Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Cho hình trụ tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn \(\left( {O;R} \right)\) và \(\left( {O';R} \right)\). Tồn tại dây cung AB thuộc đường tròn \((O)\) sao cho \(\Delta O'AB\) là tam giác đều và mặt phẳng \((O'AB)\) hợp với mặt phẳng chứa đường tròn \((O)\)một góc \({60^0}\). Khi đó, diện tích xung quanh \({S_{xq}}\) hình trụ và thể tích V của khối trụ tương ứng là:
A. ${S_{xq}} = \frac{{4\pi {R^2}}}{7};V = \frac{{2\pi {R^3}\sqrt 7 }}{7}$.
B. ${S_{xq}} = \frac{{6\pi {R^2}\sqrt 7 }}{7};V = \frac{{3\pi {R^3}\sqrt 7 }}{7}$.
C. ${S_{xq}} = \frac{{3\pi {R^2}}}{{\sqrt 7 }};V = \frac{{2\pi {R^3}\sqrt 7 }}{7}$.
D. ${S_{xq}} = \frac{{3\pi {R^2}\sqrt 7 }}{7};V = \frac{{\pi {R^3}\sqrt 7 }}{7}$.
hình trụ và thể tích V của khối trụ tương ứng.png

* Ta có: $OO' \bot \left( {OAB} \right)$. Gọi h là trung điểm của AB thì$OH \bot AB,{\rm{ }}O'H \bot AB$$ \Rightarrow \widehat {OHO'} = {60^0}$.
* Giả sử OH = x. Khi đó: $0 < x < R$ và $OO' = x\tan {60^0} = x\sqrt 3 $.
* Xét $\Delta OAH$, ta có: $A{H^2} = {R^2} - {x^2}$.
* Vì $\Delta O'AB$đều nên: $O'A = AB = 2AH = 2\sqrt {{R^2} - {x^2}} {\rm{ }}\left( 1 \right)$.
* Mặt khác, $\Delta AOO'$vuông tạiO nên:
$AO{'^2} = OO{'^2} + {R^2} = 3{x^2} + {R^2}{\rm{ }}\left( 2 \right)$.
* Từ$\left( 1 \right),\left( 2 \right)$$ \Rightarrow 4\left( {{R^2} - {x^2}} \right) = 3{x^2} + {R^2} \Rightarrow {x^2} = \frac{{3{R^2}}}{7}$.
$ \Rightarrow h = OO' = x\sqrt 3 = \frac{{3R\sqrt 7 }}{7}$.
* Vậy, nếu kí hiệu$S$là diện tích xung quanh và$V$là thể tích của hình trụ thì, ta có: $S = 2\pi Rh = \frac{{6\pi {R^2}\sqrt 7 }}{7};\,\,\,V = \pi {R^2}h = \frac{{3\pi {R^3}\sqrt 7 }}{7}$.