Giải phương trình sau: $(13 - 4x)\sqrt {2x - 3} + (4x - 3)\sqrt {5 - 2x} = 2 + 8\sqrt {16x - 4{x^2} - 15} $

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Giải các phương trình sau:
a) $(13 - 4x)\sqrt {2x - 3} + (4x - 3)\sqrt {5 - 2x} = 2 + 8\sqrt {16x - 4{x^2} - 15} $
b) $7\sqrt {3x - 7} + (4x - 7)\sqrt {7 - x} = 32$.
Giải:
a) Điều kiện $\frac{3}{2} \le x \le \frac{5}{2}$.
Phương trình được viết lại như sau:
\(\begin{array}{l}7\left( {\sqrt {2x - 3} + \sqrt {5 - 2x} } \right) - 2\left[ {(2x - 3)\sqrt {2x - 3} + (5 - 2x)\sqrt {5 - 2x} } \right]\\ = 2 + 8\sqrt {(5 - 2x)(2x - 3)} \end{array}\)Đặt \(t = \sqrt {2x - 3} + \sqrt {5 - 2x} \Rightarrow \sqrt {(5 - 2x)(2x - 3)} = \frac{{{t^2} - 2}}{2}\).
Điều kiện $\left( {\sqrt 2 \le t \le 2} \right)$.
Phương trình đã cho có dạng: \({t^3} - 4{t^2} + t + 6 = 0 \Rightarrow t = 2 \Rightarrow x = 2\)
Ngoài ra ta cũng có thể giải phương trình trên bằng cách đưa về hệ.
b) Điều kiện: \(\frac{7}{3} \le x \le 7\).Phương trình đã cho được viết lại như sau:
\(\left[ {\frac{1}{2}(3x - 7) + \frac{3}{2}(7 - x)} \right]\sqrt {3x - 7} + \left[ {\frac{1}{2}(7 - x) + \frac{3}{2}(3x - 7)} \right]\sqrt {7 - x} = 32\)
\( \Leftrightarrow \)\(\left[ {(3x - 7) + (7 - x)} \right]\sqrt {3x - 7} + \left[ {(7 - x) + (3x - 7)} \right]\sqrt {7 - x} = 64\)
Đặt\(t = \sqrt {3x - 7} + \sqrt {7 - x} \)\( \Rightarrow {t^3} = (3x - 7)\sqrt {3x - 7} + (7 - x)\sqrt {7 - x} + 3\sqrt {(3x - 7)(7 - x)} \left( {\sqrt {3x - 7} + \sqrt {7 - x} } \right)\)
Từ phương trình suy ra \({t^3} = 64 \Leftrightarrow t = 4\). Hay \(\sqrt {3x - 7} + \sqrt {7 - x} = 4\)
Bình phương 2 vế ta thu được:
\(\sqrt {(3x - 7)(7 - x)} = 8 - x \Leftrightarrow 4{x^2} - 44x + 113 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{11 \pm 2\sqrt 2 }}{2}\)
Tại sao ta phân tích được hai phương trình như trên:
Ta thấy với những phương trình:
\((ax + b)\sqrt {cx + d} + (ex + h)\sqrt {gx + k} + r\sqrt {(cx + d)(gx + k)} + s = 0\)
thì một trong những cách xử lý khá hiệu quả là:
Phân tích: \(ax + b = m(cx + d) + n(gx + k)\) và \(ex + h = m'(cx + d) + n'(gx + k)\)
sau đó ta có thể đặt ẩn phụ trực tiếp , hoặc đặt hai ẩn phụ để quy về hệ.