Đề bài
Cho tam giác \(ABC\), các đường cao \(BD\) và \(CE\). Chứng minh rằng:
a) Bốn điểm \(B,\ E,\ D,\ C\) cùng thuộc một đường tròn.
b) \(DE < BC\)
Giải
a) Gọi \(O\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow OB=OC=\dfrac{BC}{2}.\) (1)
Vì \(DO\) là đường trung tuyến của tam giác vuông \(DBC\).
Theo tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền, ta có:
\(OD=\dfrac{1}{2}BC \) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(OD=OB=OC=\dfrac{1}{2}BC\)
Do đó ba điểm \(B,\ D,\ C\) cùng thuộc đường tròn tâm \(O\) bán kính \(OB\).
Lập luận tương tự, ta có ba điểm \(B,\ E,\ C\) cùng thuộc đường tròn tâm \(O\) bán kính \(OB\).
Do đó 4 điểm \(B,\ C,\ D,\ E\) cùng thuộc đường tròn \((O)\) đường kính \(BC\).
b) Xét đường \({\left( O; \dfrac{BC}{2} \right)}\), với \(BC\) là đường kính.
Ta có \(DE\) là một dây cung không đi qua tâm, theo định lí 1, ta có \(BC > DE\).
Cho tam giác \(ABC\), các đường cao \(BD\) và \(CE\). Chứng minh rằng:
a) Bốn điểm \(B,\ E,\ D,\ C\) cùng thuộc một đường tròn.
b) \(DE < BC\)
Giải
a) Gọi \(O\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow OB=OC=\dfrac{BC}{2}.\) (1)
Vì \(DO\) là đường trung tuyến của tam giác vuông \(DBC\).
Theo tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền, ta có:
\(OD=\dfrac{1}{2}BC \) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(OD=OB=OC=\dfrac{1}{2}BC\)
Do đó ba điểm \(B,\ D,\ C\) cùng thuộc đường tròn tâm \(O\) bán kính \(OB\).
Lập luận tương tự, ta có ba điểm \(B,\ E,\ C\) cùng thuộc đường tròn tâm \(O\) bán kính \(OB\).
Do đó 4 điểm \(B,\ C,\ D,\ E\) cùng thuộc đường tròn \((O)\) đường kính \(BC\).
b) Xét đường \({\left( O; \dfrac{BC}{2} \right)}\), với \(BC\) là đường kính.
Ta có \(DE\) là một dây cung không đi qua tâm, theo định lí 1, ta có \(BC > DE\).
7scv.com