Đề bài
Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, biết rằng nếu tăng mỗi cạnh lên \(3\) cm thì diện tích tam giác đó sẽ tăng thêm \(36\) cm2, và nếu một cạnh giảm đi \(2\)cm, cạnh kia giảm đi \(4\) cm thì diện tích của tam giác giảm đi \(26\) cm2
Giải
Gọi \(x\) (cm), \(y\) (cm) là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông. Điều kiện \(x > 0, y > 0\).
Suy ra diện tích tam giác vuông lúc ban đầu là: \(S=\dfrac{1}{2}xy\).
Độ dài hai cạnh sau khi tăng thêm \(3\) cm là: \((x+3)\) và \((y+3)\).
Suy ra diện tích tam giác sau khi tăng độ dài cạnh là: \(\dfrac{1}{2}(x+3)(y+3) \)
Vì diện tích tăng thêm \(36\) cm2 nên ta được:
\(\dfrac{1}{2}(x + 3)(y + 3)= \dfrac{1}{2}xy + 36\)
Độ dài cạnh sau khi một cạnh giảm \(2\) cm, cạnh kia giảm \(4\) cm là: \((x-2)\) và \((y-4)\)
Suy ra diện tích tam giác sau khi giảm độ dài cạnh là: \(\dfrac{1}{2}(x-2)(y-4)\)
Vì diện tích tam giác giảm \(26\) \(cm^2\) nên ta có:
\(\dfrac{1}{2}(x - 2)(y- 4) = \dfrac{1}{2}xy - 26\)
Ta có hệ phương trình
\(\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{2}(x + 3)(y + 3)= \dfrac{1}{2}xy + 36 & & \\ \dfrac{1}{2}(x - 2)(y- 4) = \dfrac{1}{2}xy - 26 & & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x + 3)(y + 3)= xy + 72 & & \\ (x -2)(y - 4)= xy -52 & & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} xy + 3x + 3y + 9 = xy + 72 & & \\ xy - 4x - 2y + 8 = xy - 52 & & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} xy + 3x + 3y -xy = 72-9 & & \\ xy - 4x - 2y + 8 - xy= - 52 -8& & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x + 3y = 63 & & \\ -4x - 2y =- 60 & & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 6x + 6y = 126 & & \\ 12x + 6y = 180 & & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 6x= 54 & & \\ 12x + 6y = 180 & & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = 9 & & \\ 6y = 180-12x & & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = 9 & & \\ 6y = 180-12.9& & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = 9 & & \\ y = 12 & & \end{matrix}(thỏa \ mãn) \right.\)
Vậy độ dài hai cạnh góc vuông là \(9\) cm, \(12\) cm.
Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, biết rằng nếu tăng mỗi cạnh lên \(3\) cm thì diện tích tam giác đó sẽ tăng thêm \(36\) cm2, và nếu một cạnh giảm đi \(2\)cm, cạnh kia giảm đi \(4\) cm thì diện tích của tam giác giảm đi \(26\) cm2
Giải
Gọi \(x\) (cm), \(y\) (cm) là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông. Điều kiện \(x > 0, y > 0\).
Suy ra diện tích tam giác vuông lúc ban đầu là: \(S=\dfrac{1}{2}xy\).
Độ dài hai cạnh sau khi tăng thêm \(3\) cm là: \((x+3)\) và \((y+3)\).
Suy ra diện tích tam giác sau khi tăng độ dài cạnh là: \(\dfrac{1}{2}(x+3)(y+3) \)
Vì diện tích tăng thêm \(36\) cm2 nên ta được:
\(\dfrac{1}{2}(x + 3)(y + 3)= \dfrac{1}{2}xy + 36\)
Độ dài cạnh sau khi một cạnh giảm \(2\) cm, cạnh kia giảm \(4\) cm là: \((x-2)\) và \((y-4)\)
Suy ra diện tích tam giác sau khi giảm độ dài cạnh là: \(\dfrac{1}{2}(x-2)(y-4)\)
Vì diện tích tam giác giảm \(26\) \(cm^2\) nên ta có:
\(\dfrac{1}{2}(x - 2)(y- 4) = \dfrac{1}{2}xy - 26\)
Ta có hệ phương trình
\(\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{2}(x + 3)(y + 3)= \dfrac{1}{2}xy + 36 & & \\ \dfrac{1}{2}(x - 2)(y- 4) = \dfrac{1}{2}xy - 26 & & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x + 3)(y + 3)= xy + 72 & & \\ (x -2)(y - 4)= xy -52 & & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} xy + 3x + 3y + 9 = xy + 72 & & \\ xy - 4x - 2y + 8 = xy - 52 & & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} xy + 3x + 3y -xy = 72-9 & & \\ xy - 4x - 2y + 8 - xy= - 52 -8& & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x + 3y = 63 & & \\ -4x - 2y =- 60 & & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 6x + 6y = 126 & & \\ 12x + 6y = 180 & & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 6x= 54 & & \\ 12x + 6y = 180 & & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = 9 & & \\ 6y = 180-12x & & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = 9 & & \\ 6y = 180-12.9& & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = 9 & & \\ y = 12 & & \end{matrix}(thỏa \ mãn) \right.\)
Vậy độ dài hai cạnh góc vuông là \(9\) cm, \(12\) cm.
7scv.com