Giải và biện luận hệ phương trình theo m.

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + my = m + 1\\mx + y = 3m - 1\end{array} \right.\) \(\begin{array}{l}\left( 1 \right)\\\left( 2 \right)\end{array}\)
a) Không giải hệ phương trình trên, cho biết với giá trị nào của m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất?
b) Giải và biện luận hệ phương trình trên theo \(m\).
c) Tìm số nguyên \(m\) sao cho hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x,y} \right)\) mà $x,y$ đều là số nguyên.
d) Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất \(\left( {x,y} \right)\) thì điểm \(M\left( {x,y} \right)\) luôn chạy trên một đường thẳng cố định.
e) Tìm \(m\) để hệ trên có nghiệm duy nhất sao cho \(x.y\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải:
a) Từ phương trình (2) ta có \(y = 3m - 1 - mx\).
Thay vào phương trình (1) ta được: \(x + m\left( {3m - 1 - mx} \right) = m + 1 \Leftrightarrow \left( {{m^2} - 1} \right)x = 3{m^2} - 2m - 1\) (3)
Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (3) có nghiệm duy nhất , tức là \({m^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \pm 1\).
Ta cũng có thể lập luận theo cách khác:
Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi : \(\frac{1}{m} \ne \frac{m}{1} \Leftrightarrow {m^2} \ne 1 \Leftrightarrow m \ne \pm 1\).
b) Từ phương trình (2) ta có \(y = 3m - 1 - mx\).
Thay vào phương trình (1) ta được:\(x + m\left( {3m - 1 - mx} \right) = m + 1 \Leftrightarrow \left( {{m^2} - 1} \right).x = 3{m^2} - 2m - 1\) (3)
Trường hợp 1: \(m \ne \pm 1\).
Khi đó hệ có nghiệm duy nhất
\(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{3{m^2} - 2m - 1}}{{{m^2} - 1}} = \frac{{\left( {m - 1} \right)\left( {3m + 1} \right)}}{{\left( {m - 1} \right).\left( {m + 1} \right)}} = \frac{{3m + 1}}{{m + 1}}\\y = 3m - 1 - m.\frac{{3m + 1}}{{m + 1}} = \frac{{m - 1}}{{m + 1}}\end{array} \right.\)
Trường hợp 2: \(m = 1\). Khi đó phương trình (3) thành: \(0.x = 0\).
Vậy hệ có vô số nghiệm dạng \(\left( {x;2 - x} \right),x \in \mathbb{R}\).
Trường hợp 3: \(m = - 1\) khi đó phương trình (3) thành: \(0.x = 4\)
(3) vô nghiệm, do đó hệ vô nghiệm.
c) Hệ đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi \(m \ne \pm 1\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{3m + 1}}{{m + 1}} = 3 - \frac{2}{{m + 1}}\\y = \frac{{m - 1}}{{m + 1}} = 1 - \frac{2}{{m + 1}}\end{array} \right.\).
Vậy \(x,y\) nguyên khi và chỉ khi \(\frac{2}{{m + 1}}\) nguyên.
Do đó \(m + 1\) chỉ có thể là \( - 2; - 1;1;2\). Vậy \(m = - 3; - 2;0\) (thỏa mãn) hoặc \(m = 1\) (loại)
Vậy \(m\) nhận các giá trị là \( - 3; - 2;0\).
d) Khi hệ có nghiệm duy nhất \(\left( {x,y} \right)\) ta có: $x - y = 3 - \frac{2}{{m + 1}} - \left( {1 - \frac{2}{{m + 1}}} \right) = 2$
Vậy điểm \(M\left( {x;y} \right)\) luôn chạy trên đường thẳng cố định có phương trình \(y = x - 2\).
e) Khi hệ có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right)\) theo (d) ta có: \(y = x - 2\).
Do đó: \(xy = x.\left( {x - 2} \right) = {x^2} - 2x + 1 - 1 = {\left( {x - 1} \right)^2} - 1 \ge - 1\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
\(x = 1 \Leftrightarrow 3 - \frac{2}{{m + 1}} = 1 \Leftrightarrow \frac{2}{{m + 1}} = 2 \Leftrightarrow m + 1 = 1 \Leftrightarrow m = 0\).
Vậy với \(m = 0\) thì \(x.y\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Chú ý: Ta cũng có thể tìm quan hệ \(x - y = 2\) theo cách khác:
Khi hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + my = m + 1\\mx + y = 3m - 1\end{array} \right.\) \(\begin{array}{l}\left( 1 \right)\\\left( 2 \right)\end{array}\) có nghiệm duy nhất \(\left( {m \ne \pm 1} \right)\)
lấy phương trình (2) trừ đi phương trình (1) của hệ ta thu được: \(\left( {m - 1} \right)x - \left( {m - 1} \right)y = 2\left( {m - 1} \right) \Rightarrow x - y = 2\)
 
Sửa lần cuối: