Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
a) \(\left\{\begin{matrix} x - y =3 & & \\ 3x-4y=2 & & \end{matrix}\right.\);
b) \(\left\{\begin{matrix} 7x - 3y =5 & & \\ 4x+y=2 & & \end{matrix}\right.\);
c) \(\left\{\begin{matrix} x +3y =-2 & & \\ 5x-4y=11 & & \end{matrix}\right.\)
Cách 1: Rút \(x\) từ phương trình thứ nhất, ta được:
\(\left\{ \matrix{
x - y = 3 \hfill \cr
3x - 4y = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 3 + y \hfill \cr
3\left( {3 + y} \right) - 4y = 2 \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 3 + y \hfill \cr
9 + 3y - 4y = 2 \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 3 + y \hfill \cr
- y = 2 - 9 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 3 + y \hfill \cr
y = 7 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 3 + 7 \hfill \cr
y = 7 \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 10 \hfill \cr
y = 7 \hfill \cr} \right.\)
Vậy hệ đã cho có nghiệm là \((x;y)=(10; 7)\).
Cách 2:
\(\left\{\begin{matrix} x - y =3\ (1) & & \\ 3x-4y=2 \ (2) & & \end{matrix}\right.\)
Từ \((1) \Rightarrow x=3+y\), thế biểu thức này vào \((2)\), ta được:
\(3(3+y)-4y=2\)
\(\Leftrightarrow 9+3y-4y=2\)
\(\Leftrightarrow -y=2-9\)
\(\Leftrightarrow y=7\)
Thay \(y=7\) vào \(x=3+y\), ta được: \(x=7+3=10\).
Vậy hệ đã cho có nghiệm là \((x;y)=(10; 7)\).)
b) Rút \(y\) từ phương trình thứ (2), ta có:
\(\left\{ \matrix{
7x - 3y = 5 \hfill \cr
4x + y = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
7x - 3\left( {2 - 4x} \right) = 5 \hfill \cr
y = 2 - 4x \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
7x - 6 + 12x = 5 \hfill \cr
y = 2 - 4x \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
7x + 12x = 5 + 6 \hfill \cr
y = 2 - 4x \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
19x = 11 \hfill \cr
y = 2 - 4x \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = \dfrac{11}{19} \hfill \cr
y = 2 - 4.\dfrac{11} {19} \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = \dfrac{11}{19} \hfill \cr
y = \dfrac{ - 6}{19} \hfill \cr} \right.\)
Vậy hệ có nghiệm duy nhất là \({\left(\dfrac{11}{19}; \dfrac{-6}{19} \right)}\)
c)
\(\left\{ \matrix{
x + 3y = - 2 \hfill \cr
5x - 4y = 11 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - 2 - 3y \hfill \cr
5\left( { - 2 - 3y} \right) - 4y = 11 \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - 2 - 3y \hfill \cr
- 10 - 15y - 4y = 11 \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - 2 - 3y \hfill \cr
- 15y - 4y = 11 + 10 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - 2 - 3y \hfill \cr
- 19y = 21 \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - 2 - 3y \hfill \cr
y = - \dfrac{ 21}{ 19} \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - 2 - 3. \dfrac{ - 21}{19} \hfill \cr
y = - \dfrac{21}{19} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = \dfrac{25}{19} \hfill \cr
y = - \dfrac{21}{19} \hfill \cr} \right.\)
Vậy hệ có nghiệm duy nhất là \({\left(\dfrac{25}{19}; \dfrac{-21}{19} \right)}\)
a) \(\left\{\begin{matrix} x - y =3 & & \\ 3x-4y=2 & & \end{matrix}\right.\);
b) \(\left\{\begin{matrix} 7x - 3y =5 & & \\ 4x+y=2 & & \end{matrix}\right.\);
c) \(\left\{\begin{matrix} x +3y =-2 & & \\ 5x-4y=11 & & \end{matrix}\right.\)
Giải
a)Cách 1: Rút \(x\) từ phương trình thứ nhất, ta được:
\(\left\{ \matrix{
x - y = 3 \hfill \cr
3x - 4y = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 3 + y \hfill \cr
3\left( {3 + y} \right) - 4y = 2 \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 3 + y \hfill \cr
9 + 3y - 4y = 2 \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 3 + y \hfill \cr
- y = 2 - 9 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 3 + y \hfill \cr
y = 7 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 3 + 7 \hfill \cr
y = 7 \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 10 \hfill \cr
y = 7 \hfill \cr} \right.\)
Vậy hệ đã cho có nghiệm là \((x;y)=(10; 7)\).
Cách 2:
\(\left\{\begin{matrix} x - y =3\ (1) & & \\ 3x-4y=2 \ (2) & & \end{matrix}\right.\)
Từ \((1) \Rightarrow x=3+y\), thế biểu thức này vào \((2)\), ta được:
\(3(3+y)-4y=2\)
\(\Leftrightarrow 9+3y-4y=2\)
\(\Leftrightarrow -y=2-9\)
\(\Leftrightarrow y=7\)
Thay \(y=7\) vào \(x=3+y\), ta được: \(x=7+3=10\).
Vậy hệ đã cho có nghiệm là \((x;y)=(10; 7)\).)
b) Rút \(y\) từ phương trình thứ (2), ta có:
\(\left\{ \matrix{
7x - 3y = 5 \hfill \cr
4x + y = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
7x - 3\left( {2 - 4x} \right) = 5 \hfill \cr
y = 2 - 4x \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
7x - 6 + 12x = 5 \hfill \cr
y = 2 - 4x \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
7x + 12x = 5 + 6 \hfill \cr
y = 2 - 4x \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
19x = 11 \hfill \cr
y = 2 - 4x \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = \dfrac{11}{19} \hfill \cr
y = 2 - 4.\dfrac{11} {19} \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = \dfrac{11}{19} \hfill \cr
y = \dfrac{ - 6}{19} \hfill \cr} \right.\)
Vậy hệ có nghiệm duy nhất là \({\left(\dfrac{11}{19}; \dfrac{-6}{19} \right)}\)
c)
\(\left\{ \matrix{
x + 3y = - 2 \hfill \cr
5x - 4y = 11 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - 2 - 3y \hfill \cr
5\left( { - 2 - 3y} \right) - 4y = 11 \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - 2 - 3y \hfill \cr
- 10 - 15y - 4y = 11 \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - 2 - 3y \hfill \cr
- 15y - 4y = 11 + 10 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - 2 - 3y \hfill \cr
- 19y = 21 \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - 2 - 3y \hfill \cr
y = - \dfrac{ 21}{ 19} \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - 2 - 3. \dfrac{ - 21}{19} \hfill \cr
y = - \dfrac{21}{19} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = \dfrac{25}{19} \hfill \cr
y = - \dfrac{21}{19} \hfill \cr} \right.\)
Vậy hệ có nghiệm duy nhất là \({\left(\dfrac{25}{19}; \dfrac{-21}{19} \right)}\)