Học giải bài 39 trang 123 SGK Toán lớp 9 tập 1. Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC.

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
Đề bài
Cho hai đường tròn \((O)\) và \((O')\) tiếp xúc ngoài tại \(A\). Kẻ tiếp tuyến chung ngoài \(BC\), \(B\in (O),C\in (O').\) Tiếp tuyến chung trong tại \(A\) cắt tiếp tuyến chung ngoài \(BC\) ở \(I\).
a) Chứng minh rằng \(\widehat{BAC}=90^{\circ}\).
b) Tính số đo góc \(OIO'\).
c) Tính độ dài \(BC\), biết \(OA=9cm,\ O'A=4cm.\)

Giải
b39-trang-123-sgk-toan-9-t1-jpg.662

a)
Xét đường tròn \((O)\) có \(IB,\ IA\) là hai tiếp tuyến lần lượt tại \(B,\ A\)
\(\Rightarrow IB=IA\)
Xét đường tròn \((O')\) có \(IC,\ IA\) là hai tiếp tuyến lần lượt tại \(C,\ A\)
\(\Rightarrow IC=IA\)
\(\Rightarrow IB=IC=IA=\dfrac{1}{2}BC\)
Suy ra \(\Delta{ABC}\) vuông tại \(A\) (tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh đó)
\(\Rightarrow \widehat{BAC}=90^{\circ}\).
b) Xét đường tròn \((O)\) có \(IB,\ IA\) là hai tiếp tuyến lần lượt tại \(B,\ A\)
\(\Rightarrow IO\) là tia phân giác của góc \(BIA \Rightarrow \widehat{I_1}=\widehat{I_2}\)
Xét đường tròn \((O')\) có \(IC,\ IA\) là hai tiếp tuyến lần lượt tại \(C,\ A\)
\(\Rightarrow IO'\) là tia phân giác của góc \(CIA \Rightarrow \widehat{I_3}=\widehat{I_4}\)
Lại có \(\widehat{I_1}+\widehat{I_2}+\widehat{I_3}+\widehat{I_4}=180^o\)
\(\Leftrightarrow \widehat{I_2}+\widehat{I_2}+\widehat{I_3}+\widehat{I_3}=180^o\)
\(\Leftrightarrow 2\widehat{I_2}+2\widehat{I_3}=180^o\)
\(\Leftrightarrow 2(\widehat{I_2}+\widehat{I_3})=180^o\)
\(\Leftrightarrow \widehat{I_2}+\widehat{I_3}=90^o\)
\(\Leftrightarrow \widehat{OIO'}=90^o\)
Cách 2:
Xét đường tròn \((O)\) có \(IB,\ IA\) là hai tiếp tuyến lần lượt tại \(B,\ A\)
\(\Rightarrow IO\) là tia phân giác của góc \(BIA \Rightarrow \widehat{I_1}=\widehat{I_2}\)
Xét đường tròn \((O')\) có \(IC,\ IA\) là hai tiếp tuyến lần lượt tại \(C,\ A\)
\(\Rightarrow IO'\) là tia phân giác của góc \(CIA \Rightarrow \widehat{I_3}=\widehat{I_4}\)
Mà góc \(BIA\) và góc \(AIC\) là hai góc kề bù.
Suy ra \(\widehat{OIO'}=90^{\circ}\) (hai tia phân giác của hai góc kề bù).
c) Vì \(IA\) là tiếp tuyến chung của hai đường tròn nên \(IA \bot OO'\).
Xét tam giác \(OIO'\) vuông tại \(I\), áp dụng hệ thức giữa đường cao và hình chiếu trong tam giác vuông, ta có:
\(AI^2=AO.AO' \Rightarrow AI^2=9.4=36\)
\(\Rightarrow AI= \sqrt{36}=6\)
Từ câu a, ta có \(AI=\dfrac{BC}{2} \Rightarrow BC=2.AI=2.6=12\).
Nhận xét. Câu a), b) chỉ là gợi ý để làm câu c). Đối với những bài toán có hai đường tròn tiếp xúc, ta thường vẽ thêm tiếp tuyến chung tại tiếp điểm để xuất hiện yếu tố trung gian giúp cho việc tính toán hoặc chứng minh được thuận lợi.
7scv.com​
 

Bình luận bằng Facebook