1. Các kiến thức cần nhớ
a) Nhân hai phân thức
Quy tắc:
Muốn nhân hai phân thức , ta nhân tử thức với nhau, mẫu thức với nhau.
\(\dfrac{A}{B}.\dfrac{C}{D} = \dfrac{{A.C}}{{B.D}}\)
Ví dụ: $\dfrac{{x - 1}}{x}.\dfrac{3}{{x + 1}} $$= \dfrac{{3\left( {x - 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}} $$= \dfrac{{3x - 3}}{{x\left( {x + 1} \right)}}$
Tính chất phép nhân hai phân thức
* Phân thức nghịch đảo
Quy tắc: Muốn chia phân thức \(\dfrac{A}{B}\) cho phân thức \(\dfrac{C}{D}\) \(\left( {\dfrac{C}{D} \ne 0} \right)\) , ta nhân \(\dfrac{A}{B}\) với phân thức nghịch đảo của \(\dfrac{C}{D}\) .
\(\dfrac{A}{B}:\dfrac{C}{D} = \dfrac{A}{B}.\dfrac{D}{C};\) \(\left( {\dfrac{C}{D} \ne 0} \right)\)
Ví dụ: $\dfrac{{x - 1}}{x}:\dfrac{3}{{x + 1}} = \dfrac{{x - 1}}{x}.\dfrac{{x + 1}}{3} = \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x.3}} = \dfrac{{{x^2} - 1}}{{3x}}$
2. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Thực hiện phép tính. Rút gọn biểu thức
Phương pháp:
Bước 1: Phân tích đa thức thành nhân tử (nếu cần)
Bước 2: Sử dụng quy tắc nhân và chia các phân thức.
Phương pháp:
a) Nhân hai phân thức
Quy tắc:
Muốn nhân hai phân thức , ta nhân tử thức với nhau, mẫu thức với nhau.
\(\dfrac{A}{B}.\dfrac{C}{D} = \dfrac{{A.C}}{{B.D}}\)
Ví dụ: $\dfrac{{x - 1}}{x}.\dfrac{3}{{x + 1}} $$= \dfrac{{3\left( {x - 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}} $$= \dfrac{{3x - 3}}{{x\left( {x + 1} \right)}}$
Tính chất phép nhân hai phân thức
- Giao hoán: \(\dfrac{A}{B}.\dfrac{C}{D} \)\(= \dfrac{C}{D}.\dfrac{A}{B}\)
- Kết hợp: \(\left( {\dfrac{A}{B}.\dfrac{C}{D}} \right).\dfrac{E}{F} \)\(= \dfrac{A}{B}.\left( {\dfrac{C}{D}.\dfrac{E}{F}} \right)\)
- Phân phối đối với phép cộng: \(\dfrac{A}{B}.\left( {\dfrac{C}{D} + \dfrac{E}{F}} \right) \)\(= \dfrac{A}{B}.\dfrac{C}{D} + \dfrac{A}{B}.\dfrac{E}{F}\)
* Phân thức nghịch đảo
- Hai phân thức gọi là nghịch đảo của nhau nếu tích của nó bằng \(1\) .
- Phân thức nghịch đảo của phân thức \(\dfrac{A}{B}\) là \(\dfrac{B}{A}\) với $A,\,B \ne 0$.
Quy tắc: Muốn chia phân thức \(\dfrac{A}{B}\) cho phân thức \(\dfrac{C}{D}\) \(\left( {\dfrac{C}{D} \ne 0} \right)\) , ta nhân \(\dfrac{A}{B}\) với phân thức nghịch đảo của \(\dfrac{C}{D}\) .
\(\dfrac{A}{B}:\dfrac{C}{D} = \dfrac{A}{B}.\dfrac{D}{C};\) \(\left( {\dfrac{C}{D} \ne 0} \right)\)
Ví dụ: $\dfrac{{x - 1}}{x}:\dfrac{3}{{x + 1}} = \dfrac{{x - 1}}{x}.\dfrac{{x + 1}}{3} = \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x.3}} = \dfrac{{{x^2} - 1}}{{3x}}$
2. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Thực hiện phép tính. Rút gọn biểu thức
Phương pháp:
Bước 1: Phân tích đa thức thành nhân tử (nếu cần)
Bước 2: Sử dụng quy tắc nhân và chia các phân thức.
- \(\dfrac{A}{B}.\dfrac{C}{D} = \dfrac{{A.C}}{{B.D}}\)
- \(\dfrac{A}{B}:\dfrac{C}{D} = \dfrac{A}{B}.\dfrac{D}{C};\,\,\left( {\dfrac{C}{D} \ne 0} \right)\)
Phương pháp:
- Bước 1: Rút gọn biểu thức (sử dụng quy tắc nhân, chia phân thức và phân tích đa thức thành nhân tử)
- Bước 2: Thay giá trị của biến vào đa thức đã rút gọn và thực hiện phép tính.