Giải phương trình đạu số bằng phương pháp đưa về dạng tích: Tức là biến đổi phương trình:

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
$F\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right).g\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 0\\g\left( x \right) = 0\end{array} \right.$
Đưa về một phương trình tích ta thường dùng các cách sau:
Cách 1: Sử dụng các hằng đẳng thức đưa về dạng:${a^2} - {b^2} = 0,{a^3} - {b^3} = 0,...$
Cách 2: Nhẩm nghiệm rồi chia đa thức: Nếu $x = a$ là một nghiệm của phương trình $f\left( x \right) = 0$ thì ta luôn có sự phân tích:$f\left( x \right) = \left( {x - a} \right)g\left( x \right)$. Để dự đoán nghiệm ta dựa vào các chú ý sau:
Chú ý:
Cách 3: Sử dụng phương pháp hệ số bất định.
Ta thường áp dụng cho phương trình bậc bốn.
Đặc biệt đối với phương trình bậc 4:
Ta có thể sử dụng một trong các cách xử lý sau:
• Phương trình dạng: \({x^4} = a{x^2} + bx + c\)
Phương pháp:
Ta thêm bớt vào 2 vế một lượng: \(2m{x^2} + {m^2}\)
khi đó phương trình trở thành: \({({x^2} + m)^2} = (2m + a){x^2} + bx + c + {m^2}\)
Ta mong muốn vế phải có dạng: \({(Ax + B)^2}\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m + a > 0\\\Delta = {b^2} - 4(2m + a)(c + {m^2}) = 0\end{array} \right. \Rightarrow m\)
• Phương trình dạng: \({x^4} + a{x^3} = b{x^2} + cx + d\)
Ta sẽ tạo ra ở vế phải một biểu thức bình phương dạng: \({\left( {{x^2} + \frac{a}{2}x + m} \right)^2}\)
Bằng cách khai triển biểu thức:
\({\left( {{x^2} + \frac{a}{2}x + m} \right)^2} = {x^4} + a{x^3} + \left( {2m + \frac{{{a^2}}}{4}} \right){x^2} + amx + {m^2}\).
Ta thấy cần thêm vào hai vế một lượng: \(\left( {2m + \frac{{{a^2}}}{4}} \right){x^2} + amx + {m^2}\)
khi đó phương trình trở thành:
\({\left( {{x^2} + \frac{a}{2}x + m} \right)^2} = \left( {2m + \frac{{{a^2}}}{4} + b} \right){x^2} + (am + c)x + {m^2} + d\)
Bây giờ ta cần: \(\left\{ \begin{array}{l}2m + \frac{{{a^2}}}{4} + b > 0\\{\Delta _{VP}} = {(am + c)^{\rm{2}}} - 4\left( {2m + \frac{{{a^2}}}{4} + b} \right)\left( {{m^2} + d} \right) = 0\end{array} \right. \Rightarrow m = ?\)
Ta sẽ phân tích để làm rõ cách giải các bài toán trên thông qua các ví dụ sau:
Ví dụ 1)
Giải các phương trình:
a) \({x^4} - 10{x^2} - x + 20 = 0\).
b) \({x^4} - 22{x^2} - 8x + 77 = 0\)
c) \({x^4} - 6{x^3} + 8{x^2} + 2x - 1 = 0\).
d) \({x^4} + 2{x^3} - 5{x^2} + 6x - 3 = 0\).
Lời giải:
a) \({x^4} - 10{x^2} - x + 20 = 0 \Leftrightarrow {x^4} = 10{x^2} + x - 20\)
Ta thêm vào 2 vế phương trình một lượng: \(2m{x^2} + {m^2}\)
Khi đó phương trình trở thành: \({x^4} + 2m{x^2} + {m^2} = (10 + 2m){x^2} + x + {m^2} - 20\)
Ta có \({\Delta _{VP}} = 1 - 4({m^2} - 20)(10 + 2m) = 0 \Leftrightarrow m = - \frac{9}{2}\).
Ta viết lại phương trình thành:
\({x^4} - 9{x^2} + {\left( {\frac{9}{2}} \right)^2} = {x^2} + x + \frac{1}{4} \Leftrightarrow {\left( {{x^2} - \frac{9}{2}} \right)^2} - {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} = 0\)
\( \Leftrightarrow ({x^2} - x - 5)({x^2} + x - 4) = 0 \Rightarrow x = \frac{{ - 1 \pm \sqrt {17} }}{2}\) . và \(x = \frac{{1 \pm \sqrt {21} }}{2}\).
b) \({x^4} - 22{x^2} - 8x + 77 = 0 \Leftrightarrow {x^4} = 22{x^2} + 8x - 77\)
Ta thêm vào 2 vế phương trình một lượng: \(2m{x^2} + {m^2}\)
Khi đó phương trình trở thành: \({x^4} + 2m{x^2} + {m^2} = (22 + 2m){x^2} + 8x + {m^2} - 77\).
Ta có \({\Delta _{VP}} = 1 - 4(22 + 2m)({m^2} - 77) = 0 \Leftrightarrow m = - 9\).
Ta viết lại phương trình thành:
\({x^4} - 18{x^2} + 81 = 4{x^2} + 8x + 4 \Leftrightarrow {\left( {{x^2} - 9} \right)^2} - {\left( {2x + 2} \right)^2} = 0\)
\( \Leftrightarrow ({x^2} + 2x - 7)({x^2} - 2x - 11) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1 \pm 2\sqrt 2 \\x = 1 \pm 2\sqrt 3 \end{array} \right.\)
c) Phương trình có dạng: \({x^4} - 6{x^3} + 8{x^2} + 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow {x^4} - 6{x^3} = - 8{x^2} - 2x + 1\)
Ta tạo ra vế trái dạng: \({({x^2} - 3x + m)^2} = {x^4} - 6{x^3} + (9 + 2m){x^2} - 6mx + {m^2}\)
Tức là thêm vào hai vế một lượng là:\((9 + 2m){x^2} - 6mx + {m^2}\)
phương trình trở thành:\({({x^2} - 3x + m)^2} = (2m + 1){x^2} - (6m + 2)x + {m^2} + 1\).
Ta cần \(\Delta {'_{VP}} = (3m + 1) - (2m + 1)({m^2} + 1) = 0 \Leftrightarrow m = 0\).
Phương trình trở thành: \({({x^2} - 3x)^2} = {(x - 1)^2}\)\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow ({x^2} - 4x + 1)({x^2} - 2x - 1) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2 + \sqrt 3 \\x = 2 - \sqrt 3 \\x = 1 + \sqrt 2 \\x = 1 + \sqrt 2 \end{array} \right.\\\end{array}\)
d) Phương trình đã cho được viết lại như sau: \({x^4} + 2{x^3} = 5{x^2} - 6x + 3\)
Ta tạo ra phương trình: \({({x^2} + x + m)^2} = (2m + 6){x^2} + (2m - 6)x + {m^2} + 3\)
Ta cần: \(\left\{ \begin{array}{l}2m + 6 > 0\\\Delta {'_{VP}} = {(m - 3)^2} - (2m + 6)({m^2} + 3) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m = - 1\)
Phương trình trở thành: \({({x^2} + x - 1)^2} = {(2x - 2)^2}\)
\( \Leftrightarrow ({x^2} + 3x - 3)({x^2} - x + 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 3 + \sqrt {21} }}{2}\\x = \frac{{ - 3 - \sqrt {21} }}{2}\end{array} \right.\)
Ví dụ 2)
a) Giải phương trình: ${x^4} - 4{x^2} + 12x - 9 = 0$ (1).
b) Giải phương trình: ${x^4} - 13{x^2} + 18x - 5 = 0$
c) Giải phương trình: $2{x^4} - 10{x^3} + 11{x^2} + x - 1 = 0$ (4)
Lời giải:
a) Ta có phương trình$ \Leftrightarrow {x^4} - {\left( {2x - 3} \right)^2} = 0$ (1.1)
$ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 2x - 3} \right)\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 2x - 3 = 0\\{x^2} - 2x + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1;x = 3$.
Vậy phương trình có hai nghiệm $x = 1;x = 3$
b) Phương trình$ \Leftrightarrow \left( {{x^4} - 4{x^2} + 4} \right) - \left( {9{x^2} - 18x + 9} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} - 2} \right)^2} - {\left( {3x - 3} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 3x - 5} \right)\left( {{x^2} - 3x + 1} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 3x - 5 = 0\\{x^2} - 3x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 3 \pm \sqrt {29} }}{2}\\x = \frac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.$
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm $x = \frac{{ - 3 \pm \sqrt {29} }}{2};x = \frac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2}$.
c) Ta có phương trình$ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} - \frac{5}{2}x - \frac{1}{4}} \right)^2} = \frac{1}{4}{x^2} + \frac{3}{4}x + \frac{9}{{16}} = {\left( {\frac{1}{2}x + \frac{3}{4}} \right)^2} \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2x + \frac{1}{2}} \right)\left( {{x^2} - 3x - 1} \right) = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2{x^2} - 4x + 1 = 0\\{x^2} - 3x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{2 \pm \sqrt 2 }}{2}\\x = \frac{{3 \pm \sqrt {13} }}{2}\end{array} \right.$.