Giải phương trình \(\frac{1}{x} + \frac{1}{{x + 1}} + \frac{1}{{x + 2}} + \frac{1}{{x + 3}} + \frac{1}{{x + 4}} = 0\).

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{{x + 1}} + \frac{1}{{x + 2}} + \frac{1}{{x + 3}} + \frac{1}{{x + 4}} = 0\).
Lời giải:
Điều kiện \(x \notin \left\{ { - 1; - 2; - 3; - 4;0} \right\}\).
Ta biến đổi phương trình thành
\(\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{{x + 4}}} \right) + \left( {\frac{1}{{x + 1}} + \frac{1}{{x + 3}}} \right) + \frac{1}{{x + 2}} = 0 \Leftrightarrow \frac{{2\left( {x + 2} \right)}}{{{x^2} + 4x}} + \frac{{2\left( {x + 2} \right)}}{{{x^2} + 4x + 3}} + \frac{1}{{x + 2}} = 0\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{{{x^2} + 4x}} + \frac{1}{{{x^2} + 4x + 3}} + \frac{1}{{2({x^2} + 4x + 4)}} = 0\).
Đặt \(u = {x^2} + 4x\), phương trình trở thành \(\frac{1}{u} + \frac{1}{{u + 3}} + \frac{1}{{2\left( {u + 4} \right)}} = 0\) \( \Leftrightarrow \frac{{5{u^2} + 25u + 24}}{{2u\left( {u + 3} \right)\left( {u + 4} \right)}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = \frac{{ - 25 + \sqrt {145} }}{{10}}\\u = \frac{{ - 25 - \sqrt {145} }}{{10}}\end{array} \right.\).
Do đó \(\left[ \begin{array}{l}{x^2} + 4x = \frac{{ - 25 + \sqrt {145} }}{{10}}\\{x^2} + 4x = \frac{{ - 25 - \sqrt {145} }}{{10}}\end{array} \right.\).
Tìm được tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 2 - \sqrt {\frac{{15 + \sqrt {145} }}{{10}}} ; - 2 + \sqrt {\frac{{15 + \sqrt {145} }}{{10}}} ; - 2 + \sqrt {\frac{{15 - \sqrt {145} }}{{10}}} ; - 2 - \sqrt {\frac{{15 - \sqrt {145} }}{{10}}} } \right\}\).
 
Sửa lần cuối: