Các bảng công thức logarit, công thức mũ và công thức lũy thừa được hệ thống một cách cẩn thận siêu ngắn gọn
1. Công thức phương trình, bất phương trình mũ:
– ${{a}^{f(x)}}={{a}^{g(x)}}\Leftrightarrow f(x)=g(x)$
– ${{a}^{f(x)}}=b={{a}^{{{\log }_{a}}b}}\Leftrightarrow f(x)={{\log }_{a}}b$
– ${{a}^{f(x)}}={{b}^{g(x)}}\Leftrightarrow f(x)=g(x).{{\log }_{a}}b$
– ${{a}^{f(x)}}>{{a}^{g(x)}}(1)$
+) $a>1$, $(1)\Leftrightarrow f(x)>g(x)$
+) $0<a<1$, $(1)\Leftrightarrow f(x)<g(x)$
2. Phương trình logarit, bất phương trình logarit
– Vơi $a>1$, ${{\log }_{a}}f(x)>lo{{g}_{a}}g(x)$, $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}f(x)>g(x) \\g(x)>0 \\\end{matrix} \right.$
– Với $0<a<1$, ${{\log }_{a}}f(x)>lo{{g}_{a}}g(x)$, $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}f(x)<g(x) \\f(x)>0 \\\end{matrix} \right.$
– Xét bất phương trình: ${{\log }_{a}}f(x)>b(1)$ với $0<x\ne 1$
+) Khi $a>1$, $(1)\Leftrightarrow f(x)>{{a}^{b}}$
+) Khi $0<a<1$, $(1)\Leftrightarrow 0<f(x)<{{a}^{b}}$
3. Tổng hợp tên gọi các công thức mũ, logarit, lũy thừa được đề cập trong bài viết
– Logarit của 1 thương: ${{\log }_{a}}\left( \frac{{{n}_{1}}}{{{n}_{2}}} \right)={{\log }_{a}}{{n}_{1}}-{{\log }_{a}}{{n}_{2}}$
– Logarit của 1 tích: ${{\log }_{a}}({{n}_{1}}.{{n}_{2}})={{\log }_{a}}{{n}_{1}}+{{\log }_{a}}{{n}_{2}}$
– Logarit tự nhiên: Kí hiệu là $\ln $ và hiểu rằng: $\operatorname{lnb}=lo{{g}_{e}}b$
– Logarit nepe: được hiểu là một cái tên khác của logarit tự nhiên, kí hiệu $\ln $
– Logarit cơ số e: được hiểu là một cái tên khác của logarit tự nhiên, nhưng với ý nghĩa trực quan, dễ nhớ hơn.
– Logarit cơ bản: Các công thức trong bảng 1 và bảng 2 đều là những công thức cơ bản thường gặp trong các phép biến đổi đơn giản trong bài toán.
– Công thức đổi cơ số logarit: ${{\log }_{a}}x=\frac{{{\log }_{b}}x}{{{\log }_{b}}a}$
4. Một số phương trình logarit cơ bản:
Khi giải phương trình logarit loại cơ bản ta thực hiện theo các bước sau:
+ Tìm điều kiện xác định: Đây là một bước khá quan trọng, khi điều kiện chưa chặt chẽ, kết quả của bài toán dễ bị loại bỏ. Hàm số logarit có điều kiện xác định khá khó chịu.
+ Dùng các phép biến đổi tương đương, áp dụng công thức logarit để biến đổi tương đương. Các phương trình hệ quả sau cùng có thể là phương trình bậc nhất, bậc 2, bậc 3 hoặc phương trình vô tỉ. Chúng ta cùng tham khảo một số ví dụ sau để có thể dễ dàng hình dung hơn:
a. ${{\log }_{3}}(3x-2)=3$
– Điều kiện: $x>\frac{2}{3}$
– Giải: ${{\log }_{3}}(3x-2)=3$ $\Leftrightarrow 3x-2={{3}^{3}}$ $\Leftrightarrow x=\frac{29}{3}(TM)$
b. ${{\log }_{2}}({{\log }_{4}}x)=1$
– Điều kiện: $\left\{ \begin{matrix}x>0 \\{{\log }_{4}}x>0 \\\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x>0 \\x>1 \\\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow x>1$
– Giải: ${{\log }_{2}}({{\log }_{4}}x)=1$ $\Leftrightarrow {{\log }_{4}}x=2$ $\Leftrightarrow x={{4}^{2}}=16$ (TM)
c. ${{\log }_{\sqrt{3}}}\left| x+1 \right|=2$
– Điều kiện: $\left| x+1 \right|>0$ $\Leftrightarrow x\ne -1$
– Giải: ${{\log }_{\sqrt{3}}}\left| x+1 \right|=2$ $\Leftrightarrow \left| x+1 \right|=3$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x+1=3 \\x+1=-3 \\\end{matrix}, \right.$ $\Rightarrow S=\left\{ -4;2\} \right.$
d. Giải phương trình: ${{\log }_{x}}(x+2)=2$
– Điều kiện: $\left\{ \begin{matrix}x+2>0 \\x>0 \\x\ne -1 \\\end{matrix},\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x>-2 \\x>0 \\x\ne -1 \\\end{matrix},\Leftrightarrow \right. \right.\left\{ \begin{matrix}x>0 \\x\ne -1 \\\end{matrix} \right.$
– Giải: ${{\log }_{x}}(x+2)=2,\Leftrightarrow x+2={{x}^{2}},\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x=1(TM) \\
x=-1(KTM) \\\end{matrix}, \right.S=\text{ }\!\!\{\!\!\text{ }1\}$
Xem thêm: các công thức logarit
Sửa lần cuối: