Giải phương trình Giải phương trình \(2{x^4} - 21{x^3} + 34{x^2} + 105x + 50 = 0\).

Giải phương trình \(2{x^4} - 21{x^3} + 34{x^2} + 105x + 50 = 0\).
Giải
Ta thấy \(k = \frac{{105}}{{ - 21}} = - 5\) và \({k^2} = \frac{{50}}{2} = 25\)
nên phương trình (8) là phương trình bậc bốn có hệ số đối xứng tỉ lệ. \(\left( 8 \right) \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} + \frac{{25}}{{{x^2}}}} \right) - 21\left( {x - \frac{5}{x}} \right) + 34 = 0\).
Đặt \(t = x - \frac{5}{x}\) suy ra \({t^2} = {x^2} + \frac{{25}}{{{x^2}}} - 10\).
Phương trình (9) trở thành \(2{t^2} - 21t + 54 = 0 \Leftrightarrow t = 6\) hoặc \(t = \frac{9}{2}\). Với \(t = 6\) thì \(x - \frac{5}{x} = 6 \Leftrightarrow {x^2} - 6x - 5 \Leftrightarrow {x^2} - 6x - 5 = 0\).
Phương trình có hai nghiệm \({x_1} = 3 + \sqrt {14} ;{x_2} = 3 - \sqrt {14} \). Với \(x = \frac{9}{2}\) thì \(x - \frac{5}{x} = \frac{9}{2} \Leftrightarrow 2{x^2} - 9x - 10 = 0\).
Phương trình có hai nghiệm \({x_3} = \frac{{9 + \sqrt {161} }}{4};{x_4} = \frac{{9 - \sqrt {161} }}{4}\).
Vậy PT (8) có tập nghiệm \(S = \left\{ {3 + \sqrt {14} ;3 - \sqrt {14} ;\frac{{9 + \sqrt {161} }}{4};\frac{{9 - \sqrt {161} }}{4}} \right\}\).