Hai mặt phẳng song song

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
Dạng 1: Chứng minh hai mặt phẳng song song
Phương pháp áp dụng

Để chứng minh 2 mặt phẳng song song ta đi chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau song song với mặt phẳng kia (hoặc song song với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng kia).
* Chú ý:
1. Sử dụng tính chất: $\left\{ \begin{array}{l}(P)//(Q)\\a \subset (Q)\end{array} \right.$ => a // (P)
ta được thêm một phương pháp để chứng minh đường thẳng a song song với (P).
2. Sử dụng định lí Talét đảo ta được thêm một phương pháp để chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng, cụ thể:
Ba điểm A1, B1, C1 thuộc đường thẳng a và ba điểm A2, B2, C2 thuộc đường thẳng b (với a và b chéo nhau) thoả mãn:
$\frac{{{A_1}{B_1}}}{{{B_1}{C_1}}}$ = $\frac{{{A_2}{B_2}}}{{{B_2}{C_2}}}$
suy ra tồn tại duy nhất bộ ba mặt phẳng (P), (Q), (R) song song lần lượt chứa các đoạn thẳng A1A2, B1B2, C1C2 , từ đó ta được các kết quả:
  • A1A2 song song với (Q) và (R).
  • B1B2 song song với (P) và (R).
  • C1C2 song song với (P) và (Q).
Điều quan trọng nhất cần chỉ ra được sự tồn tại của một trong ba mặt phẳng.

Ví dụ 1: Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong 2 mặt phẳng khác nhau. Trên các đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM = BN. Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M, N lần lượt cắt AD, AF tại M’, N’.
a. Chứng minh rằng (CBE) song song với (ADF).
b. Chứng minh rằng (DEF) song song với (MNN’M’).
c. Gọi I là trung điểm của MN, tìm tập hợp điểm I khi M, N dộng.
Giải
hai-mat-phang-song-song-01-png.939
a. Ta có nhận xét: $\left\{ \begin{array}{l}BC//AD\\BE//AF\end{array} \right.$ => (BCE) // (ADF).
b. Ta có nhận xét: $\frac{{AM'}}{{AD}} = \frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{BN}}{{BF}} = \frac{{AN'}}{{AF}}$ => M'N' // DF. (1)
Mặt khác, ta có MM' // CD. (2)
Từ (1) và (2) suy ra: (MNN’M’) // (DEF).
c. I chạy trên trung tuyến của ΔADE kẻ từ A.

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và CD.
a. Chứng minh rằng mặt phẳng (OMN) và mặt phẳng (SBC) song song với nhau.
b. Gọi I là trung điểm SC, J là một điểm trên (ABCD) và cách đều AB và CD. Chứng minh IJ song song với (SAB).
c. Giả sử hai tam giác SAD, ABC đều cân tại A. Gọi AE, AF là các đường phân giác trong của các tam giác ACD và SAB. Chứng minh rằng EF song song với (SAD).
Giải​
a. Nhận xét rằng:
hai-mat-phang-song-song-02_a-png.940
$\left\{ \begin{array}{l}OM//SC\\ON//BC\end{array} \right.$ => (OMN) // (SBC).
b. Gọi P, Q theo thứ tự là trung điểm AD và BC, suy ra J thuộc đường thẳng PQ.
hai-mat-phang-song-song-02_b-png.941
Nhận xét rằng: $\left\{ \begin{array}{l}PQ//AB\\IQ//SB\end{array} \right.$ => (IPQ) // (SAB) => IJ // (SAB).
c. Sử dụng tính chất đường phân giác, ta có: $\frac{{ED}}{{EC}} = \frac{{AD}}{{AC}}$ = $\frac{{AS}}{{AB}} = \frac{{FS}}{{FB}}$
suy ra tồn tại duy nhất bộ ba mặt phẳng song song lần lượt chứa các đoạn thẳng SD, EF, CD và ta thấy ngay một trong ba mặt phẳng đó chính là (SAD), do đó:
EF // (SAD).
* Chú ý: Nếu các em học sinh cảm thấy khó hiểu trong lời giải của câu c) thì có thể sử dụng lời giải tường minh hơn như sau:
Dựng EH // SD, H ∈ SC. (1)
Nhận xét rằng:
$\frac{{HS}}{{HC}}$ = $\frac{{ED}}{{EC}} = \frac{{AD}}{{AC}}$ = $\frac{{AS}}{{AB}} = \frac{{FS}}{{FB}}$ => HF // BC => HF // AD. (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
(HEF) // (SAD) => EF // (SAD).

Dạng 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
Thiết diện song song với một mặt phẳng cho trước
Phương pháp áp dụng

1. Ta sử dụng thêm tính chất 2 để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng.
2. Thiết diện của hình chóp cắt bởi một mặt phẳng song song với một mặt phẳng cho trước được xác định thông qua việc tìm được các đoạn giao tuyến như trên.

Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng chéo nhau. Chứng minh rằng có đúng hai mặt phẳng song song với nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng đó.
Giải​
Với hai đường thẳng chéo nhau a và b thì theo định lí 3 của bài học 3:
hai-mat-phang-song-song-03_dang-2_thi-du-1-png.942
Có duy nhất một mặt phẳng (P) chứa a và song song với b, nó được dựng bằng cách:
- Từ điểm A thuộc a kẻ đường thẳng b' song song với b.
- Khi đó (P) = (a, a').
Có duy nhất một mặt phẳng (Q) chứa b và song song với a, nó được dựng bằng cách:
- Từ điểm B thuộc b kẻ đường thẳng a' song song với a.
- Khi đó (Q) = (b, b').
Theo định lí 1, ta có ngay (P) song song với (Q).

Ví dụ 4: Cho hai điểm M, N lần lượt thay đổi trên hai mặt phẳng song song (P) và (Q). Tìm tập hợp các điểm I thuộc đoạn thẳng MN sao cho $\frac{{IM}}{{IN}}$ = k, k ≠ 0 cho trước.
Giải
hai-mat-phang-song-song-03_dang-2_thi-du-2-png.943
Với hai điểm cố định M$_0$ và N$_0$ theo thứ tự thuộc (P) và (Q), lấy điểm I0 thuộc M$_0$N$_0$ sao cho $\frac{{{I_0}{M_0}}}{{{I_0}{N_0}}}$ = k, ta được: $\frac{{{I_0}{M_0}}}{{{I_0}{N_0}}}$ = $\frac{{IM}}{{IN}}$ = k => $\frac{{{I_0}{M_0}}}{{IM}}$ = $\frac{{{I_0}{N_0}}}{{IN}}$ = $\frac{{{M_0}{N_0}}}{{MN}}$
=> M$_0$M, I0I, N$_0$N nằm trên ba mặt phẳng song song.
Vậy, tập hợp các điểm I thuộc mặt phẳng (R) qua I0 và song song với (P).

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AB = 3a, AD = CD = a. Mặt bên (SAB) là tam giác cân đỉnh S với SA = 2a, α là mặt phẳng di động song song với (SAB), cắt các cạnh AD, BC, SC, SD theo thứ tự tại M, N, P, Q.
a. Chứng minh MNPQ là hình thang cân.
b. Đặt x = AM, với 0 < x < a. Định x để MNPQ ngoại tiếp được một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó.
Giải
hai-mat-phang-song-song-03_dang-2_thi-du-3-png.944
a. Ta lần lượt có: $\left\{ \begin{array}{l}\alpha //(SAB)\\MN = \alpha \cap (ABCD)\\AB = (SAB) \cap \end{array} \right.$ => MN // AB.
Lập luận tương tự ta cũng có: NP // BS, PQ // CD, QM // SA.
Nhận xét rằng: MN // PQ bởi AB // CD.
$\frac{{MQ}}{{SA}}$ = $\frac{{DQ}}{{DS}}$ = $\frac{{CP}}{{CS}}$ = $\frac{{NP}}{{SB}}$ $\mathop \Rightarrow \limits^{SA = SB} $ MQ = NP.
Vậy, thiết diện MNPQ là hình thang cân.
b. Để MNPQ ngoại tiếp được một đường tròn điều kiện là:
MN + PQ = MQ + NP <=> MN + PQ = 2MQ. (1)
Trong ΔSAD, ta có: $\frac{{MQ}}{{SA}}$ = $\frac{{DM}}{{DA}} = \frac{{a - x}}{a}$ => MQ = 2(a - x). (2)
Trong ΔSCD, ta có: $\frac{{PQ}}{{CD}} = \frac{{SQ}}{{SD}} = \frac{{AM}}{{AD}}$ = $\frac{x}{a}$ => PQ = x. (3)
Giả sử AB cắt CD tại O và OD = y, ta có: $\frac{{OD}}{{OA}} = \frac{{CD}}{{AB}} = \frac{a}{{3a}}$ => 3y = a + y <=> y = $\frac{a}{2}$.
$\frac{{MN}}{{AB}}$ = $\frac{{OM}}{{OA}}$ = $\frac{{OD + DM}}{{OD + DA}}$ = $\frac{{\frac{a}{2} + a - x}}{{\frac{a}{2} + a}}$ => MN = 3a - 2x. (4)
hai-mat-phang-song-song-03_dang-2_thi-du-3_b-png.945
Thay (2), (3) và (4) vào (1), ta được: 3a - 2x + x = 4(a - x) <=> x = $\frac{a}{3}$.
Vậy, với x = $\frac{a}{3}$ thì MNPQ ngoại tiếp được một đường tròn.
Khi đó, xét hình thang cân MNPQ, hạ đường cao QH, ta có: QH = $\sqrt {M{Q^2} - M{H^2}} $ = $\sqrt {M{Q^2} - {{\left( {\frac{{MN - PQ}}{2}} \right)}^2}} $ = $\frac{{a\sqrt 7 }}{3}$
suy ra bán kính đường tròn nội tiếp MNPQ là r = $\frac{1}{2}$QH = $\frac{{a\sqrt 7 }}{6}$.

Dạng 3: Sử dụng tính chất của hình lăng trụ và hình hộp - Thiết diện
Phương pháp áp dụng
1. Nắm vững định nghĩa và các tính chất của hình lăng trụ và hình hộp để vẽ hình và chứng minh một số tính chất khác.
2. Việc xác định thiết diện của hình lăng trụ (hình hộp) cắt bởi một mặt phẳng cũng tiến hành tương tự như đối với hình chóp. Lưu ý rằng " Hai đáy hình lăng trụ song song, do đó giao tuyến của mặt phẳng cắt 2 mặt đó, nếu có, là hai đoạn thẳng song song ".

Ví dụ 6: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'.
a. Chứng minh rằng mặt phẳng (BDA') // (B'D'C).
b. Chứng minh rằng đường chéo AC' đi qua các trọng tâm G1, G2 của hai tam giác BDA' và B'D'C.
c. Chứng minh rằng G1 và G2 chia đoạn AC' thành ba phần bằng nhau.
d. Chứng minh rằng các trung điểm của sáu cạnh BC, CD, DD', D'A', A'B', B'B cùng nằm trên một mặt phẳng.
Giải
hai-mat-phang-song-song-04_dang-3_thi-du-1-png.946
a. Gọi O, O' theo thứ tự là tâm của các hình bình hành ABCD và A'B'C'D', ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}A'O//CO'\\BD//B'D'\end{array} \right.$ => (BDA') // (B'D'C).
b. Vì AC', AO, CO' cùng nằm trong mặt phẳng (ACC1A1) nên gọi: G1 = AC' ∩ A'O và G2 = AC' ∩ CO'.
Trong ΔA'BD, điểm G1 thuộc trung tuyến A'O và vì AO // A'C' nên:
$\frac{{GO}}{{GA'}} = \frac{{AO}}{{A'C'}}$ = $\frac{1}{2}$ => G1 là trọng tâm ΔA'BD.
Chứng minh tương tự G2 là trọng tâm ΔCB'D'.
c. Nhận xét rằng OG1, O'G2 theo thứ tự là đường trung bình của ΔACG2 và ΔA'C'G1 nên: AG1 = G1G2 = G2C'
tức là G1, G2 chia đoạn AC' làm 3 phần bằng nhau.
d. Gọi M, N, P, Q, R, S theo thứ tự là trung điểm của sáu cạnh BC, CD, DD', D'A', A'B', B'B.
Vì các đoạn thẳng MN, NP, PQ, QR, RS đều song song với mặt phẳng (A'BD) nển chúng cùng nằm trên một mặt phẳng.

Ví dụ 7:Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi H là trung điểm của cạnh A'B'.
a. Chứng minh rằng đường thẳng B'C song song với mặt phẳng (AHC').
b. Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (A'B'C') và (A'BC). Chứng minh rằng d song song với mặt phẳng (BB'C'C).
c. Xác định thiết diện của hình lăng trụ ABC.A'B'C' khi cắt bởi mặt phẳng (H, d).
Giải
hai-mat-phang-song-song-04_dang-3_thi-du-2-png.947
a. Giả sử:AC' ∩ A'C = {N}=> N là trung điểm AC' và A'C
=> B'C // NH - tính chất đường trung bình
=> B'C // (AHC'), đpcm.
b. Giả sử:
AB' ∩ A'B = {M} => (A'B'C') ∩ (A'BC) = MN.
Từ tính chất đường trung bình, suy ra: MN // BC ⊂ (BB'C'C) => MN // (BB'C'C), đpcm.
c. Nối MH cắt AB tại P (P là trung điểm AB), khi đó:
(H, d) ∩ (ABC) = Px // MN // BC => Px cắt AC tại Q (Q là trung điểm AC).
(H, d) ∩ (A'B'C') = Hy // MN // BC // B'C'=> Hy cắt A'C' tại R (R là trung điểm A'C').
Khi đó, ta được thiết diện là hình bình hành HPQR.

Dạng 4: Các bài toán về chóp cụt
Phương pháp áp dụng
1. Nắm vững định nghĩa và các tính chất của hình hộp để vẽ hình và chứng minh một số tính chất khác.
2. Việc xác định thiết diện của hình hộp cắt bởi một mặt phẳng cũng tiến hành tương tự như đối với hình lăng trụ.

Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A1 là trung điểm của cạnh SA và A2 là trung điểm của đoạn AA1. Gọi (α) và (α) là hai mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABCD) và lần lượt đi qua A1, A2. Mặt phẳng (α) cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại B1, C1, D1. Mặt phẳng (α) cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại B2, C2, D2. Chứng minh :
a. B1, C1, D1 lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC, SD.
b. B1B2 = B2B, C1C2 = C2C, D1D2 = D2D.
c. Chỉ ra các hình chóp cụt có một đáy là tứ giác ABCD.
Giải
hai-mat-phang-song-song-04_dang-4_thi-du-1-png.948
a. Vì (α) song song với (ABCD), suy ra: AB // A1B1
=> A1B1 là đường trung bình của ΔSAB
=> B1 là trung điểm của SB.
Chứng minh tương tự, ta được C1, D1 lần lượt là trung điểm của các cạnh SC, SD.
b. Vì (α) song song với (ABCD), suy ra:
AB // A2B2=> A2B2 là đường trung bình của hình thang ABB1A1
=> B2 là trung điểm của BB1 => B1B2 = B2B.

Ví dụ 9: Cho hình chóp cụt ABC.A'B'C' có đáy lớn ABC và các cạnh bên AA', BB', CC'. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA và M', N', P' lần lượt là trung điểm của các cạnh A'B', B'C', C'A'. Chứng minh MNP.M'N'P' là hình chóp cụt.
Giải
hai-mat-phang-song-song-04_dang-4_thi-du-2-png.949
Để chứng minh MNP.M'N'P' là hình chóp cụt, ta cần đi chứng minh:
Các đường thẳng MM', NN', PP' đồng quy.
MN // M'N', NP // N'P', PM // P'M'.
a. Gọi S là điểm đồng quy của các đường thẳng AA', BB', CC', ta có: AB // A'B'
M, M' theo thứ tự là trung điểm của AB, A'B'
suy ra S ∈ MM'.
Tương tự, ta cũng có S ∈ NN' và S ∈ PP'.
Vậy, các đường thẳng MM', NN', PP' đồng quy tại S.
b. Theo tính chất đường trung bình, ta có:
MN // AC
M'N' // A'C'
ngoài ra, theo tính chất hình chóp cụt AC // A'C' nên MN // M'N'.
Tương tự, ta cũng có NP // N'P', PM // P'M'.
Vậy, ta có kết luận MNP.M'N'P' là hình chóp cụt.
 
Sửa lần cuối:

Bình luận bằng Facebook