Hàm số bậc nhất

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT

Định nghĩa: Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng y = ax + b, trong đó a, b là các hằng số và a ≠ 0.
Cho hàm số: y = ax + b, với a ≠ 0.
Miền xác định D = $\mathbb{R}$.
Sự biến thiên: là hàm số đơn điệu.
Cụ thể:
  • Với a > 0, hàm số đồng biến.
  • Với a < 0, hàm số nghịch biến.
Đồ thị: đồ thị của hàm bậc nhất là một đường thẳng (d), do đó chỉ cần xác định hai điểm bất kỳ thuộc (d) ta sẽ có được đồ thị của (d).
  • Nếu b = 0, đồ thị của (d) đi qua gốc toạ độ O và điểm A(1, a).
  • Nếu b ≠ 0, đồ thị của (d) đi qua hai điểm B(0, b) và C(-$\frac{b}{a}$, 0).
Hệ số góc: hệ số a được gọi là hệ số góc của đường thẳng (d).
* Chú ý: Cho hai đường thẳng (d1) và (d2): (d1): y = a$_1$x + b1 với a1 ≠ 0, (d2): y = a$_2$x + b2 với a2 ≠ 0.
  • (d1) // (d2) <=> a1 = a2 và b1 ≠ b2.
  • (d1) cắt (d2) <=> a1 ≠ a2.


Dạng toán 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc nhất
Thí dụ 1.
Cho hàm số y = -x + 3.
a. Xác định giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung và trục hoành. Vẽ đồ thị hàm số.
b. Gọi A và B theo thứ tự là hai giao điểm nói trên. Tính diện tích ΔOAB (O là gốc toạ độ).
c. Gọi α là góc nhọn tạo bởi đồ thị hàm số với trục Ox. Tính tanα, suy ra số đo góc α.
d. Bằng đồ thị tìm x để y > 0, y ≤ 0.
a. Đồ thị cắt trục Oy tại A có: x = 0 => y = -0 + 3 = 3 => A(0, 3).
hàm bậc nhất 01.png
Đồ thị cắt trục Ox tại B có: y = 0 => 0 = -x + 3 <=> x = 3 => B(3, 0).
b. Ta có: S$_{ΔOAB}$ = $\frac{1}{2}$OA.OB = $\frac{1}{2}$.3.3 = $\frac{9}{2}$ (đơn vị diện tích).
c. Trong ΔOAB, ta có $\widehat {ABO}$ = α, suy ra:
d. $$tanα = $\frac{{OA}}{{OB}} = \frac{3}{3}$ = 1 => α = 45$^0$.
e. Từ đồ thị suy ra:
* y > 0 <=> x < 3, ứng với phhần đồ thị phía trên trục Ox.
* y ≤ 0 <=> x ≥ 3, ứng với phhần đồ thị phía dưới trục Ox.

Thí dụ 2. Vẽ đồ thị của các hàm số:
a. y = $\left\{ \begin{array}{l} 2x\,\,\,\,\,\,\,voi\,\,x \ge 0\\ - \frac{1}{2}x\,\,\,\,voi\,\,x < 0 \end{array} \right.$
b. y = $\left\{ \begin{array}{l} x + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,voi\,\,x \ge 1\\ - 2x + 4\,\,\,\,voi\,\,x < 1 \end{array} \right.$
- Bạn đọc tự vẽ hình.
a. Đồ thị gồm hai tia:
* Tia Ot trùng với đồ thị hàm số y = 2x với x ≥ 0.
* Tia Ot' trùng với đồ thị hàm số y = $\frac{1}{2}$x với x < 0.
b. Đồ thị gồm hai tia:
* Tia A1B đi qua hai điểm A(1; 2) và B(2; 3).
* Tia A2B đi qua hai điểm A(0; 4) và B(2; 3).

Thí dụ 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số:
a. y = |x - 1|.
b. y = |2x - 1| + |2x +1|.
a. Ta biến đổi:
hàm bậc nhất 03.png

y = $\left\{ \begin{array}{l} \,\,\,x - 1\,\,\,\,\,Neu\,\,x \ge 1\\ - (x - 1)\,\,Neu\,x \le 1 \end{array} \right. = \left\{ \begin{array}{l} x - 1\,\,\,\,Neu\,\,x \ge 1\\ 1 - x\,\,\,\,\,Neu\,\,x \le 1 \end{array} \right.$
Do đó, đồ thị hàm số là hai tia IA (với I(1; 0) và A(2, 1)) và IB (với B(0, 1)).
hàm bậc nhất 03_a.png

Điều đó chứng tỏ:
* Hàm số nghịch biến trên (-∞; 1).
* Hàm số đồng biến trên (1; +∞).
b. Viết lại hàm số dưới dạng:
hàm bậc nhất 03_b.png

y = $\left\{ \begin{array}{l} - 4x\,\,neu\,\,x \le - \frac{1}{2}\\ \,\,\,\,\,\,\,2\,\,neu\,\, - \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}\\ \,\,\,\,4x\,\,neu\,\,x \ge \frac{1}{2} \end{array} \right.$
Do đó, đồ thị hàm số gồm:
* Tia IA với A(-1; 4) và I(-$\frac{1}{2}$; 2).
* Đoạn thẳng IJ với J($\frac{1}{2}$; 2).
* Tia JB với B(1; 4).

Thí dụ 4. Cho hàm số: (d$_m$): y = (m - 1)x + 2m - 3.
a. Tìm m để hàm số là đồng biến, nghịch biến, không đổi.
b. Chứng tỏ rằng khi m thay đổi (Cm) luôn đi qua 1 điểm cố định.
a. Điều kiện để hàm số đồng biến: m – 1 > 0 <=> m > 1.
Điều kiện để hàm số nghịch biến: m – 1 < 0 <=> m < 1.
Điều kiện để hàm số không đổi biến: m – 1 = 0 <=> m = 1.
b. Giả sử đồ thị hàm số luôn đi qua điểm M(x$_0$ ; y$_0$), ta có:
y$_0$ = (m - 1)x$_0$ + 2m - 3, ∀m <=> (x$_0$ + 2)m – x$_0$ – 3 – y$_0$ = 0, ∀m
<=> $\left\{ \begin{array}{l}{x_0} + 2 = 0\\ - {x_0} - {y_0} - 3 = 0\end{array} \right.$ <=> $\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = - 2\\{y_0} = - 1\end{array} \right.$.
Vậy, đồ thị hàm số luôn đi qua điểm cố định M(–2 ; –1).

Thí dụ 5. Cho họ đường thẳng (d$_m$) có phương trình: (d$_m$): (m - 1)x + (2m - 3)y - m - 1 = 0.
1. Xác định m để:
a. (d$_m$) đi qua A(2, 1).
b. (d$_m$) có hướng đi lên.
c. (d$_m$)//Ox.
d. (d$_m$) vuông góc với đường thẳng (Δ1): 3x + 2y - 100 = 0.
e. (d$_m$) song song với đường thẳng (Δ2): x - 2y + 12 = 0.
2. Tìm điểm cố định mà họ (d$_m$) luôn đi qua.
1. Ta lần lượt có:
a. (d$_m$) đi qua điểm A(2, 1) điều kiện là: (m - 1).2 + (2m - 3).1 - m - 1 = 0 <=> 3m – 6 = 0 <=> m = 2.
b. (d$_m$) có hướng đi lên điều kiện là: ab < 0 <=> (m - 1)(2m - 3) <=> 1 < m < $\frac{3}{2}$.
c. (d$_m$) song song với Ox điều kiện là: m – 1 = 0 <=> m = 1.
d. (d$_m$) vuông góc với đường thẳng (Δ1) điều kiện là: 3(m - 1) + 2(2m - 3) = 0 <=> 7m = 9 <=> m = $\frac{9}{7}$.
e. (d$_m$) song song với đường thẳng (Δ2) điều kiện là: $\frac{{m - 1}}{1} = \frac{{2m - 3}}{{ - 2}}$ <=> 4m = 5 <=> m = $\frac{5}{4}$.
2. Giả sử đồ thị hàm số luôn đi qua điểm M(x$_0$ ; y$_0$), ta có: (m - 1)x$_0$ + (2m - 3)y$_0$ - m - 1 = 0, ∀m
<=> (x$_0$ + 2y$_0$ – 1)m – x$_0$ – 3y$_0$ – 1 = 0, ∀m
<=> $\left\{ \begin{array}{l}{x_0} + 2{y_0} - 1 = 0\\{x_0} + 3{y_0} + 1 = 0\end{array} \right.$ <=> $\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 5\\{y_0} = - 2\end{array} \right.$.
Vậy, đường thẳng (d$_m$) luôn đi qua điểm cố định M(5 ; – 2).

Thí dụ 6. Cho hai hàm số f(x) = (m$^2$ + 1)x - 4 và g(x) = mx + 2, với m ≠ 0.
Chứng minh rằng:
a. Các hàm số f(x), f(x) + g(x), f(x) - g(x) là các hàm đồng biến.
b. Hàm số g(x) - f(x) là hàm nghịch biến.
a. Ta lần lượt xét:
* Hàm số f(x) có hệ số a = m$^2$ + 1 > 0 do đó nó là hàm đồng biến.
* Hàm số: f(x) + g(x) = (m$^2$ + 1)x - 4 + mx + 2 = (m$^2$ + m + 1)x - 2 có hệ số: a = m$^2$ + m + 1 = ${\left( {m + \frac{1}{2}} \right)^2}$ + $\frac{3}{4}$ > 0 do đó, nó là hàm đồng biến.
* Hàm số: f(x) - g(x) = (m$^2$ + 1)x - 4 - (mx + 2) = (m$^2$ - m + 1)x - 6 có hệ số: a = m$^2$ - m + 1 = ${\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2}$ + $\frac{3}{4}$ > 0 do đó, nó là hàm đồng biến.
b. Hàm số: g(x) - f(x) = mx + 2 - [(m$^2$ + 1)x - 4] = -(m$^2$ - m + 1)x + 6.
có hệ số: a = -(m$^2$ - m + 1) = $ - \left[ {{{\left( {m - \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}} \right]$ < 0 do đó, nó là hàm nghịch biến.

Thí dụ 7. Cho hàm số y = f(x) = ax + b, với a ≠ 0.
a. Chứng minh rằng với một giá trị x$_0$ tuỳ ý cho trước, bao giờ cũng tìm được hai số m và n sao cho f(m) < f(x$_0$) < f( n ).
b. Chứng minh rằng hàm số bậc nhất không có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.
a. Ta biết rằng với mỗi x$_0$ tuỳ ý cho trước, bao giờ cũng có: x$_0$ - 1 < x$_0$ < x$_0$ + 1.
Ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Với a > 0, khi đó hàm số đồng biến, do đó: f(x$_0$ - 1) < f(x$_0$) < f(x$_0$ + 1) từ đó, ta chọn m = x$_0$ - 1 và n = x$_0$ + 1.
Trường hợp 2: Với a < 0, khi đó hàm số nghịch biến, do đó: f(x$_0$ - 1) > f(x$_0$) > f(x$_0$ + 1) từ đó, ta chọn m = x$_0$ + 1 và n = x$_0$ - 1.
b. Giả sử trái lại hàm số có:
* Giá trị lớn nhất f(x1) ứng với x1.
* Giá trị nhỏ nhất f(x2) ứng với x2.
Theo kết quả câu a), luôn tìm được hai số m và n sao cho:
f(x1) < f( n ) => f(x1) không phải là giá trị lớn nhất.
f(x2) > f( m ) => f(x2) không phải là giá trị nhỏ nhất.

Thí dụ 8. Cho hàm số y = f(x) = ax, với a ≠ 0.
a. Chứng minh rằng f(kx1) = kf(x1) và f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2).
b. Các hệ thức trong câu a) còn đúng với hàm số: y = g(x) = ax + b, với b ≠ 0 hay không ?
a. Ta có: f(kx1) = a(kx1) = akx1 = k(ax1) = kf(x1), đpcm.
f(x1 + x2) = a(x1 + x2) = ax1 + ax2 = f(x1) + f(x2) , đpcm.
b. Ta lần lượt xét:
* Với hệ thức: g(kx1) = kg(x1) <=> a(kx1) + b = k(ax1 + b)
<=> akx1 + b = akx1 + bk <=> b(k - 1) = 0 $\mathop \Leftrightarrow \limits^{b \ne 0} $ k = 1.
Vậy, hệ thức g(kx1) = kg(x1) chỉ đúng với k = 0.
* Với hệ thức: g(x1 + x2) = g(x1) + g(x2) <=> a(x1 + x2) + b = (ax1 + b) + (ax2 + b)
<=> ax1 + ax2 + b = ax1 + ax2 + 2b <=> b = 0, loại.
Vậy, hệ thức g(x1 + x2) = g(x1) + g(x2) không đúng.

Dạng toán 2: Lập phương trình đường thẳng
Thí dụ 1.
Viết phương trình y = ax + b của các đường thẳng:
a. Đi qua hai điểm A(4, 3) và B(2, -1).
b. Đi qua điểm A(1, -1) và song song với Ox.
a. Ta có: A(4, 3) ∈ (d): y = ax + b <=> 3 = 4a + b. (1)
B(2, -1) ∈ Δ: y = ax + b <=> -1 = 2a + b. (2)
Giải hệ phương trình tạo bởi (1) và (2) ta được a = 2 và b = -5.
Vậy, phương trình đường thẳng (d) có dạng: y = 2x - 5.
b. Đường thẳng (d) đi qua điểm A(1, -1) và song song với trục hoành nên có phương trình: y = -1.

Thí dụ 2. Cho hàm số y = ax - 3a.
a. Xác định giá trị của a để đồ thị hàm số đi qua điểm A(0; 4). Vẽ đồ thị hàm số với a vừa tìm được.
b. Tính khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng tìm được trong a).
a. Đồ thị hàm số đi qua điểm A(0; 4) khi và chỉ khi:
hàm bậc nhất 04_dang2_2.png

4 = a.0 - 3a <=> 3a = -4 <=> a = -$\frac{4}{3}$.
Vậy, hàm số có dạng y = -$\frac{4}{3}$x + 4. Để vẽ đồ thị hàm số ta lấy thêm điểm B(3; 0).

b. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng. Trong ΔOAB vuông tại O, ta có: $\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}}$
<=> OH = $\frac{{OA.OB}}{{\sqrt {O{A^2} + O{B^2}} }}$
= $\frac{{4.3}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }}$ = $\frac{{12}}{5}$.
Vậy, khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng bằng $\frac{{12}}{5}$.
 
Sửa lần cuối: