Đề bài
Hai người thợ cùng làm một công việc trong \(16\) giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu ?
Giải
Gọi thời gian người thứ nhất hoàn thành công việc một mình là: \(x\) giờ, người thứ hai là \(y\) giờ. Điều kiện \(x > 0, y > 16\).
Trong \(1\) giờ người thứ nhất làm được \(\dfrac{1}{x}\) công việc, người thứ hai \(\dfrac{1}{y}\) công việc.
Do đó cả hai người cùng làm chung thì được: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) công việc.
Theo đề bài, hai người làm chung trong \(16\) thì xong nên trong \(1\) giờ hai người làm được: \(\dfrac{1}{16}\) công việc.
Nên ta có phương trình: \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}= \dfrac{1}{16}\).
Trong \(3\) giờ, người thứ nhất làm được: \(3. \dfrac{1}{x}\) công việc.
Trong \(6\) giờ người thứ hai làm được: \(6. \dfrac{1}{y}\) công việc.
Theo đề bài, cả hai người làm được \(25\) %\(=\dfrac{25}{100}=\dfrac{1}{4}\) công việc.
Nên ta được: \(3. \dfrac{1}{x} + 6.\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{4}\)
Ta có hệ phương trình:
\(\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{16} & & \\ 3.\dfrac{1}{x} + 6. \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{4}& & \end{matrix}\right.\).
Đặt \(\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x}=a & & \\ \dfrac{1}{y}=b & & \end{matrix}\right.\) với \(a > 0,\ b> 0.\)
Hệ đã cho trở thành:
\(\left\{\begin{matrix} a + b = \dfrac{1}{16} & & \\ 3a+ 6b=\dfrac{1}{4} & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a =\dfrac{1}{16} -b & & \\ 3a+ 6b=\dfrac{1}{4} & & \end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix} a = \dfrac{1}{16}-b & & \\ 3{\left(\dfrac{1}{16} -b \right)}+6b=\dfrac{1}{4} & & \end{matrix}\right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a = \dfrac{1}{16}-b & & \\ 3.\dfrac{1}{16} -3b+6b=\dfrac{1}{4} & & \end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix} a = \dfrac{1}{16}-b & & \\ 3b= \dfrac{1}{4} -\dfrac{3}{16}& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a = \dfrac{1}{16}-b & & \\ b=\dfrac{1}{48} & & \end{matrix}\right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a = \dfrac{1}{16}- \dfrac{1}{48} & & \\ b=\dfrac{1}{16} & & \end{matrix} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a = \dfrac{1}{24} & & \\ b=\dfrac{1}{16} & & \end{matrix} (thỏa\ mãn) \right.\)
Do đó \(\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{24} & & \\ \dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{88} & & \end{matrix}\right.\) \( \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x =24 & & \\ y=48 & & \end{matrix} (thỏa\ mãn)\right.\)
Vậy người thứ nhất \(24\) giờ, người thứ hai \(48\) giờ.
Hai người thợ cùng làm một công việc trong \(16\) giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu ?
Giải
Gọi thời gian người thứ nhất hoàn thành công việc một mình là: \(x\) giờ, người thứ hai là \(y\) giờ. Điều kiện \(x > 0, y > 16\).
Trong \(1\) giờ người thứ nhất làm được \(\dfrac{1}{x}\) công việc, người thứ hai \(\dfrac{1}{y}\) công việc.
Do đó cả hai người cùng làm chung thì được: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) công việc.
Theo đề bài, hai người làm chung trong \(16\) thì xong nên trong \(1\) giờ hai người làm được: \(\dfrac{1}{16}\) công việc.
Nên ta có phương trình: \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}= \dfrac{1}{16}\).
Trong \(3\) giờ, người thứ nhất làm được: \(3. \dfrac{1}{x}\) công việc.
Trong \(6\) giờ người thứ hai làm được: \(6. \dfrac{1}{y}\) công việc.
Theo đề bài, cả hai người làm được \(25\) %\(=\dfrac{25}{100}=\dfrac{1}{4}\) công việc.
Nên ta được: \(3. \dfrac{1}{x} + 6.\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{4}\)
Ta có hệ phương trình:
\(\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{16} & & \\ 3.\dfrac{1}{x} + 6. \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{4}& & \end{matrix}\right.\).
Đặt \(\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x}=a & & \\ \dfrac{1}{y}=b & & \end{matrix}\right.\) với \(a > 0,\ b> 0.\)
Hệ đã cho trở thành:
\(\left\{\begin{matrix} a + b = \dfrac{1}{16} & & \\ 3a+ 6b=\dfrac{1}{4} & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a =\dfrac{1}{16} -b & & \\ 3a+ 6b=\dfrac{1}{4} & & \end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix} a = \dfrac{1}{16}-b & & \\ 3{\left(\dfrac{1}{16} -b \right)}+6b=\dfrac{1}{4} & & \end{matrix}\right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a = \dfrac{1}{16}-b & & \\ 3.\dfrac{1}{16} -3b+6b=\dfrac{1}{4} & & \end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix} a = \dfrac{1}{16}-b & & \\ 3b= \dfrac{1}{4} -\dfrac{3}{16}& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a = \dfrac{1}{16}-b & & \\ b=\dfrac{1}{48} & & \end{matrix}\right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a = \dfrac{1}{16}- \dfrac{1}{48} & & \\ b=\dfrac{1}{16} & & \end{matrix} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a = \dfrac{1}{24} & & \\ b=\dfrac{1}{16} & & \end{matrix} (thỏa\ mãn) \right.\)
Do đó \(\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{24} & & \\ \dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{88} & & \end{matrix}\right.\) \( \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x =24 & & \\ y=48 & & \end{matrix} (thỏa\ mãn)\right.\)
Vậy người thứ nhất \(24\) giờ, người thứ hai \(48\) giờ.
7scv.com