Phương pháp giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn.
+ Đặt ẩn phụ không hoàn toàn là phương pháp chọn một số hạng trong phương trình để đặt làm ẩn sau đó ta quy phương trình ban đầu về dạng một phương trình bậc 2: \(m{t^2} + g(x)t + h(x) = 0\) ( phương trình này vẫn còn ẩn \(x\))
+ Vấn đề của bài toán là phải chọn giá trị \(m\) bằng bao nhiêu để phương trình bậc 2 theo ẩn \(t\) có giá trị \(\Delta \) chẵn \(\left( {\Delta = {{\left[ {A(x)} \right]}^2}} \right)\) như thế viêc tính \(t\) theo \(x\) sẽ được dễ dàng.
+ Thông thường khi gặp các phương trình dạng:
$a{x^2} + bx + c + (dx + e)\sqrt {p{x^2} + qx + r} = 0$ thì phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn tỏ ra rất hiệu quả:
+ Để giải các phương trình dạng này ta thường làm theo cách:
- Đặt \(\sqrt {f(x)} = t \Rightarrow {t^2} = f(x)\)
- Ta tạo ra phương trình: \(m{t^2} + g(x)t + h(x) = 0\)
Ta có \(\Delta = {\left[ {g(x)} \right]^2} - 4m.h(x) = {f_1}(m){x^2} + {g_1}(m)x + {h_1}(m)\).
Để \(\Delta \)có dạng ${\left[ {A(x)} \right]^2}$ thì điều kiện cần và đủ là
\({\Delta _m} = {\left[ {{g_1}(m)} \right]^2} - 4{f_1}(m).{g_1}(m) = 0 \Rightarrow m\)
Ta xét các ví dụ sau:
Ví dụ 1: Giải các phương trình:
a) \({x^2} + 1 - (x + 1)\sqrt {{x^2} - 2x + 3} = 0\)
b) \(2\sqrt {2x + 4} + 4\sqrt {2 - x} = \sqrt {9{x^2} + 16} \)
\((2x + 7)\sqrt {2x + 7} = {x^2} + 9x + 7\) (Trích đề TS lớp 10 Chuyên Tự nhiên – ĐHQG Hà Nội 2009)
Giải:
a) Đặt \(t = \sqrt {{x^2} - 2x + 3} > 0 \Rightarrow {t^2} = {x^2} - 2x + 3\)
Phương trình đã cho trở thành: \({x^2} + 1 - (x + 1)t = 0\)
Ta sẽ tạo ra phương trình: \(m{t^2} - (x + 1)t + {x^2} + 1 - m({x^2} - 2x + 3) = 0\)
(Ta đã thêm vào \(m{t^2}\) nên phải bớt đi một lượng \(m{t^2} = m({x^2} - 2x + 3)\))
Phương trình được viết lại như sau:
\(m{t^2} - (x + 1)t + (1 - m){x^2} + 2mx + 1 - 3m = 0\)
\( \Rightarrow \Delta = {(x + 1)^2} - 4m\left[ {(1 - m){x^2} + 2mx + 1 - 3m} \right]\)
\( = (4{m^2} - 4m + 1){x^2} + (2 - 8{m^2})x + 12{m^2} - 4m + 1\)
Ta mong muốn
\(\Delta = {({\rm{Ax}} + B)^2} \Leftrightarrow {\Delta _m} = {(1 - 4{m^2})^2} - (12{m^2} - 4m + 1)(4{m^2} - 4m + 1) = 0 \Leftrightarrow m = 1\)
Phương trình mới được tạo ra là: \({t^2} - (x + 1)t + 2x - 2 = 0\)
Ta có \(\Delta = {x^2} - 6x + 9 = {(x - 3)^2}\)
Từ đó ta có: \(\left[ \begin{array}{l}t = \frac{{x + 1 - (x - 3)}}{2} = 2\\t = \frac{{x + 1 + (x - 3)}}{2} = x - 1\end{array} \right.\)
+ Trường hợp 1: \(t = 1 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 2x + 3} = 2 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \pm \sqrt 2 \)
+ Trường hợp 2: \(t = x - 1 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 2x + 3} = x - 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\{x^2} - 2x + 3 = {x^2} - 2x + 1\end{array} \right.\)
Phương trình vô nghiệm.
Tóm lại: Phương trình có 2 nghiệm là: \(x = 1 \pm \sqrt 2 \)
b) Điều kiện: \( - 2 \le x \le 2\)
Bình phương 2 vế phương trình và thu gọn ta được:
\(9{x^2} - 16\sqrt {8 - 2{x^2}} + 8x - 32 = 0\).
Đặt \(t = \sqrt {8 - 2{x^2}} \) ta tạo ra phương trình là:
$\begin{array}{*{20}{l}}
{m{t^2} - 16t - m(8 - 2{x^2}) + 9{x^2} + 8x - 32 = 0}&{}\\
{ \Leftrightarrow m{t^2} - 16t + (9 + 2m){x^2} + 8x - 8m - 32 = 0}&{}
\end{array}$
$\begin{array}{*{20}{l}}
{\Delta ' = 64 - m\left[ {(9 + 2m){x^2} + 8x - 8m - 32} \right]}&{}\\
{ = ( - 2{m^2} - 9m){x^2} + 8mx + 8{m^2} + 32m + 64}&{}
\end{array}$
Ta mong muốn \(\Delta ' = {(Ax + B)^2} \Leftrightarrow \)\(\Delta = 0\) phải có nghiệm kép .
Tức là:
\({\Delta '_m} = 16{m^2} - ( - 2{m^2} - 9m)(8{m^2} + 32m + 64) = 0 \Leftrightarrow m = - 4\)
Từ đó suy ra phương trình mới là: \( - 4{t^2} - 16t + {x^2} + 8x = 0\)
Tính được: \(\Delta ' = 4{x^2} + 32x + 64 = {(2x + 8)^2} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{8 - (2x + 8)}}{{ - 4}} = \frac{x}{2}\\t = \frac{{8 + (2x + 8)}}{{ - 4}} = - \frac{x}{2} - 4\end{array} \right.\)
+ Trường hợp 1: \(t = \frac{x}{2} \Leftrightarrow \sqrt {8 - 2{x^2}} = \frac{x}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\4(8 - 2{x^2}) = {x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{{4\sqrt 2 }}{3}\)
+ Trường hợp 2:
\(t = - \frac{x}{2} - 4 \Leftrightarrow \sqrt {8 - 2{x^2}} = - \frac{x}{2} - 4 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le - 8\\4(8 - 2{x^2}) = {(x + 8)^2}\end{array} \right.VN\)
Tóm lại phương trình có nghiệm duy nhất \(x = \frac{{4\sqrt 2 }}{3}\)
c). Đặt \(\sqrt {2x + 7} = t\) ta tạo ra phương trình: \(m{t^2} - \left( {2x + 7} \right)t + {x^2} + \left( {9 - 2m} \right)x + 7 - 7m = 0\)
Làm tương tự như trên ta tìm được \(m = 1\).
Nên phương trình có dạng
\({t^2} - \left( {2x + 7} \right)t + {x^2} + 7x = 0 \Rightarrow \Delta = {\left( {2x + 7} \right)^2} - 4\left( {{x^2} + 7x} \right) = 49 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t = x + 7\\t = x\end{array} \right.\) giải theo các trường hợp của \(t\) ta tìm được \(x = 1 + 2\sqrt 2 \) là nghiệm của phương trình.
+ Đặt ẩn phụ không hoàn toàn là phương pháp chọn một số hạng trong phương trình để đặt làm ẩn sau đó ta quy phương trình ban đầu về dạng một phương trình bậc 2: \(m{t^2} + g(x)t + h(x) = 0\) ( phương trình này vẫn còn ẩn \(x\))
+ Vấn đề của bài toán là phải chọn giá trị \(m\) bằng bao nhiêu để phương trình bậc 2 theo ẩn \(t\) có giá trị \(\Delta \) chẵn \(\left( {\Delta = {{\left[ {A(x)} \right]}^2}} \right)\) như thế viêc tính \(t\) theo \(x\) sẽ được dễ dàng.
+ Thông thường khi gặp các phương trình dạng:
$a{x^2} + bx + c + (dx + e)\sqrt {p{x^2} + qx + r} = 0$ thì phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn tỏ ra rất hiệu quả:
+ Để giải các phương trình dạng này ta thường làm theo cách:
- Đặt \(\sqrt {f(x)} = t \Rightarrow {t^2} = f(x)\)
- Ta tạo ra phương trình: \(m{t^2} + g(x)t + h(x) = 0\)
Ta có \(\Delta = {\left[ {g(x)} \right]^2} - 4m.h(x) = {f_1}(m){x^2} + {g_1}(m)x + {h_1}(m)\).
Để \(\Delta \)có dạng ${\left[ {A(x)} \right]^2}$ thì điều kiện cần và đủ là
\({\Delta _m} = {\left[ {{g_1}(m)} \right]^2} - 4{f_1}(m).{g_1}(m) = 0 \Rightarrow m\)
Ta xét các ví dụ sau:
Ví dụ 1: Giải các phương trình:
a) \({x^2} + 1 - (x + 1)\sqrt {{x^2} - 2x + 3} = 0\)
b) \(2\sqrt {2x + 4} + 4\sqrt {2 - x} = \sqrt {9{x^2} + 16} \)
\((2x + 7)\sqrt {2x + 7} = {x^2} + 9x + 7\) (Trích đề TS lớp 10 Chuyên Tự nhiên – ĐHQG Hà Nội 2009)
Giải:
a) Đặt \(t = \sqrt {{x^2} - 2x + 3} > 0 \Rightarrow {t^2} = {x^2} - 2x + 3\)
Phương trình đã cho trở thành: \({x^2} + 1 - (x + 1)t = 0\)
Ta sẽ tạo ra phương trình: \(m{t^2} - (x + 1)t + {x^2} + 1 - m({x^2} - 2x + 3) = 0\)
(Ta đã thêm vào \(m{t^2}\) nên phải bớt đi một lượng \(m{t^2} = m({x^2} - 2x + 3)\))
Phương trình được viết lại như sau:
\(m{t^2} - (x + 1)t + (1 - m){x^2} + 2mx + 1 - 3m = 0\)
\( \Rightarrow \Delta = {(x + 1)^2} - 4m\left[ {(1 - m){x^2} + 2mx + 1 - 3m} \right]\)
\( = (4{m^2} - 4m + 1){x^2} + (2 - 8{m^2})x + 12{m^2} - 4m + 1\)
Ta mong muốn
\(\Delta = {({\rm{Ax}} + B)^2} \Leftrightarrow {\Delta _m} = {(1 - 4{m^2})^2} - (12{m^2} - 4m + 1)(4{m^2} - 4m + 1) = 0 \Leftrightarrow m = 1\)
Phương trình mới được tạo ra là: \({t^2} - (x + 1)t + 2x - 2 = 0\)
Ta có \(\Delta = {x^2} - 6x + 9 = {(x - 3)^2}\)
Từ đó ta có: \(\left[ \begin{array}{l}t = \frac{{x + 1 - (x - 3)}}{2} = 2\\t = \frac{{x + 1 + (x - 3)}}{2} = x - 1\end{array} \right.\)
+ Trường hợp 1: \(t = 1 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 2x + 3} = 2 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \pm \sqrt 2 \)
+ Trường hợp 2: \(t = x - 1 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 2x + 3} = x - 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\{x^2} - 2x + 3 = {x^2} - 2x + 1\end{array} \right.\)
Phương trình vô nghiệm.
Tóm lại: Phương trình có 2 nghiệm là: \(x = 1 \pm \sqrt 2 \)
b) Điều kiện: \( - 2 \le x \le 2\)
Bình phương 2 vế phương trình và thu gọn ta được:
\(9{x^2} - 16\sqrt {8 - 2{x^2}} + 8x - 32 = 0\).
Đặt \(t = \sqrt {8 - 2{x^2}} \) ta tạo ra phương trình là:
$\begin{array}{*{20}{l}}
{m{t^2} - 16t - m(8 - 2{x^2}) + 9{x^2} + 8x - 32 = 0}&{}\\
{ \Leftrightarrow m{t^2} - 16t + (9 + 2m){x^2} + 8x - 8m - 32 = 0}&{}
\end{array}$
$\begin{array}{*{20}{l}}
{\Delta ' = 64 - m\left[ {(9 + 2m){x^2} + 8x - 8m - 32} \right]}&{}\\
{ = ( - 2{m^2} - 9m){x^2} + 8mx + 8{m^2} + 32m + 64}&{}
\end{array}$
Ta mong muốn \(\Delta ' = {(Ax + B)^2} \Leftrightarrow \)\(\Delta = 0\) phải có nghiệm kép .
Tức là:
\({\Delta '_m} = 16{m^2} - ( - 2{m^2} - 9m)(8{m^2} + 32m + 64) = 0 \Leftrightarrow m = - 4\)
Từ đó suy ra phương trình mới là: \( - 4{t^2} - 16t + {x^2} + 8x = 0\)
Tính được: \(\Delta ' = 4{x^2} + 32x + 64 = {(2x + 8)^2} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{8 - (2x + 8)}}{{ - 4}} = \frac{x}{2}\\t = \frac{{8 + (2x + 8)}}{{ - 4}} = - \frac{x}{2} - 4\end{array} \right.\)
+ Trường hợp 1: \(t = \frac{x}{2} \Leftrightarrow \sqrt {8 - 2{x^2}} = \frac{x}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\4(8 - 2{x^2}) = {x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{{4\sqrt 2 }}{3}\)
+ Trường hợp 2:
\(t = - \frac{x}{2} - 4 \Leftrightarrow \sqrt {8 - 2{x^2}} = - \frac{x}{2} - 4 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le - 8\\4(8 - 2{x^2}) = {(x + 8)^2}\end{array} \right.VN\)
Tóm lại phương trình có nghiệm duy nhất \(x = \frac{{4\sqrt 2 }}{3}\)
c). Đặt \(\sqrt {2x + 7} = t\) ta tạo ra phương trình: \(m{t^2} - \left( {2x + 7} \right)t + {x^2} + \left( {9 - 2m} \right)x + 7 - 7m = 0\)
Làm tương tự như trên ta tìm được \(m = 1\).
Nên phương trình có dạng
\({t^2} - \left( {2x + 7} \right)t + {x^2} + 7x = 0 \Rightarrow \Delta = {\left( {2x + 7} \right)^2} - 4\left( {{x^2} + 7x} \right) = 49 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t = x + 7\\t = x\end{array} \right.\) giải theo các trường hợp của \(t\) ta tìm được \(x = 1 + 2\sqrt 2 \) là nghiệm của phương trình.
Sửa lần cuối: