1. Các kiến thức cần nhớ
Ngoài các phương pháp đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử để phân tích đa thức thành nhân tử , ta còn sử dụng các cách sau:
1. Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử
Ví dụ: \({x^2} + 3x + 2 = {x^2} + x + 2x + 2 = x\left( {x + 1} \right) + 2\left( {x + 1} \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\)
Một cách tổng quát: Để phân tích tam thức bậc hai $a{x^2} + bx + c$ thành nhân tử
Ta tách hạng tử $bx$ thành ${b_1}x + {b_2}x$ sao cho , tức là ${b_1}{b_2} = ac.$
Trong khi làm bài ta thực hiện các bước như sau:
- Thêm bớt cùng một hạng tử để xuất hiện hiệu hai bình phương.
Ví dụ: \({x^4} + 4 = {\left( {{x^2}} \right)^2} + 4{x^2} + 4 - 4{x^2} \)
\(= {\left( {{x^2} + 2} \right)^2} - {\left( {2x} \right)^2}\)\( = \left( {{x^2} + 2x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 2} \right)\)
- Thêm bớt cùng một hạng tử để xuất hiện nhân tử chung.
Ví dụ $:{x^5} + {x^4} + 1 $$=\left( {{x^5} + {x^4} + {x^3}} \right)-\left( {{x^3}-1} \right)$$ = {x^3}\left( {{x^2} + x + 1} \right)-\left( {x-1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)$
$ = \left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {{x^3}-x + 1} \right)$
c. Đặt ẩn phụ
Ví dụ: $\left( {{x^2} + 2x} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right) + 3$
Đặt ${x^2} + 2x = t$ , đa thức trên trở thành:
$t\left( {t + 4} \right) + 3 $$= {t^2} + 4t + 3 $$= {t^2} + t + 3t + 3 $$= t\left( {t + 1} \right) + 3\left( {t + 1} \right)$$ = \left( {t + 1} \right)\left( {t + 3} \right)$
Thay $t = {x^2} + 2x$ , ta được: $\left( {{x^2} + 2x} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right) + 3$ $ = \left( {{x^2} + 2x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2x + 3} \right).$
d. Phối hợp nhiều phương pháp
Để phân tích một đa thức thành nhân tử ta có thể kết hợp nhiều phương pháp trên với nhau.
Ví dụ: \({x^2} - 2yz - {y^2} - {z^2} \)\(= {x^2} - \left( {{y^2} + 2yz + {z^2}} \right) \)\(={x^2} - {\left( {y + z} \right)^2} \)\(= \left( {x + y + z} \right)\left( {x - y - z} \right)\)
Ở ví dụ trên ta đã kết hợp phương pháp nhóm hạng tử và hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử.
2. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
Phương pháp:
Sử dụng các phương pháp đã học để phân tích đa thức thành nhân tử.
Dạng 2: Tìm \({\bf{x}}\) .
Phương pháp:
Phương pháp:
Ngoài các phương pháp đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử để phân tích đa thức thành nhân tử , ta còn sử dụng các cách sau:
1. Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử
Ví dụ: \({x^2} + 3x + 2 = {x^2} + x + 2x + 2 = x\left( {x + 1} \right) + 2\left( {x + 1} \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\)
Một cách tổng quát: Để phân tích tam thức bậc hai $a{x^2} + bx + c$ thành nhân tử
Ta tách hạng tử $bx$ thành ${b_1}x + {b_2}x$ sao cho , tức là ${b_1}{b_2} = ac.$
Trong khi làm bài ta thực hiện các bước như sau:
- Bước $1$ : Tìm tích $a.c$
- Bước $2$ : Phân tích tích $a.c$ ra tích của hai thừa số nguyên tố bằng mọi cách.
- Bước $3$ : Chọn hai thừa số mà tổng bằng $b.$
- Thêm bớt cùng một hạng tử để xuất hiện hiệu hai bình phương.
Ví dụ: \({x^4} + 4 = {\left( {{x^2}} \right)^2} + 4{x^2} + 4 - 4{x^2} \)
\(= {\left( {{x^2} + 2} \right)^2} - {\left( {2x} \right)^2}\)\( = \left( {{x^2} + 2x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 2} \right)\)
- Thêm bớt cùng một hạng tử để xuất hiện nhân tử chung.
Ví dụ $:{x^5} + {x^4} + 1 $$=\left( {{x^5} + {x^4} + {x^3}} \right)-\left( {{x^3}-1} \right)$$ = {x^3}\left( {{x^2} + x + 1} \right)-\left( {x-1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)$
$ = \left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {{x^3}-x + 1} \right)$
c. Đặt ẩn phụ
Ví dụ: $\left( {{x^2} + 2x} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right) + 3$
Đặt ${x^2} + 2x = t$ , đa thức trên trở thành:
$t\left( {t + 4} \right) + 3 $$= {t^2} + 4t + 3 $$= {t^2} + t + 3t + 3 $$= t\left( {t + 1} \right) + 3\left( {t + 1} \right)$$ = \left( {t + 1} \right)\left( {t + 3} \right)$
Thay $t = {x^2} + 2x$ , ta được: $\left( {{x^2} + 2x} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right) + 3$ $ = \left( {{x^2} + 2x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2x + 3} \right).$
d. Phối hợp nhiều phương pháp
Để phân tích một đa thức thành nhân tử ta có thể kết hợp nhiều phương pháp trên với nhau.
Ví dụ: \({x^2} - 2yz - {y^2} - {z^2} \)\(= {x^2} - \left( {{y^2} + 2yz + {z^2}} \right) \)\(={x^2} - {\left( {y + z} \right)^2} \)\(= \left( {x + y + z} \right)\left( {x - y - z} \right)\)
Ở ví dụ trên ta đã kết hợp phương pháp nhóm hạng tử và hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử.
2. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
Phương pháp:
Sử dụng các phương pháp đã học để phân tích đa thức thành nhân tử.
Dạng 2: Tìm \({\bf{x}}\) .
Phương pháp:
- Sử dụng các phương pháp đã học để phân tích đa thức thành nhân tử.
- Từ đó biến đổi về dạng tìm \(x\) thường gặp.
- Chẳng hạn \(A.B = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\)
Phương pháp:
- Biến đổi biểu thức để có thể sử dụng được điều kiện của đề bài.
- Từ đó tính giá trị của biểu thức.