HL.6. Lũy thừa với số mũ tự nhiên, nhân chia hai lũy thừa cùng cơ số

I. Các kiến thức cần nhớ
1. Lũy thừa với số mũ tự nhiên
Lũy thừa bậc $n$ của $a$ là tích của $n$ thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng $a :$

• ${a^n} = a.a \ldots ..a$ ($n$ thừa số $a$ ) ($n$ khác $0$ )
• $a$ được gọi là cơ số.
• $n$ được gọi là số mũ.
• ${a^2}$ gọi là $a$ bình phương (hay bình phương của $a$ );
• ${a^3}$ gọi là $a$ lập phương (hay lập phương của $a$.)

Quy ước: ${a^1} = a$; ${a^0} = 1\left( {a \ne 0} \right).$
Ví dụ: \({2^3} = 2.2.2 = 8\)

2. Nhân hai lũy thừa cùng cơ số

• ${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}$
• Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ.
• Ví dụ: \({3^2}{.3^5} = {3^{2 + 5}} = {3^7}.\)

3. Chia hai lũy thừa cùng cơ số

• ${a^m}:{a^n} = {a^{m - n}}$ \(\left( {a \ne 0;\,m \ge n \ge 0} \right)\)
• Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số (khác 0), ta giữ nguyên cơ số và trừ các số mũ cho nhau.
• Ví dụ: \({3^5}:{3^3} = {3^{5 - 3}} = {3^2} = 3.3 = 9.\)

4. Mở rộng
a) Lũy thừa của lũy thừa

• \({\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}}\)
• Ví dụ: \({\left( {{2^3}} \right)^4} = {2^{3.4}} = {2^{12}}\)

b) Lũy thừa của một tích

• \({\left( {a.b} \right)^m} = {a^m}.{b^m}\)
• Ví dụ: \({\left( {2.3} \right)^4} = {2^4}{.3^4}\)

II. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Viết gọn một tích, một phép tính dưới dạng một lũy thừa
Phương pháp giải Áp dụng công thức: $\underbrace {a.a.a.....a}_{n\,{\rm{thua}}\,{\rm{so}}}$$ = {a^n};$${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}};{a^m}:{a^n} = {a^{m - n}}\left( {a \ne 0,m \ge n} \right).$

Dạng 2: Nhân; chia hai lũy thừa cùng cơ số
Phương pháp giải: Áp dụng công thức:${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}};{a^m}:{a^n} = {a^{m - n}}\left( {a \ne 0,m \ge n} \right).$

Dạng 3: So sánh các số viết dưới dạng lũy thừa
Phương pháp giải
Để so sánh các số viết dưới dạng lũy thừa, ta có thể làm theo:
Cách 1: Đưa về cùng cơ số là số tự nhiên, rồi so sánh hai số mũ
Nếu \(m > n\) thì \({a^m} > {a^n}\)
Cách 2: Đưa về cùng số mũ rồi so sánh hai cơ số
Nếu \(a > b\) thì \({a^m} > {b^m}\)
Cách 3: Tính cụ thể rồi so sánh
Ngoài ra ta còn sử dụng tính chất bắc cầu: Nếu \(a < b;b < c\) thì \(a < c.\)

Dạng 4: Tìm số mũ của một lũy thừa trong một đẳng thức.
Phương pháp giải
Đưa về hai luỹ thừa của cùng một cơ số.

• Sử dụng tính chất : với \(a \ne 0;a \ne 1\) nếu ${a^m} = {a^n}$ thì $m = n\,\,(a,m,n \in N).$

Dạng 5: Tìm cơ số của lũy thừa
Phương pháp giải

• Dùng định nghĩa lũy thừa: $\underbrace {a.a.....a}_{n\,{\rm{thừa}}\,{\rm{số}}\,a}$ $ = {a^n}$
• Hoặc sử dụng tính chất với \(a;b \ne 0;a;b \ne 1\) nếu ${a^m} = {b^m}$ thì $a = n\,\,(a,b,m,n \in N).$