Câu 1 (Đề thi chính thức 2019): Biết $\int\limits_0^1 {f(x)dx = 2;\int\limits_0^1 {g(x)dx = - 4} } $. Khi đó $\int\limits_0^1 {\left[ {f(x) + g(x)} \right]} dx$ bằng
A. 6.
B. -6.
C. - 2.
D. 2.
$\int\limits_0^1 {\left[ {f(x) + g(x)} \right]} dx = \int\limits_0^1 {f(x)dx + \int\limits_0^1 {g(x)dx = 2 - 4 = - 2} } $.
Câu 2(Đề thi chính thức 2019): Cho hàm số f(x) liên tục trên R. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = 0, x = -2 và x = 3 (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. $S = \int\limits_{ - 2}^1 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} $.
B. $S = - \int\limits_{ - 2}^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} $.
C. $S = \int\limits_{ - 2}^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} $.
D. $S = - \int\limits_{ - 2}^1 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} $.
Ta có
$\begin{array}{l} S = \int\limits_{ - 2}^3 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \\ = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} + \int\limits_1^3 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \\ = \int\limits_{ - 2}^1 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} \end{array}$
Câu 3(Đề thi chính thức 2019): Cho hàm số f(x). Biết f(0) = 4 và $f'(x) = 2{\sin ^2}x + 3,\forall x \in R$, khi đó $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f(x)dx} $ bằng
A. $\frac{{{\pi ^2} - 2}}{8}$.
B. $\frac{{{\pi ^2} + 8\pi - 8}}{8}$.
C. $\frac{{{\pi ^2} + 8\pi - 2}}{8}$.
D. $\frac{{3{\pi ^2} + 2\pi - 3}}{8}$.
Ta có
$\begin{array}{l} f'(x) = 2{\sin ^2}x + 3,\forall x \in R\\ \Rightarrow f(x) = \int {\left( {2{{\sin }^2}x + 3} \right)} dx\\ = \int {\left( {4 - \cos 2x} \right)} dx\\ = 4x - \frac{1}{2}\sin 2x + C \end{array}$
Vì $f(0) = 4 \Rightarrow C = 4 \Rightarrow f(x) = 4x - \frac{1}{2}\sin 2x + 4$.
Khi đó
$\begin{array}{l} \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f(x)dx} \\ = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {4x - \frac{1}{2}\sin 2x + 4} \right)dx} \\ = \left. {\left( {2{x^2} + 4x + \frac{1}{4}\cos 2x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}}\\ = \frac{{{\pi ^2} + 8\pi - 2}}{8} \end{array}$.
Câu 4(Đề thi chính thức 2019): Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R. Biết f(3) = 1 và $\int\limits_0^1 {xf\left( {3x} \right){\mathop{\rm d}\nolimits} x} = 1$, khi đó $\int\limits_0^3 {{x^2}f'\left( x \right){\mathop{\rm d}\nolimits} x} $ bằng
A. 3.
B. 7.
C. - 9.
D. 25/3.
Câu 5(Đề thi chính thức 2019): Cho hàm số f(x) liên tục trên R. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = 0, x = - 1 và x = 4 (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. $S = - \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} $.
B. $S = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} $.
C. $S = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} $.
D. $S = - \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} $.
Ta có
$\begin{array}{l}
S = \int\limits_{ - 1}^4 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \\
= \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} + \int\limits_1^4 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \\
= \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx}
\end{array}$
Câu 6(Đề thi chính thức 2019): Cho hàm số f(x). Biết f(0) = 4 và $f'\left( x \right) = 2{\cos ^2}x + 1$, $\forall x \in R$, khi đó $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( x \right)dx} $ bằng
A. $\frac{{{\pi ^2} + 4}}{{16}}$.
B. $\frac{{{\pi ^2} + 14\pi }}{{16}}$ .
C. $\frac{{{\pi ^2} + 16\pi + 4}}{{16}}$ .
D. $\frac{{{\pi ^2} + 16\pi + 16}}{{16}}$ .
Ta có:
$\begin{array}{l} f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} \\ = \int {\left( {2{{\cos }^2}x + 1} \right)dx} \\ = \int {\left( {2 + \cos 2x} \right)} dx\\ = 2x + \frac{1}{2}\sin 2x + C \end{array}$
Theo bài: $f\left( 0 \right) = 4 \Leftrightarrow 2.0 + \frac{1}{2}.\sin 0 + C = 4 \Leftrightarrow C = 4$ . Suy ra$f\left( x \right) = 2x + \frac{1}{2}\sin 2x + 4$ .
Vậy:
$\begin{array}{l} \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( x \right)dx} \\ = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {2x + \frac{1}{2}\sin 2x + 4} \right)dx} \\ = \left. {\left( {{x^2} - \frac{{\cos 2x}}{4} + 4x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}}\\ = \left( {\frac{{{\pi ^2}}}{{16}} + \pi } \right) - \left( { - \frac{1}{4}} \right)\\ = \frac{{{\pi ^2} + 16\pi + 4}}{{16}} \end{array}$
Câu 7 (Đề thi chính thức 2018). Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = e$^x$, y = 0, x = 0, x = 2. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $S = \pi \int_0^2 {{e^{2x}}dx} $
B. $S = \int_0^2 {{e^x}dx} $
C. $S = \pi \int_0^2 {{e^x}dx} $
D. ${S = \int_0^2 {{e^{2x}}dx} }$
Câu 8 (đề thi chính thức 2018).$\int_{16}^{55} {\frac{{dx}}{{x\sqrt {x + 9} }} = a\ln \left( 2 \right) + b\ln \left( 5 \right) + c\ln \left( {11} \right)} $ với a, b, c, là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a - b = - c
B. a + b = c
C. a + b = 3c
D. a - b = - 3c
Giải
Câu 8 (Đề thi chính thức khối A-B-D): Tính tích phân $I = \int\limits_1^2 {\frac{{2x + 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}}dx} $
Câu 9 (Cao đẳng khối A, B, D năm 2011). Tính tích phân: $I = \int\limits_0^2 {\frac{{2x - 1}}{{x + 1}}dx} $
Câu 9 (Đại học khối A năm 2011). Tính tích phân \[I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{x\sin x + \left( {x + 1} \right)\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}dx} \]
A. 6.
B. -6.
C. - 2.
D. 2.
Lời giải
Đáp án C$\int\limits_0^1 {\left[ {f(x) + g(x)} \right]} dx = \int\limits_0^1 {f(x)dx + \int\limits_0^1 {g(x)dx = 2 - 4 = - 2} } $.
Câu 2(Đề thi chính thức 2019): Cho hàm số f(x) liên tục trên R. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = 0, x = -2 và x = 3 (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
B. $S = - \int\limits_{ - 2}^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} $.
C. $S = \int\limits_{ - 2}^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} $.
D. $S = - \int\limits_{ - 2}^1 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} $.
Lời giải
Đáp án ATa có
$\begin{array}{l} S = \int\limits_{ - 2}^3 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \\ = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} + \int\limits_1^3 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \\ = \int\limits_{ - 2}^1 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} \end{array}$
Câu 3(Đề thi chính thức 2019): Cho hàm số f(x). Biết f(0) = 4 và $f'(x) = 2{\sin ^2}x + 3,\forall x \in R$, khi đó $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f(x)dx} $ bằng
A. $\frac{{{\pi ^2} - 2}}{8}$.
B. $\frac{{{\pi ^2} + 8\pi - 8}}{8}$.
C. $\frac{{{\pi ^2} + 8\pi - 2}}{8}$.
D. $\frac{{3{\pi ^2} + 2\pi - 3}}{8}$.
Lời giải
Đáp án CTa có
$\begin{array}{l} f'(x) = 2{\sin ^2}x + 3,\forall x \in R\\ \Rightarrow f(x) = \int {\left( {2{{\sin }^2}x + 3} \right)} dx\\ = \int {\left( {4 - \cos 2x} \right)} dx\\ = 4x - \frac{1}{2}\sin 2x + C \end{array}$
Vì $f(0) = 4 \Rightarrow C = 4 \Rightarrow f(x) = 4x - \frac{1}{2}\sin 2x + 4$.
Khi đó
$\begin{array}{l} \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f(x)dx} \\ = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {4x - \frac{1}{2}\sin 2x + 4} \right)dx} \\ = \left. {\left( {2{x^2} + 4x + \frac{1}{4}\cos 2x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}}\\ = \frac{{{\pi ^2} + 8\pi - 2}}{8} \end{array}$.
Câu 4(Đề thi chính thức 2019): Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R. Biết f(3) = 1 và $\int\limits_0^1 {xf\left( {3x} \right){\mathop{\rm d}\nolimits} x} = 1$, khi đó $\int\limits_0^3 {{x^2}f'\left( x \right){\mathop{\rm d}\nolimits} x} $ bằng
A. 3.
B. 7.
C. - 9.
D. 25/3.
Lời giải
Câu 5(Đề thi chính thức 2019): Cho hàm số f(x) liên tục trên R. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = 0, x = - 1 và x = 4 (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
B. $S = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} $.
C. $S = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} $.
D. $S = - \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} $.
Lời giải
Đáp án BTa có
$\begin{array}{l}
S = \int\limits_{ - 1}^4 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \\
= \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} + \int\limits_1^4 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \\
= \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx}
\end{array}$
Câu 6(Đề thi chính thức 2019): Cho hàm số f(x). Biết f(0) = 4 và $f'\left( x \right) = 2{\cos ^2}x + 1$, $\forall x \in R$, khi đó $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( x \right)dx} $ bằng
A. $\frac{{{\pi ^2} + 4}}{{16}}$.
B. $\frac{{{\pi ^2} + 14\pi }}{{16}}$ .
C. $\frac{{{\pi ^2} + 16\pi + 4}}{{16}}$ .
D. $\frac{{{\pi ^2} + 16\pi + 16}}{{16}}$ .
Lời giải
Đáp án CTa có:
$\begin{array}{l} f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} \\ = \int {\left( {2{{\cos }^2}x + 1} \right)dx} \\ = \int {\left( {2 + \cos 2x} \right)} dx\\ = 2x + \frac{1}{2}\sin 2x + C \end{array}$
Theo bài: $f\left( 0 \right) = 4 \Leftrightarrow 2.0 + \frac{1}{2}.\sin 0 + C = 4 \Leftrightarrow C = 4$ . Suy ra$f\left( x \right) = 2x + \frac{1}{2}\sin 2x + 4$ .
Vậy:
$\begin{array}{l} \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( x \right)dx} \\ = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {2x + \frac{1}{2}\sin 2x + 4} \right)dx} \\ = \left. {\left( {{x^2} - \frac{{\cos 2x}}{4} + 4x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}}\\ = \left( {\frac{{{\pi ^2}}}{{16}} + \pi } \right) - \left( { - \frac{1}{4}} \right)\\ = \frac{{{\pi ^2} + 16\pi + 4}}{{16}} \end{array}$
Câu 7 (Đề thi chính thức 2018). Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = e$^x$, y = 0, x = 0, x = 2. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $S = \pi \int_0^2 {{e^{2x}}dx} $
B. $S = \int_0^2 {{e^x}dx} $
C. $S = \pi \int_0^2 {{e^x}dx} $
D. ${S = \int_0^2 {{e^{2x}}dx} }$
Giải
Câu 8 (đề thi chính thức 2018).$\int_{16}^{55} {\frac{{dx}}{{x\sqrt {x + 9} }} = a\ln \left( 2 \right) + b\ln \left( 5 \right) + c\ln \left( {11} \right)} $ với a, b, c, là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a - b = - c
B. a + b = c
C. a + b = 3c
D. a - b = - 3c
Giải
Câu 8 (Đề thi chính thức khối A-B-D): Tính tích phân $I = \int\limits_1^2 {\frac{{2x + 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}}dx} $
Giải
Câu 9 (Cao đẳng khối A, B, D năm 2011). Tính tích phân: $I = \int\limits_0^2 {\frac{{2x - 1}}{{x + 1}}dx} $
Giải
Câu 9 (Đại học khối A năm 2011). Tính tích phân \[I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{x\sin x + \left( {x + 1} \right)\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}dx} \]
Giải
Sửa lần cuối: