Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng phân biệt
Cho hai đường thẳng a và b. Căn cứ vào sự đồng phẳng và số điểm chung của hai đường thẳng ta có bốn trường hợp sau:
a. Hai đường thẳng song song: cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung, tức là $a\parallel b\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \subset \left( P \right);\,\,b \subset \left( P \right)\\a \cap b = \emptyset \end{array} \right.\,.$

b. Hai đường thẳng cắt nhau: chỉ có một điểm chung.
a cắt b khi và chỉ khi $a \cap b = I.$

c. Hai đường thẳng trùng nhau: có hai điểm chung phân biệt.
$a \cap b = \left\{ {A,\,\,B} \right\}\,\, \Leftrightarrow \,\,a\,\, \equiv \,\,b\,.$

d. Hai đường thẳng chéo nhau: không cùng thuộc một mặt phẳng.
vi-tri-tuong-doi-cua-hai-duong-thang-phan-biet-png.918

2. Hai đường thẳng song song
Tính chất 1
: Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó.
Tính chất 2: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Định lí (về giao tuyến của hai mặt phẳng): Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.
Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó (hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó).

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT
Câu
1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
B. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
C. Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau và không song song thì chéo nhau.
D. Hai đường thẳng phân biệt không chéo nhau thì hoặc cắt nhau hoặc song song.
Hai đường thẳng không có điểm chung thì chúng song song (khi chúng đồng phẳng) hoặc chéo nhau (khi chúng không đồng phẳng). Chọn A
Câu 2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hai đường thằng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác.
B. Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng không điểm chung.
C. Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng.
D. Hai đường thẳng chéo nhau khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng.
Chọn D
A sai. Trong trường hợp 2 đường thẳng cắt nhau thì chúng chỉ có 1 điểm chung.
B và C sai. Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng đồng phằng và không có điểm chung.
Câu 3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
B. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì trùng nhau.
C. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc trùng nhau.
D. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng song song.
Chọn C
Câu 4. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Hai đường thẳng chéo nhau thì chúng có điểm chung.
B. Hai đường thẳng không có điểm chung là hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau.
C. Hai đường thẳng song song với nhau khi chúng ở trên cùng một mặt phẳng.
D. Khi hai đường thẳng ở trên hai mặt phẳng phân biệt thì hai đường thẳng đó chéo nhau.
Chọn B
A sai. Hai đường thẳng chéo nhau thì chúng không có điểm chung.
C sai. Có thể xảy ra trường hợp hai đường thẳng đó hoặc cắt nhau hoặc trùng nhau.
D sai. Có thể xảy ra trường hợp hai đường thẳng đó song song.
Câu 5. Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Lấy A, B thuộc a và C, D thuộc b. Khẳng định nào sau đây đúng khi nói về hai đường thẳng AD và BC?
A. Có thể song song hoặc cắt nhau.
B. Cắt nhau.
C. Song song với nhau.
D. Chéo nhau.
hai-duong-thang-cheo-nhau-5-png.919
Theo giả thiết, a và b chéo nhau => a và b không đồng phẳng.
Giả sử AD và BC đồng phẳng.
Nếu $AD \cap BC = I \Rightarrow I \in \left( {ABCD} \right) \Rightarrow I \in \left( {a;b} \right)$. Mà a và b không đồng phẳng, do đó, không tồn tại điểm I.
Nếu $AD\,\parallel \,BC$. a và b đồng phẳng (Mâu thuẫn với giả thiết).
Vậy điều giả sử là sai. Do đó AD và BC chéo nhau. Chọn D
Câu 6. Cho ba mặt phẳng phân biệt $\left( \alpha \right),\;{\rm{ }}\left( \beta \right),{\rm{ }}\;\left( \gamma \right)$ có $\left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right) = {d_1}$; $\left( \beta \right) \cap \left( \gamma \right) = {d_2}$; ... Khi đó ba đường thẳng ${d_1},\;{d_2},\;{d_3}$:
A. Đôi một cắt nhau.
B. Đôi một song song.
C. Đồng quy.
D. Đôi một song song hoặc đồng quy.
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyền ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song. Chọn D
Câu 7. Trong không gian, cho 3 đường thẳng a, b, c, biết $a\,\parallel \,b$, a và c chéo nhau. Khi đó hai đường thẳng b và c:
A. Trùng nhau hoặc chéo nhau.
B. Cắt nhau hoặc chéo nhau.
C. Chéo nhau hoặc song song.
D. Song song hoặc trùng nhau.
Giả sử $b\,\parallel \,c \Rightarrow c\,\parallel \,a$ (mâu thuẫn với giả thiết). Chọn B
Câu 8. Trong không gian, cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c trong đó $a\,\parallel \,b$. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Nếu $a\,\parallel \,c$ thì $b\,\parallel \,c$.
B. Nếu c cắt a thì c cắt b.
C. Nếu $A \in a$ và $B \in b$ thì ba đường thẳng $a,\;b,\;AB$ cùng ở trên một mặt phẳng.
D. Tồn tại duy nhất một mặt phẳng qua a và b.
Nếu C cắt a thì c cắt b hoặc c chéo b. Chọn B
Câu 9. Cho hai đường thẳng chéo nhau A, B và điểm M ở ngoài .. và ngoài b. Có nhiều nhất bao nhiêu đường thẳng qua M cắt cả a và b?
A. 1.
B. 2.
C. 0.
D. Vô số.
hai-duong-thang-cheo-nhau-9-png.920

Gọi (P) là mặt phẳng tạo bởi đường thẳng a và M; (Q) là mặt phẳng tạo bỏi đường thẳng b và M.
Giả sử c là đường thẳng qua M cắt cả a và b.
$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c \in \left( P \right)\\c \in \left( Q \right)\end{array} \right. \Rightarrow c = \left( P \right) \cap \left( Q \right)$.
Vậy chỉ có 1 đường thẳng qua M cắt cả a và b. Chọn A
Câu 10. Trong không gian, cho 3 đường thẳng a, b, c chéo nhau từng đôi. Có nhiều nhất bao nhiêu đường thẳng cắt cả 3 đường thẳng ấy?
A. 1.
B. 2.
C. 0.
D. Vô số.
Gọi M là điểm bất kì nằm trên a.
Giả sử d là đường thẳng qua M cắt cả b và c. Khi đó, d là giao tuyến của mặt phẳng tạo bởi M và b với mặt phẳng tạo bởi M và c.
Với mỗi điểm M ta được một đường thẳng d.
Vậy có vô số đường thẳng cắt cả 3 đường thẳng a, b, c. Chọn D

Vấn đề 2. BÀI TẬP ỨNG DỤNG
Câu
11. Cho tứ diện ABCD. Gọi I,J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A. IJ song song với CD.
B. IJ song song với AB.
C. IJ chéo .
D. IJ cắt AB.
hai-duong-thang-cheo-nhau-11-png.921

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC,BD.
=> MN là đường trung bình của tam giác BCD $ \Rightarrow MN//CD\,\,\,\left( 1 \right)$
$I,J$ lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và $ABD$ $ \Rightarrow \frac{{AI}}{{AM}} = \frac{{AJ}}{{AN}} = \frac{2}{3} \Rightarrow IJ\parallel MN\,\,\,\left( 2 \right)$
Từ (1) và $\left( 2 \right)$ suy ra: $IJ\parallel CD.$ Chọn A
Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có AD không song song với BC. Gọi M,N, P,Q,R,T lần lượt là trung điểm AC,BD,BC,CD,SA,S
D. Cặp đường thẳng nào sau đây song song với nhau?
A. MP và RT.
B. MQ và RT.
C. MN và RT.
D. MP và RT.
hai-duong-thang-cheo-nhau-12-png.922

Ta có: M,Q lần lượt là trung điểm của AC,CD $ \Rightarrow MQ$ là đường trung bình của tam giác $CAD \Rightarrow MQ\parallel AD\,\,\,\,\left( 1 \right)$
Ta có: R,T lần lượt là trung điểm của SA,SD
$ \Rightarrow RT$ là đường trung bình của tam giác $SAD \Rightarrow RT\parallel AD\,\,\,\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ suy ra: $MQ\parallel RT.$ Chọn B
Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I,J,E,F lần lượt là trung điểm SA, SB, SC, S
D. Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào không song song với IJ?
A. EF.
B. DC.
C. BC.
D. AB.
hai-duong-thang-cheo-nhau-13-png.923

Ta có $IJ\parallel AB$ (tính chất đường trung bình trong tam giác $SAB$) và $EF\parallel CD$ (tính chất đường trung bình trong tam giác $SCD$).
Mà $CD\parallel AB$ (đáy là hình bình hành) $ \to CD\parallel AB\parallel EF\parallel IJ.$ Chọn C
Câu 14. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng AB;P,Q là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng CD. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng MP,NQ.
A. $MP\parallel NQ.$
B. $MP \equiv NQ.$
C. MP cắt NQ.
D. MP,NQ chéo nhau.
hai-duong-thang-cheo-nhau-14-png.924

Xét mặt phẳng $\left( {ABP} \right).$
Ta có: M, N thuộc $AB \Rightarrow M,N$ thuộc mặt phẳng $\left( {ABP} \right).$
Mặt khác: $CD \cap \left( {ABP} \right) = P.$
Mà: $Q \in CD \Rightarrow Q \notin \left( {ABP} \right) \Rightarrow M,N,P,Q$ không đồng phẳng. Chọn D
Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$và $\left( {SBC} \right).$ Khẳng định nào sau đây đúng?
A. d qua S và song song với BC.
B. d qua S và song song với DC.
C. d qua S và song song với AB.
D. d qua S và song song với BD.
hai-duong-thang-cheo-nhau-15-png.925

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = S\\AD \subset \left( {SAD} \right),BC \subset \left( {SBC} \right)\\AD\parallel BC\end{array} \right.$ $ \to $ $\left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = Sx\parallel AD\parallel BC$ (với $d \equiv Sx$).
Chọn A
Câu 16. Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J theo thứ tự là trung điểm của AD và AC,G là trọng tâm tam giác BCD. Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {GIJ} \right)$ và $\left( {BCD} \right)$ là đường thẳng:
A. qua I và song song với AB.
B. qua J và song song với BD.
C. qua G và song song với CD.
D. qua G và song song với BC.
hai-duong-thang-cheo-nhau-16-png.926

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\left( {GIJ} \right) \cap \left( {BCD} \right) = G\\IJ \subset \left( {GIJ} \right),\;CD \subset \left( {BCD} \right)\\IJ\parallel CD\end{array} \right.$ $ \to $ $\left( {GIJ} \right) \cap \left( {BCD} \right) = Gx\parallel IJ\parallel CD.$ Chọn C
Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy là AB và CD. Gọi $\left( {ACI} \right)$ lần lượt là trung điểm của AD và BC và G là trọng tâm của tam giác SAB. Giao tuyến của $\left( {SAB} \right)$ và $S,{\rm{ }}SB = 8$. là
A. SC.
B. đường thẳng qua S và song song với AB.
C. đường thẳng qua G và song song với DC.
D. đường thẳng qua G và cắt BC.
hai-duong-thang-cheo-nhau-17-png.927

Ta có: I,J lần lượt là trung điểm của AD và BC
$ \Rightarrow IJ$ là đường trunh bình của hình thang $ABCD \Rightarrow IJ\parallel AB\parallel CD.$
Gọi $d = \left( {SAB} \right) \cap \left( {IJG} \right)$
Ta có: G là điểm chung giữa hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {IJG} \right)$
Mặt khác: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \supset AB;\left( {IJG} \right) \supset IJ\\AB\parallel IJ\end{array} \right.$
=>Giao tuyến d của .. và $\left( {IJG} \right)$ là đường thẳng qua G và song song với AB và IJ. Chọn C
Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I là trung điểm SA. Thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng $\left( {IBC} \right)$ là:
A. Tam giác IBCJ.
B. Hình thang IBCJ (J là trung điểm SD).
C. Hình thang IGBC (G là trung điểm SB).
D. Tứ giác IBCD.
hai-duong-thang-cheo-nhau-18-png.928

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\left( {IBC} \right) \cap \left( {SAD} \right) = I\\BC \subset \left( {IBC} \right),AD \subset \left( {SAD} \right)\\BC\parallel AD\end{array} \right. \to \left( {IBC} \right) \cap \left( {SAD} \right) = Ix\parallel BC\parallel AD$
Trong mặt phẳng $\left( {SAD} \right):$ $Ix\parallel AD,$ gọi $Ix \cap SD = J \to $$IJ\parallel BC$
Vậy thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng $\left( {IBC} \right)$là hình thang IBCJ. Chọn B
Câu 19. Cho tứ diện ABCD, M và N lần lượt là trung điểm AB và AC. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ qua MN cắt tứ diện ABCD theo thiết diện là đa giác $\left( T \right).$ Khẳng định nào sau đây đúng?
A. (T) là hình chữ nhật.
B. (T) là tam giác.
C. (T) là hình thoi.
D. (T) là tam giác hoặc hình thang hoặc hình bình hành.
hai-duong-thang-cheo-nhau-19-png.929

Trường hợp $\left( \alpha \right) \cap AD = K$
$ \to \left( T \right)$ là tam giác $MNK.$ Do đó A và C sai.
Trường hợp $\left( \alpha \right) \cap \left( {BCD} \right) = IJ,$ với $I \in BD,J \in CD;$ $I,J$ không trùng D
$ \to \left( T \right)$ là tứ giác. Do đó B đúng.
Chọn D
Câu 20. Cho hai hình vuông ABCD và CDIS không thuộc một mặt phẳng và cạnh bằng 4. Biết tam giác SAC cân tại $S,{\rm{ }}SB = 8.$ Thiết diện của mặt phẳng $\left( {ACI} \right)$ và hình chóp S.ABCD có diện tích bằng:
A. $6\sqrt 2 .$
B. $8\sqrt 2 .$
C. $10\sqrt 2 .$
D. $9\sqrt 2 .$
hai-duong-thang-cheo-nhau-20-png.930

Gọi $O = SD \cap CI;\;N = AC \cap BD.$
$ \Rightarrow O,N$ lần lượt là trung điểm của ..
Thiết diện của $mp\left( {ACI} \right)$ và hình chóp S.ABCD là tam giác $\Delta OCA.$
Tam giác .. cân tại $S \Rightarrow SC = SA \Rightarrow \Delta SDC = \Delta SDA$
$ \Rightarrow CO = AO$ (cùng là đường trung tuyến của 2 định tương ứng) $ \Rightarrow \Delta OCA$ cân tại $O$
$ \Rightarrow {S_{\Delta OCA}} = \frac{1}{2}ON.AC = \frac{1}{2}.4.4\sqrt 2 = 8\sqrt 2 .$ Chọn B
 

Bình luận bằng Facebook