^4}{b^4}}} = \sqrt[4]{{{{(ab)}^4}}} = \left| {ab} \right| = - ab$. Đáp án A là đáp án chính xác.
A. m > n.
B. m = n.
C. m < n.
D. Không so sánh được.
Do \(0 < \sqrt 2 - 1 < 1\) nên \({\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^m} < {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^n} \Leftrightarrow m > n\).
A. a > 1;0 < b < 1
B. a > 1;b < 1
C. 0 < a < 1;b < 1
D. a < 1;0 < b < 1
Do $\frac{1}{2} > \frac{1}{6}$nên ${a^{\frac{1}{2}}} > {a^{\frac{1}{6}}} \Rightarrow a > 1$.
Vì $\sqrt 2 < \sqrt 3 $nên ${b^{\sqrt 2 }} > {b^{\sqrt 3 }} \Rightarrow 0 < b < 1$vậy đáp án A là đáp án chính xác.
Vì $\sqrt 2 < \sqrt 3 $nên ${b^{\sqrt 2 }} > {b^{\sqrt 3 }} \Rightarrow 0 < b < 1$vậy đáp án A là đáp án chính xác.
A. $a{b^2}$.
B. ${a^2}b$.
C. $ab$.
D. ${a^2}{b^2}$.
\(P = \frac{{{{\left( {\sqrt[4]{{{a^3}.{b^2}}}} \right)}^4}}}{{\sqrt[3]{{\sqrt {{a^{12}}.{b^6}} }}}} = \frac{{{a^3}.{b^2}}}{{\sqrt[6]{{{a^{12}}.{b^6}}}}} = \frac{{{a^3}.{b^2}}}{{{a^2}.b}} = ab\). Vậy đáp án C là chính xác.
A. $\left[ \begin{array}{l}\alpha < - 3\\\alpha > 3\end{array} \right.$.
B. $\alpha > 3$.
C. $\alpha < 3$.
D. $ - 3 < \alpha < 3$.
Ta có ${3^{\left| \alpha \right|}} < 27 \Leftrightarrow {3^{\left| \alpha \right|}} < {3^3} \Leftrightarrow \left| \alpha \right| < 3 \Leftrightarrow - 3 < \alpha < 3$. Vậy đáp án D là đáp án chính xác.
A. 3.
B. 2.
C. 1.
D. 4.
$A = {\left( {a + 1} \right)^{ - 1}} + {\left( {b + 1} \right)^{ - 1}} = {\left( {2 + \sqrt 3 + 1} \right)^{ - 1}} + {\left( {2 - \sqrt 3 + 1} \right)^{ - 1}}$$ = \frac{1}{{3 + \sqrt 3 }} + \frac{1}{{3 - \sqrt 3 }}$$ = 1$
Vậy đáp án C là đáp án chính xác.
LŨY THỪA VẬN DỤNG
Vậy đáp án C là đáp án chính xác.
LŨY THỪA VẬN DỤNG
A. \(5\).
B. $\sqrt {27} $.
C. \(\sqrt {23} \).
D. \(25\).
.
Do ${2^x} + {2^{ - x}} > 0,\forall x \in \mathbb{R}$
Nên ${2^x} + {2^{ - x}} = \sqrt {{{\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)}^2}\,} = \sqrt {{2^{2x}} + 2 + {2^{ - 2x}}} = \sqrt {{4^x} + {4^{ - x}} + 2} = \sqrt {23 + 2} = 5$.
Do ${2^x} + {2^{ - x}} > 0,\forall x \in \mathbb{R}$
Nên ${2^x} + {2^{ - x}} = \sqrt {{{\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)}^2}\,} = \sqrt {{2^{2x}} + 2 + {2^{ - 2x}}} = \sqrt {{4^x} + {4^{ - x}} + 2} = \sqrt {23 + 2} = 5$.
A. ${a^{\frac{3}{2}}}$.
B. \({a^{\frac{2}{3}}}\).
C. \({a^{\frac{3}{4}}}\).
D. \({a^{\frac{4}{3}}}\).
.
\(\sqrt[4]{{\sqrt[3]{{{a^8}}}}} = \sqrt[4]{{{a^{\frac{8}{3}}}}} = {\left( {{a^{\frac{8}{3}}}} \right)^{\frac{1}{4}}} = {a^{\frac{2}{3}}}\) hoặc \(\sqrt[4]{{\sqrt[3]{{{a^8}}}}} = \sqrt[{12}]{{{a^8}}} = {a^{\frac{8}{{12}}}} = {a^{\frac{2}{3}}}\)
\(\sqrt[4]{{\sqrt[3]{{{a^8}}}}} = \sqrt[4]{{{a^{\frac{8}{3}}}}} = {\left( {{a^{\frac{8}{3}}}} \right)^{\frac{1}{4}}} = {a^{\frac{2}{3}}}\) hoặc \(\sqrt[4]{{\sqrt[3]{{{a^8}}}}} = \sqrt[{12}]{{{a^8}}} = {a^{\frac{8}{{12}}}} = {a^{\frac{2}{3}}}\)
A. \({x^{\frac{7}{{12}}}}\).
B. \({x^{\frac{5}{6}}}\).
C. \({x^{\frac{{12}}{7}}}\).
D. \({x^{\frac{6}{5}}}\).
.
\(\sqrt[4]{{{x^2}\sqrt[3]{x}}} = \sqrt[4]{{{x^2}{x^{\frac{1}{3}}}}} = \sqrt[4]{{{x^{\frac{7}{3}}}}} = {\left( {{x^{\frac{7}{3}}}} \right)^{\frac{1}{4}}}\, = {x^{\frac{7}{{12}}}}\).
\(\sqrt[4]{{{x^2}\sqrt[3]{x}}} = \sqrt[4]{{{x^2}{x^{\frac{1}{3}}}}} = \sqrt[4]{{{x^{\frac{7}{3}}}}} = {\left( {{x^{\frac{7}{3}}}} \right)^{\frac{1}{4}}}\, = {x^{\frac{7}{{12}}}}\).
A. – 2.
B. – 1.
C. 2.
D. 1.
.
\(\frac{{\sqrt[5]{{{b^2}\sqrt b }}}}{{\sqrt[3]{{b\sqrt b }}}} = \frac{{\sqrt[5]{{{b^2}{b^{\frac{1}{2}}}}}}}{{\sqrt[3]{{b{b^{\frac{1}{2}}}}}}} = \frac{{\sqrt[5]{{{b^{\frac{5}{2}}}}}}}{{\sqrt[3]{{{b^{\frac{3}{2}}}}}}} = \frac{{{{\left( {{b^{\frac{5}{2}}}} \right)}^{\frac{1}{5}}}}}{{{{\left( {{b^{\frac{3}{2}}}} \right)}^{\frac{1}{3}}}}}\, = \frac{{{b^{\frac{1}{2}}}}}{{{b^{\frac{1}{2}}}}} = 1\)
\(\frac{{\sqrt[5]{{{b^2}\sqrt b }}}}{{\sqrt[3]{{b\sqrt b }}}} = \frac{{\sqrt[5]{{{b^2}{b^{\frac{1}{2}}}}}}}{{\sqrt[3]{{b{b^{\frac{1}{2}}}}}}} = \frac{{\sqrt[5]{{{b^{\frac{5}{2}}}}}}}{{\sqrt[3]{{{b^{\frac{3}{2}}}}}}} = \frac{{{{\left( {{b^{\frac{5}{2}}}} \right)}^{\frac{1}{5}}}}}{{{{\left( {{b^{\frac{3}{2}}}} \right)}^{\frac{1}{3}}}}}\, = \frac{{{b^{\frac{1}{2}}}}}{{{b^{\frac{1}{2}}}}} = 1\)
A. \({x^{\frac{{256}}{{255}}}}\).
B. \({x^{\frac{{255}}{{256}}}}\).
C. \({x^{\frac{{127}}{{128}}}}\).
D. \({x^{\frac{{128}}{{127}}}}\).
Cách 1: \(\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt x } } } } } } } \)\( = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x \cdot {x^{\frac{1}{2}}}} } } } } } } \)\( = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{3}{2}}}} } } } } } } \)
\( = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x{{\left( {{x^{\frac{3}{2}}}} \right)}^{\frac{1}{2}}}} } } } } } \)\( = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{7}{4}}}} } } } } } \)\( = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x \cdot {x^{\frac{7}{8}}}} } } } } \)
\( = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{{15}}{8}}}} } } } } \)\( = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x \cdot {x^{\frac{{15}}{{16}}}}} } } } \)\( = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{{31}}{{16}}}}} } } } \)\( = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x{x^{\frac{{31}}{{32}}}}} } } \)\( = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{{63}}{{32}}}}} } } \)
\( = \sqrt {x\sqrt {x \cdot {x^{\frac{{63}}{{64}}}}} } \)\( = \sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{{127}}{{64}}}}} } \)\( = \sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{{127}}{{128}}}}} } \)\( = \sqrt {x \cdot {x^{\frac{{255}}{{128}}}}} \)\( = \sqrt {{x^{\frac{{255}}{{128}}}}} \)\( = {x^{\frac{{255}}{{256}}}}\).
Nhận xét: \(\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt x } } } } } } } = {x^{\frac{{{2^8} - 1}}{{{2^8}}}}} = {x^{\frac{{255}}{{256}}}}\).
Cách 2: Dùng máy tính cầm tay
Ta nhẩm \(\sqrt x = {x^{\frac{1}{2}}}\). Ta nhập màn hình 1a2=(M+1)1a2
Sau đó nhấn 7 lần (bằng với số căn bậc hai còn lại chưa xử lý) phím =.
\( = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x{{\left( {{x^{\frac{3}{2}}}} \right)}^{\frac{1}{2}}}} } } } } } \)\( = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{7}{4}}}} } } } } } \)\( = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x \cdot {x^{\frac{7}{8}}}} } } } } \)
\( = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{{15}}{8}}}} } } } } \)\( = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x \cdot {x^{\frac{{15}}{{16}}}}} } } } \)\( = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{{31}}{{16}}}}} } } } \)\( = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x{x^{\frac{{31}}{{32}}}}} } } \)\( = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{{63}}{{32}}}}} } } \)
\( = \sqrt {x\sqrt {x \cdot {x^{\frac{{63}}{{64}}}}} } \)\( = \sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{{127}}{{64}}}}} } \)\( = \sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{{127}}{{128}}}}} } \)\( = \sqrt {x \cdot {x^{\frac{{255}}{{128}}}}} \)\( = \sqrt {{x^{\frac{{255}}{{128}}}}} \)\( = {x^{\frac{{255}}{{256}}}}\).
Nhận xét: \(\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt x } } } } } } } = {x^{\frac{{{2^8} - 1}}{{{2^8}}}}} = {x^{\frac{{255}}{{256}}}}\).
Cách 2: Dùng máy tính cầm tay
Ta nhẩm \(\sqrt x = {x^{\frac{1}{2}}}\). Ta nhập màn hình 1a2=(M+1)1a2
Sau đó nhấn 7 lần (bằng với số căn bậc hai còn lại chưa xử lý) phím =.
A. \({x^{\frac{7}{{30}}}}\).
B. \({\left( {\frac{a}{b}} \right)^{\frac{{31}}{{30}}}}\).
C. \({\left( {\frac{a}{b}} \right)^{\frac{{30}}{{31}}}}\).
D. \({\left( {\frac{a}{b}} \right)^{\frac{1}{6}}}\).
\(\sqrt[5]{{\frac{a}{b}\sqrt[3]{{\frac{b}{a}\sqrt {\frac{a}{b}} }}}} = \)\(\sqrt[5]{{\frac{a}{b}\sqrt[3]{{{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^{ - 1}}{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^{\frac{1}{2}}}}}}} = \)\(\sqrt[5]{{\frac{a}{b}\sqrt[3]{{{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^{\frac{{ - 1}}{2}}}}}}} = \)\(\sqrt[5]{{\frac{a}{b}{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^{\frac{{ - 1}}{6}}}}} = \)\(\sqrt[5]{{{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^{\frac{5}{6}}}}} = \)\(\sqrt[5]{{{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^{\frac{5}{6}}}}} = \)\({\left( {\frac{a}{b}} \right)^{\frac{1}{6}}}\)
A. a - b.
B. \(a - {b^2}\).
C. b - a.
D. \({a^3} - {b^3}\).
$P = \left( {{a^{\frac{1}{3}}} - {b^{\frac{2}{3}}}} \right) \cdot \left( {{a^{\frac{2}{3}}} + {a^{\frac{1}{3}}}.{b^{\frac{2}{3}}} + {b^{\frac{4}{3}}}} \right)\, = {\left( {{a^{\frac{1}{3}}}} \right)^3} - {\left( {{b^{\frac{2}{3}}}} \right)^3} = a - {b^2}$
A. \(\sqrt[4]{b}\).
B. \(\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}\).
C. b - a.
D. \(\sqrt[4]{a}\).
$P = \frac{{\sqrt a - \sqrt b }}{{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}} - \frac{{\sqrt a + \sqrt[4]{{ab}}}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}} = \frac{{{{\left( {\sqrt[4]{a}} \right)}^2}\, - {{\left( {\sqrt[4]{b}} \right)}^2}}}{{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}} - \frac{{\sqrt[4]{a}\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{a}\sqrt[4]{b}}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}}$.
\( = \frac{{\left( {\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}} \right)\left( {\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} \right)\,\,}}{{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}} - \frac{{\sqrt[4]{a}\left( {\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} \right)\,}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}}\)\( = \sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b} - \sqrt[4]{a} = \sqrt[4]{b}\).
\( = \frac{{\left( {\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}} \right)\left( {\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} \right)\,\,}}{{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}} - \frac{{\sqrt[4]{a}\left( {\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} \right)\,}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}}\)\( = \sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b} - \sqrt[4]{a} = \sqrt[4]{b}\).
A. - 1 .
B. 1.
C. 2 .
D. - 2.
$P = \left( {\frac{{a + b}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}} - \sqrt[3]{{ab}}} \right)\,:{\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)^2}\, = \left[ {\frac{{{{\left( {\sqrt[3]{a}} \right)}^3}\, + {{\left( {\sqrt[3]{b}} \right)}^3}\,}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}} - \sqrt[3]{{ab}}} \right]\,:{\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)^2}$
$ = \left\{ {\frac{{\left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right)\,\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{a}} \right)}^2} - \sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} + {{\left( {\sqrt[3]{b}} \right)}^2}} \right]\,}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}} - \sqrt[3]{{ab}}} \right\}\,:{\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)^2}\,$$ = \left[ {{{\left( {\sqrt[3]{a}} \right)}^2} - \sqrt[3]{{ab}} + {{\left( {\sqrt[3]{b}} \right)}^2} - \sqrt[3]{{ab}}} \right]\,:{\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)^2}\,$$ = {\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)^2}\,:{\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)^2}\, = 1$
$ = \left\{ {\frac{{\left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right)\,\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{a}} \right)}^2} - \sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} + {{\left( {\sqrt[3]{b}} \right)}^2}} \right]\,}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}} - \sqrt[3]{{ab}}} \right\}\,:{\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)^2}\,$$ = \left[ {{{\left( {\sqrt[3]{a}} \right)}^2} - \sqrt[3]{{ab}} + {{\left( {\sqrt[3]{b}} \right)}^2} - \sqrt[3]{{ab}}} \right]\,:{\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)^2}\,$$ = {\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)^2}\,:{\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)^2}\, = 1$
A. 0 .
B. - 1 .
C. 1.
D. - 2.
$P = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}\sqrt b + {b^{\frac{1}{3}}}\sqrt a }}{{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}}} - \sqrt[3]{{ab}} = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{2}}} + {b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{2}}}}}{{{a^{\frac{1}{6}}} + {b^{\frac{1}{6}}}}} - {\left( {ab} \right)^{\frac{1}{3}}} = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}}\left( {{b^{\frac{1}{6}}} + {a^{\frac{1}{6}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{6}}} + {b^{\frac{1}{6}}}}} - {\left( {ab} \right)^{\frac{1}{3}}} = {a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}} - {\left( {ab} \right)^{\frac{1}{3}}} = 0$
A. 1.
B. \(a + 1\).
C. \(2a\).
D. a.
\(P = \frac{{{a^{\frac{4}{3}}}\left( {{a^{ - \frac{1}{3}}} + {a^{\frac{2}{3}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {{a^{\frac{3}{4}}} + {a^{ - \frac{1}{4}}}} \right)}} = \frac{{a + {a^2}}}{{a + 1}} = \frac{{a(a + 1)}}{{a + 1}} = a\)
A. \(\sqrt[{10}]{a} - \sqrt[{10}]{b}\).
B. \(\sqrt a - \sqrt b \).
C. a - b.
D. \(\sqrt[8]{a} - \sqrt[8]{b}\).
$P = \left( {{a^{\frac{1}{4}}} - {b^{\frac{1}{4}}}} \right) \cdot \left( {{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}} \right) \cdot \left( {{a^{\frac{1}{2}}} + {b^{\frac{1}{2}}}} \right) = \left[ {{{\left( {{a^{\frac{1}{4}}}} \right)}^2}\, - {{\left( {{b^{\frac{1}{4}}}} \right)}^2}} \right] \cdot \left( {{a^{\frac{1}{2}}} + {b^{\frac{1}{2}}}} \right) = \left( {{a^{\frac{1}{2}}} - {b^{\frac{1}{2}}}} \right) \cdot \left( {{a^{\frac{1}{2}}} + {b^{\frac{1}{2}}}} \right)$
$ = {\left( {{a^{\frac{1}{2}}}} \right)^2} - {\left( {{b^{\frac{1}{2}}}} \right)^2} = a - b$.
$ = {\left( {{a^{\frac{1}{2}}}} \right)^2} - {\left( {{b^{\frac{1}{2}}}} \right)^2} = a - b$.
A. \(\sqrt[3]{{ab}}\).
B. \(\frac{{\sqrt[3]{{ab}}}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}}\).
C. \(\frac{{\sqrt[3]{{ab}}}}{{{{\left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right)}^3}\,}}\).
D. \(\,\sqrt[3]{{ab}}\left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right)\,\).
$P = \left( {{a^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{1}{3}}}} \right):\left( {2 + \sqrt[3]{{\frac{a}{b}}} + \sqrt[3]{{\frac{b}{a}}}} \right) = \left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right)\,:\left( {2 + \frac{{\sqrt[3]{a}}}{{\sqrt[3]{b}}} + \frac{{\sqrt[3]{b}}}{{\sqrt[3]{a}}}} \right)\, = \left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right)\,:\left( {\frac{{2\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}}{{\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}}}} \right)\,$$\, = \left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right)\,:\,\frac{{{{\left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right)}^2}}}{{\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}}} = \left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right) \cdot \frac{{\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}}}{{{{\left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right)}^2}}} = \frac{{\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}} \cdot $
A. $\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}$.
B. $\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b}$.
C. $\sqrt[3]{b} - \sqrt[3]{a}$.
D. $\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}$.
$P = \frac{{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}}}{{\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b}}} = \frac{{{{\left( {\sqrt[6]{a}} \right)}^2}\, - {{\left( {\sqrt[6]{b}} \right)}^2}\,}}{{\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b}}} = \frac{{\left( {\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b}} \right)\,\left( {\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}} \right)\,}}{{\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b}}} = \sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}$
A. m > n.
B. m = n.
C. m < n.
D. Không so sánh được.
Do \(3,2 > 1\) nên \(3,{2^m} < 3,{2^n} \Leftrightarrow m < n\).
A m > n.
B. m = n.
C. m < n.
D. Không so sánh được.
Do \(\sqrt 2 > 1\) nên \({\left( {\sqrt 2 } \right)^m} < {\left( {\sqrt 2 } \right)^n} \Leftrightarrow m < n\).
A. Không so sánh được.
B. m = n.
C. m > n.
D. m < n.
Do \(0 < \frac{1}{9} < 1\) nên \({\left( {\frac{1}{9}} \right)^m} > {\left( {\frac{1}{9}} \right)^n} \Leftrightarrow m < n\).
A. m < n.
B. m = n.
C. m > n.
D. Không so sánh được.
Do \(0 < \frac{{\sqrt 3 }}{2} < 1\) nên \({\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^m} > {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^n} \Leftrightarrow m < n\).
A. m = n.
B. m < n.
C. m > n.
D. Không so sánh được.
Do \(\sqrt 5 - 1 > 1\) nên \({\left( {\sqrt 5 - 1} \right)^m} < {\left( {\sqrt 5 - 1} \right)^n} \Leftrightarrow m < n\).
A. a > 2.
B. a > 0.
C. a > 1.
D. 1 < a < 2.
Do \( - \frac{2}{3} < - \frac{1}{3}\) và số mũ không nguyên nên \({(a - 1)^{ - \frac{2}{3}}} < {(a - 1)^{ - \frac{1}{3}}}\) khi \(a - 1 > 1 \Leftrightarrow a > 2\).
A. $\left[ \begin{array}{l} - \frac{1}{2} < a < 0\\a < - 1\end{array} \right.$.
B. $ - \frac{1}{2} < a < 0$.
C. $\left[ \begin{array}{l}0 < a < 1\\a < - 1\end{array} \right.$.
D. $a < - 1$.
Do \( - 3 < - 1\) và số mũ nguyên âm nên ${(2a + 1)^{ - 3}} > {(2a + 1)^{ - 1}}$ khi $\left[ \begin{array}{l}0 < 2a + 1 < 1\\2a + 1 < - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - \frac{1}{2} < a < 0\\a < - 1\end{array} \right.$.
A. 0 < a < 1.
B. a > 0.
C. a > 1.
D. a < 0.
\({\left( {\frac{1}{a}} \right)^{ - 0,2}} < {a^2} \Leftrightarrow {a^{0,2}} < {a^2}\)
Do \(0,2 < 2\) và có số mũ không nguyên nên ${a^{0,2}} < {a^2}$khi a > 1.
Do \(0,2 < 2\) và có số mũ không nguyên nên ${a^{0,2}} < {a^2}$khi a > 1.
A. a < 1.
B. a > 0.
C. 0 < a < 1.
D. a > 1.
Do \( - \frac{1}{3} > - \frac{1}{2}\) và số mũ không nguyên \( \Rightarrow \left( {1 - a} \right){\,^{ - \frac{1}{3}}} > \left( {1 - a} \right){\,^{ - \frac{1}{2}}}\) $ \Leftrightarrow a > 1$.
A. a > 1.
B. 0 < a < 1.
C. 1 < a < 2.
D. a < 1.
Do \(\frac{3}{4} < 2\) và có số mũ không nguyên \( \Rightarrow \left( {2 - a} \right){\,^{\frac{3}{4}}} > {\left( {2 - a} \right)^2}\) $ \Leftrightarrow 0 < 2 - a < 1 \Leftrightarrow - 2 < - a < - 1 \Leftrightarrow 2 > a > 1$
A. y - x.
B. x + y.
C. 2.
D. $\frac{2}{{\sqrt {xy} }}$.
$\begin{array}{l}\left( {\frac{{{x^{\frac{1}{2}}} - {y^{\frac{1}{2}}}}}{{x{y^{\frac{1}{2}}} + {x^{\frac{1}{2}}}y}} + \frac{{{x^{\frac{1}{2}}} + {y^{\frac{1}{2}}}}}{{x{y^{\frac{1}{2}}} - {x^{\frac{1}{2}}}y}}} \right).\frac{{{x^{\frac{3}{2}}}{y^{\frac{1}{2}}}}}{{x + y}} - \frac{{2y}}{{x - y}} = \left( {\frac{{\sqrt x - \sqrt y }}{{x\sqrt y + y\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x + \sqrt y }}{{x\sqrt y - y\sqrt x }}} \right).\frac{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^3}\sqrt y }}{{x + y}} - \frac{{2y}}{{x - y}}\\ = \left( {\frac{{{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}^2}}}{{\sqrt {xy} \left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}}} \right).\frac{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^3}\sqrt y }}{{x + y}} - \frac{{2y}}{{x - y}} = \frac{2}{{x - y}}.x - \frac{{2y}}{{x - y}} = 2\\\end{array}$
A.$\forall x \in (0; + \infty )\backslash {\rm{\{ }}1;2\} $. B.$\forall x \in {\rm{[}}0; + \infty )$ .
C.$\forall x \in {\rm{[}}0; + \infty )\backslash {\rm{\{ }}1;2\} $.
D. $\forall x \in {\rm{[}}0; + \infty )\backslash {\rm{\{ }}1\} $.
$f\left( x \right) = {({x^2} - 3x + 2)^{ - 3}} - 2\sqrt x $ xác định $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3x + 2 \ne 0\\x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\x \ne 1\\x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \forall x \in {\rm{[}}0; + \infty )\backslash {\rm{\{ }}1;2\} $
A.$x \in \left[ { - 1; - \frac{1}{2}} \right] \cup \left[ {0;\frac{4}{3}} \right]$. B.$x \in ( - \infty ; - 1) \cup \left( { - \frac{1}{2};0} \right) \cup \left( {\frac{4}{3}; + \infty } \right)$.
C.$x \in \left( { - 1; - \frac{1}{2}} \right) \cup \left( {0;\frac{4}{3}} \right)$.
D. $x \in \left( { - 1;\frac{4}{3}} \right)$.
$f\left( x \right) = {\left( {\frac{{4x - 3{x^2}}}{{2{x^2} + 3x + 1}}} \right)^{\frac{{ - 2}}{3}}}$ xác định khi $\frac{{4x - 3{x^2}}}{{2{x^2} + 3x + 1}} > 0 \Leftrightarrow \forall x \in ( - 1; - \frac{1}{2}) \cup (0;\frac{4}{3})$
A. $x \in \left( {1 + \sqrt 3 ; + \infty } \right)$. B.$x \in \left( { - \infty ;1 - \sqrt 3 } \right) \cup \left( {1;1 + \sqrt 3 } \right)$.
C.$x \in \left( {1 - \sqrt 3 ;1} \right)$. D.$x \in \left( {1 - \sqrt 3 ;1} \right) \cup \left( {1 + \sqrt 3 ; + \infty } \right)$.
$f\left( x \right) = {\left( {{x^3} - 3{x^2} + 2} \right)^{\frac{1}{4}}}$ xác định khi ${x^3} - 3{x^2} + 2 > 0 \Leftrightarrow \forall x \in \left( {1 - \sqrt 3 ;1} \right) \cup \left( {1 + \sqrt 3 ; + \infty } \right)$
A.$x = 2$. B.$x = 3$. C.$x = 2;x = 3$.
D. Không tồn tại $x$.
${\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)^{{x^2} - 5x + 6}}$ xác định $ \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 > 0 \Leftrightarrow \forall x \in \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$
Khi đó ${\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)^{{x^2} - 5x + 6}} = 1 \Leftrightarrow {\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)^{{x^2} - 5x + 6}} = {\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)^0} \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\left( {loai} \right)\\x = 3\left( {tmdk} \right)\end{array} \right.$
Khi đó ${\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)^{{x^2} - 5x + 6}} = 1 \Leftrightarrow {\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)^{{x^2} - 5x + 6}} = {\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)^0} \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\left( {loai} \right)\\x = 3\left( {tmdk} \right)\end{array} \right.$
A. $x > - \frac{1}{2}$.
B. $x < \frac{1}{2}$. C.$x < - \frac{1}{2}$.
D. $x > \frac{1}{2}$.
\({({x^2} + 4)^{x - 5}} > {\left( {{x^2} + 4} \right)^{5x - 3}}\) xác định $\forall x \in \mathbb{R}$
Khi đó ${x^2} + 4 > 1\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow {({x^2} + 4)^{x - 5}} > {\left( {{x^2} + 4} \right)^{5x - 3}} \Leftrightarrow x - 5 > 5x - 3 \Leftrightarrow x < - \frac{1}{2}$
Khi đó ${x^2} + 4 > 1\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow {({x^2} + 4)^{x - 5}} > {\left( {{x^2} + 4} \right)^{5x - 3}} \Leftrightarrow x - 5 > 5x - 3 \Leftrightarrow x < - \frac{1}{2}$
A.a > 2.
B. a < 1.
C. a > 1.
D. a < 2.
Do $ - \frac{2}{3} < - \frac{1}{3}$\( \Rightarrow {\left( {a - 1} \right)^{ - \frac{2}{3}}} < {\left( {a - 1} \right)^{ - \frac{1}{3}}} \Leftrightarrow a - 1 > 1 \Leftrightarrow a > 2\)
A. \(\frac{{a - 2}}{{a - 1}}\).
B. \(\frac{{a - 1}}{a}\).
C. \(\frac{{a + 2}}{{a - 1}}\).
D. \(\frac{a}{{a - 1}}\).
Ta có: \(a = 1 + {2^{ - x}} > 1,\forall x \in \mathbb{R}\) nên \({2^x} = \frac{1}{{a - 1}}\)
Do đó: \(b = 1 + \frac{1}{{a - 1}} = \frac{a}{{a - 1}} \cdot \)
Do đó: \(b = 1 + \frac{1}{{a - 1}} = \frac{a}{{a - 1}} \cdot \)
A. a.
B. a + 1.
C. 2a.
D. 1.
\(P = \frac{{{a^{\frac{4}{3}}}\left( {{a^{ - \frac{1}{3}}} + {a^{\frac{2}{3}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {{a^{\frac{3}{4}}} + {a^{ - \frac{1}{4}}}} \right)}} = \frac{{a + {a^2}}}{{a + 1}} = \frac{{a(a + 1)}}{{a + 1}} = a \cdot \)
A. x + y = 97.
B. x + y = - 65.
C. x - y = 56.
D. y - x = - 97.
Ta có: $P = \left( {2{a^{\frac{1}{4}}} - 3{b^{\frac{1}{4}}}} \right) \cdot \left( {2{a^{\frac{1}{4}}} + 3{b^{\frac{1}{4}}}} \right) \cdot \left( {4{a^{\frac{1}{2}}} + 9{b^{\frac{1}{2}}}} \right) = \left( {{{\left( {2{a^{\frac{1}{4}}}} \right)}^2}\, - {{\left( {3{b^{\frac{1}{4}}}} \right)}^2}\,} \right) \cdot \left( {4{a^{\frac{1}{2}}} + 9{b^{\frac{1}{2}}}} \right)$
$ = \left( {4{a^{\frac{1}{2}}} - 9{b^{\frac{1}{2}}}} \right) \cdot \left( {4{a^{\frac{1}{2}}} + 9{b^{\frac{1}{2}}}} \right)$$ = {\left( {4{a^{\frac{1}{2}}}} \right)^2} - {\left( {9{b^{\frac{1}{2}}}} \right)^2} = 16a - 81b$.
Do đó: \(x = 16,y = - 81\).
$ = \left( {4{a^{\frac{1}{2}}} - 9{b^{\frac{1}{2}}}} \right) \cdot \left( {4{a^{\frac{1}{2}}} + 9{b^{\frac{1}{2}}}} \right)$$ = {\left( {4{a^{\frac{1}{2}}}} \right)^2} - {\left( {9{b^{\frac{1}{2}}}} \right)^2} = 16a - 81b$.
Do đó: \(x = 16,y = - 81\).
A. $\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}$.
B. $\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b}$.
C. $\sqrt[3]{b} - \sqrt[3]{a}$.
D. $\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}$.
$P = \frac{{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}}}{{\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b}}} = \frac{{{{\left( {\sqrt[6]{a}} \right)}^2}\, - {{\left( {\sqrt[6]{b}} \right)}^2}\,}}{{\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b}}} = \frac{{\left( {\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b}} \right)\,\left( {\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}} \right)\,}}{{\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b}}} = \sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b} \cdot $
A. - 2.
B. - 1 .
C. 1.
D. 0 .
$P = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}\sqrt b + {b^{\frac{1}{3}}}\sqrt a }}{{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}}} - \sqrt[3]{{ab}} = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{2}}} + {b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{2}}}}}{{{a^{\frac{1}{6}}} + {b^{\frac{1}{6}}}}} - {\left( {ab} \right)^{\frac{1}{3}}} = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}}\left( {{b^{\frac{1}{6}}} + {a^{\frac{1}{6}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{6}}} + {b^{\frac{1}{6}}}}} - {\left( {ab} \right)^{\frac{1}{3}}} = {a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}} - {\left( {ab} \right)^{\frac{1}{3}}} = 0$
\(P = \left( {\frac{{a + b}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}} - \sqrt[3]{{ab}}} \right)\,:{\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)^2}\,\)
A. - 1 .
B. 1.
C. 2 .
D. - 2.
$P = \left( {\frac{{a + b}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}} - \sqrt[3]{{ab}}} \right)\,:{\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)^2}\, = \left( {\frac{{{{\left( {\sqrt[3]{a}} \right)}^3}\, + {{\left( {\sqrt[3]{b}} \right)}^3}\,}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}} - \sqrt[3]{{ab}}} \right)\,:{\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)^2}$
$ = \left( {\frac{{\left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right)\,\left( {{{\sqrt[3]{a}}^2} - \sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} + {{\sqrt[3]{b}}^2}} \right)\,}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}} - \sqrt[3]{{ab}}} \right)\,:{\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)^2}\,$$ = \left( {{{\sqrt[3]{a}}^2} - \sqrt[3]{{ab}} + {{\sqrt[3]{b}}^2} - \sqrt[3]{{ab}}} \right)\,:{\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)^2}\,$$ = {\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)^2}\,:{\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)^2}\, = 1$
$ = \left( {\frac{{\left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right)\,\left( {{{\sqrt[3]{a}}^2} - \sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} + {{\sqrt[3]{b}}^2}} \right)\,}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}} - \sqrt[3]{{ab}}} \right)\,:{\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)^2}\,$$ = \left( {{{\sqrt[3]{a}}^2} - \sqrt[3]{{ab}} + {{\sqrt[3]{b}}^2} - \sqrt[3]{{ab}}} \right)\,:{\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)^2}\,$$ = {\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)^2}\,:{\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)^2}\, = 1$
$P = \left( {{a^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{1}{3}}}} \right):\left( {2 + \sqrt[3]{{\frac{a}{b}}} + \sqrt[3]{{\frac{b}{a}}}} \right)$
A. \(\frac{{\sqrt[3]{{ab}}}}{{{{\left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right)}^3}}}\).
B. \(\sqrt[3]{{ab}}\).
C. \(\frac{{\sqrt[3]{{ab}}}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}}\).
D. \(\,\sqrt[3]{{ab}}\left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right)\,\).
$P = \left( {{a^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{1}{3}}}} \right):\left( {2 + \sqrt[3]{{\frac{a}{b}}} + \sqrt[3]{{\frac{b}{a}}}} \right) = \left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right)\,:\left( {2 + \frac{{\sqrt[3]{a}}}{{\sqrt[3]{b}}} + \frac{{\sqrt[3]{b}}}{{\sqrt[3]{a}}}} \right)\, = \left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right)\,:\left( {\frac{{2\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{{{a^2}}} + \sqrt[3]{{{b^2}}}}}{{\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}}}} \right)\,$$\, = \left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right)\,:\,\frac{{{{\left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right)}^2}}}{{\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}}} = \left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right) \cdot \frac{{\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}}}{{{{\left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right)}^2}}} = \frac{{\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}} \cdot $
A. a + b = 509.
B. a + 2b = 767.
C. 2a + b = 709.
D. 3a - b = 510.
Cách 1: \(\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt x } } } } } } } \)\( = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x \cdot {x^{\frac{1}{2}}}} } } } } } } \)\( = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{3}{2}}}} } } } } } } \)
\( = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x{{\left( {{x^{\frac{3}{2}}}} \right)}^{\frac{1}{2}}}} } } } } } \)\( = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{7}{4}}}} } } } } } \)\( = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x \cdot {x^{\frac{7}{8}}}} } } } } \)
\( = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{{15}}{8}}}} } } } } \)\( = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x \cdot {x^{\frac{{15}}{{16}}}}} } } } \)\( = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{{31}}{{16}}}}} } } } \)\( = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x{x^{\frac{{31}}{{32}}}}} } } \)\( = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{{63}}{{32}}}}} } } \)
\( = \sqrt {x\sqrt {x \cdot {x^{\frac{{63}}{{64}}}}} } \)\( = \sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{{127}}{{64}}}}} } \)\( = \sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{{127}}{{128}}}}} } \)\( = \sqrt {x \cdot {x^{\frac{{255}}{{128}}}}} \)\( = \sqrt {{x^{\frac{{255}}{{128}}}}} \)\( = {x^{\frac{{255}}{{256}}}}\). Do đó \(a = 255,\,b = 256\).
Nhận xét: \(\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt x } } } } } } } = {x^{\frac{{{2^8} - 1}}{{{2^8}}}}} = {x^{\frac{{255}}{{256}}}}\).
Cách 2: Dùng máy tính cầm tay
Nhẩm \(\sqrt x = {x^{\frac{1}{2}}}\). Ta nhập màn hình 1a2=(M+1)1a2
Sau đó nhấn 7 lần (bằng với số căn bậc hai còn lại chưa xử lý) phím =. Chọn đáp án A.
\( = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x{{\left( {{x^{\frac{3}{2}}}} \right)}^{\frac{1}{2}}}} } } } } } \)\( = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{7}{4}}}} } } } } } \)\( = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x \cdot {x^{\frac{7}{8}}}} } } } } \)
\( = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{{15}}{8}}}} } } } } \)\( = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x \cdot {x^{\frac{{15}}{{16}}}}} } } } \)\( = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{{31}}{{16}}}}} } } } \)\( = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x{x^{\frac{{31}}{{32}}}}} } } \)\( = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{{63}}{{32}}}}} } } \)
\( = \sqrt {x\sqrt {x \cdot {x^{\frac{{63}}{{64}}}}} } \)\( = \sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{{127}}{{64}}}}} } \)\( = \sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{{127}}{{128}}}}} } \)\( = \sqrt {x \cdot {x^{\frac{{255}}{{128}}}}} \)\( = \sqrt {{x^{\frac{{255}}{{128}}}}} \)\( = {x^{\frac{{255}}{{256}}}}\). Do đó \(a = 255,\,b = 256\).
Nhận xét: \(\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt x } } } } } } } = {x^{\frac{{{2^8} - 1}}{{{2^8}}}}} = {x^{\frac{{255}}{{256}}}}\).
Cách 2: Dùng máy tính cầm tay
Nhẩm \(\sqrt x = {x^{\frac{1}{2}}}\). Ta nhập màn hình 1a2=(M+1)1a2
Sau đó nhấn 7 lần (bằng với số căn bậc hai còn lại chưa xử lý) phím =. Chọn đáp án A.
A. 2m - n = - 3.
B. m + n = - 2.
C. m - n = 0.
D. m + 3n = - 1.
$P = \frac{{\sqrt a - \sqrt b }}{{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}} - \frac{{\sqrt {4a} + \sqrt[4]{{16ab}}}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}} = \frac{{{{\left( {\sqrt[4]{a}} \right)}^2}\, - {{\left( {\sqrt[4]{b}} \right)}^2}}}{{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}} - \frac{{2\sqrt[4]{a}\sqrt[4]{a} + 2\sqrt[4]{a}\sqrt[4]{b}}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}}$.
\( = \frac{{\left( {\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}} \right)\left( {\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} \right)\,\,}}{{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}} - \frac{{2\sqrt[4]{a}\left( {\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} \right)\,}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}}\)\( = \sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b} - 2\sqrt[4]{a} = \sqrt[4]{b} - \sqrt[4]{a}\).
Do đó \(m = - 1;\,n = 1\).
\( = \frac{{\left( {\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}} \right)\left( {\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} \right)\,\,}}{{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}} - \frac{{2\sqrt[4]{a}\left( {\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} \right)\,}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}}\)\( = \sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b} - 2\sqrt[4]{a} = \sqrt[4]{b} - \sqrt[4]{a}\).
Do đó \(m = - 1;\,n = 1\).
A. m + 3n = - 1.
B. m + n = - 2
C. m - n = 0
D. 2m - n = 5
\(P = \left( {\frac{{{a^{\frac{1}{2}}} + 2}}{{a + 2{a^{\frac{1}{2}}} + 1}} - \frac{{{a^{\frac{1}{2}}} - 2}}{{a - 1}}} \right) \cdot \frac{{\left( {{a^{\frac{1}{2}}} + 1} \right)}}{{{a^{\frac{1}{2}}}}} = \left( {\frac{{\sqrt a + 2}}{{{{\left( {\sqrt a + 1} \right)}^2}}} - \frac{{\sqrt a - 2}}{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right)}}} \right) \cdot \frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a }}\)
\( = \left( {\frac{{\sqrt a + 2}}{{\sqrt a + 1}} - \frac{{\sqrt a - 2}}{{\sqrt a - 1}}} \right) \cdot \frac{1}{{\sqrt a }} = \frac{{2\sqrt a }}{{a - 1}} \cdot \frac{1}{{\sqrt a }} = \frac{2}{{a - 1}} \cdot \)
Do đó \(m = 2;\,n = - 1\).
\( = \left( {\frac{{\sqrt a + 2}}{{\sqrt a + 1}} - \frac{{\sqrt a - 2}}{{\sqrt a - 1}}} \right) \cdot \frac{1}{{\sqrt a }} = \frac{{2\sqrt a }}{{a - 1}} \cdot \frac{1}{{\sqrt a }} = \frac{2}{{a - 1}} \cdot \)
Do đó \(m = 2;\,n = - 1\).
A. ${(2,0065)^{24}}$ triệu đồng.
B. ${(1,0065)^{24}}$ triệu đồng.
C. $2.{(1,0065)^{24}}$ triệu đồng.
D. $2.{(2,0065)^{24}}$ triệu đồng.
Gọi số tiền gửi vào vào là M đồng, lãi suất là r/tháng.
Cuối tháng thứ nhất: số tiền lãi là: Mr. Khi đó số vốn tích luỹ đượclà:
${T_1} = M + Mr = M(1 + r)$.
Cuối tháng thứ hai: số vốn tích luỹ được là:
${T_2} = {T_1} + {T_1}r = {T_1}(1 + r) = M(1 + r)(1 + r) = M{(1 + r)^2}$.
\( \cdots \)
Tương tự, cuối tháng thứ n: số vốn tích luỹ đượclà: ${T_n} = M{(1 + r)^n}$.
Áp dụng công thức trên với \(M = 2,\) \(r = 0,0065,\) \(n = 24\), thì số tiền người đó lãnh được sau 2 năm (24 tháng) là: ${T_{24}} = 2.{(1 + 0,0065)^{24}} = 2.{(1,0065)^{24}}$ triệu đồng.
Cuối tháng thứ nhất: số tiền lãi là: Mr. Khi đó số vốn tích luỹ đượclà:
${T_1} = M + Mr = M(1 + r)$.
Cuối tháng thứ hai: số vốn tích luỹ được là:
${T_2} = {T_1} + {T_1}r = {T_1}(1 + r) = M(1 + r)(1 + r) = M{(1 + r)^2}$.
\( \cdots \)
Tương tự, cuối tháng thứ n: số vốn tích luỹ đượclà: ${T_n} = M{(1 + r)^n}$.
Áp dụng công thức trên với \(M = 2,\) \(r = 0,0065,\) \(n = 24\), thì số tiền người đó lãnh được sau 2 năm (24 tháng) là: ${T_{24}} = 2.{(1 + 0,0065)^{24}} = 2.{(1,0065)^{24}}$ triệu đồng.
A. 3 triệu 600 ngàn đồng.
B. 3 triệu 800 ngàn đồng.
C. 3 triệu 700 ngàn đồng.
D. 3 triệu 900 ngàn đồng.
Áp dụng công thức trên với \({T_n} = 5\), \(r = 0,007,\) \(n = 36\), thì số tiền người đó cần gửi vào ngân hàng trong 3 năm (36 tháng) là: $M = \frac{{{T_n}}}{{{{(1 + r)}^n}}} = \frac{5}{{{{\left( {1,007} \right)}^{36}}}} \approx 3,889636925$ triệu đồng.
A. \( \approx 5436521,164\) đồng.
B. \( \approx 5468994,09\) đồng.
C. \( \approx 5452733,453\) đồng.
D. \( \approx 5452771,729\) đồng.
Số vốn tích luỹ của bác An sau \(6\) tháng gửi tiền với lãi suất \(0,7\% /\)tháng là:
\({T_1} = 5.{\left( {1,007} \right)^6}\) triệu đồng;
Số vốn tích luỹ của bác An sau 9 tháng gửi tiền (3 tháng tiếp theo với lãi suất \(0,9\% /\)tháng) là:
\({T_2} = {T_1}.{\left( {1,009} \right)^3} = 5.{\left( {1,007} \right)^6}.{\left( {1,009} \right)^3}\) triệu đồng;
Do đó số tiền bác An lãnh được sau 1 năm (12 tháng) từ ngân hàng (3 tháng tiếp theo sau đó với lãi suất \(0,6\% /\)tháng) là:
\(T = {T_2}.{\left( {1,006} \right)^3} = 5.{\left( {1,007} \right)^6}.{\left( {1,009} \right)^3}.{\left( {1,006} \right)^3}\) triệu đồng\( \approx 5452733,453\) đồng.
\({T_1} = 5.{\left( {1,007} \right)^6}\) triệu đồng;
Số vốn tích luỹ của bác An sau 9 tháng gửi tiền (3 tháng tiếp theo với lãi suất \(0,9\% /\)tháng) là:
\({T_2} = {T_1}.{\left( {1,009} \right)^3} = 5.{\left( {1,007} \right)^6}.{\left( {1,009} \right)^3}\) triệu đồng;
Do đó số tiền bác An lãnh được sau 1 năm (12 tháng) từ ngân hàng (3 tháng tiếp theo sau đó với lãi suất \(0,6\% /\)tháng) là:
\(T = {T_2}.{\left( {1,006} \right)^3} = 5.{\left( {1,007} \right)^6}.{\left( {1,009} \right)^3}.{\left( {1,006} \right)^3}\) triệu đồng\( \approx 5452733,453\) đồng.
Sửa lần cuối: