Giải phương trình \(\frac{{x + 1}}{{x\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{x + 6}}{{{x^2} + 12x + 35}} = \frac{{x + 2}}{{{x^2} + 4x + 3}} + \frac{{x +

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Giải phương trình \(\frac{{x + 1}}{{x\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{x + 6}}{{{x^2} + 12x + 35}} = \frac{{x + 2}}{{{x^2} + 4x + 3}} + \frac{{x + 5}}{{{x^2} + 10x + 24}}\).
Giải
Điều kiện \(x \notin \left\{ { - 7; - 6; - 5; - 4; - 3; - 2; - 1;0} \right\}\).
Biến đổi phương trình thành \(\frac{{x + 1}}{{x\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{x + 6}}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x + 7} \right)}}
= \frac{{x + 2}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{x + 5}}{{\left( {x + 4} \right)\left( {x + 6} \right)}}\)\( \Leftrightarrow \frac{{x + 1}}{2}\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 2}}} \right) + \frac{{x + 6}}{2}\left( {\frac{1}{{x + 5}} - \frac{1}{{x + 7}}} \right)\)\(
= \frac{{x + 2}}{2}\left( {\frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{{x + 3}}} \right) + \frac{{x + 5}}{x}\left( {\frac{1}{{x + 4}} - \frac{1}{{x + 6}}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{{x + 2}} + \frac{1}{{x + 5}} + \frac{1}{{x + 7}}
= \frac{1}{{x + 1}} + \frac{1}{{x + 3}} + \frac{1}{{x + 4}} + \frac{1}{{x + 6}}\)\( \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{{x + 7}}} \right) + \left( {\frac{1}{{x + 2}} + \frac{1}{{x + 5}}} \right)
= \left( {\frac{1}{{x + 1}} + \frac{1}{{x + 6x}}} \right) + \left( {\frac{1}{{x + 3}} + \frac{1}{{x + 4}}} \right)\)\( \Leftrightarrow \left( {2x + 7} \right)\left( {\frac{1}{{{x^2} + 7}} + \frac{1}{{{x^2} + 7x + 10}} - \frac{1}{{{x^2} + 7x + 6}} - \frac{1}{{{x^2} + 7x + 12}}} \right)
= 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{7}{2}\\\frac{1}{{{x^2} + 7x}} + \frac{1}{{{x^2} + 7x + 10}} + \frac{1}{{{x^2} + 7x + 6}} - \frac{1}{{{x^2} + 7x + 12}} = 0(*)\end{array} \right.\).
Đặt \(u = {x^2} + 7x\) thì phương trình (*) có dạng \(\frac{1}{u} + \frac{1}{{u + 10}} + \frac{1}{{u + 6}} + \frac{1}{{u + 12}} = 0 \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{u} - \frac{1}{{u + 6}}} \right) + \left( {\frac{1}{{u + 10}} - \frac{1}{{u + 12}}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow {u^2} + 18u + 90 = 0\).
Mặt khác \({u^2} + 18u + 90 = {\left( {u + 9} \right)^2} + 9 > 0\) với mọi \(u\). Do đó phương trình (*) vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x = - \frac{7}{2}\).
 
Sửa lần cuối: