Giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Là phương pháp khá hữu hiệu đối với các bài toán đại số, trong giải phương trình bậc cao cũng vậy, người ta thường đặt ẩn phụ để chuyển phương trình bậc cao về phương trình bậc thấp hơn.
Một số dạng sau đây ta thường dùng đặt ẩn phụ.
Dạng 1: Phương trình trùng phương:
$a{x^4} + b{x^2} + c = 0\left( {a \ne 0} \right)$ (1)
Với dạng này ta đặt $t = {x^2},t \ge 0$ ta chuyển về phương trình:$a{t^2} + bt + c = 0$ (2)
Chú ý: Số nghiệm của phương trình (1) phụ thuộc vào số nghiệm không âm của (2)
Dạng 2: Phương trình đối xứng (hay phương trình hồi quy):
$a{x^4} \pm b{x^3} + c{x^2} \pm kbx + {k^2}a = 0\left( {k > 0} \right)$.
Với dạng này ta chia hai vế phương trình cho ${x^2}\left( {x \ne 0} \right)$
ta được: $a\left( {{x^2} + \frac{{{k^2}}}{{{x^2}}}} \right) \pm b\left( {x + \frac{k}{x}} \right) + c = 0$. Đặt $t = x + \frac{k}{x}$ với $\left| t \right| \ge 2\sqrt k $
ta có: ${x^2} + \frac{{{k^2}}}{{{x^2}}} = {\left( {x + \frac{k}{x}} \right)^2} - 2k = {t^2} - 2k$
thay vào ta được phương trình: $a\left( {{t^2} - 2k} \right) \pm bt + c = 0$
Dạng 3: Phương trình:$\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right)\left( {x + c} \right)\left( {x + d} \right) = e,$trong đó a+b=c+d
Phương trình$ \Leftrightarrow \left[ {{x^2} + \left( {a + b} \right)x + ab} \right]\left[ {{x^2} + \left( {c + d} \right)x + cd} \right] = e$.
Đặt $t = {x^2} + \left( {a + b} \right)x$, ta có:$\left( {t + ab} \right)\left( {t + cd} \right) = e$
Dạng 4: Phương trình$\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right)\left( {x + c} \right)\left( {x + d} \right) = e{x^2},$trong đó \(ab = cd\).
Với dạng này ta chia hai vế phương trình cho ${x^2}\left( {x \ne 0} \right)$.
Phương trình tương đương:
$\left[ {{x^2} + \left( {a + b} \right)x + ab} \right]\left[ {{x^2} + \left( {c + d} \right)x + cd} \right] = e{x^2} \Leftrightarrow \left[ {x + \frac{{ab}}{x} + a + b} \right]\left[ {x + \frac{{cd}}{x} + c + d} \right] = e$
Đặt $t = x + \frac{{ab}}{x} = x + \frac{{cd}}{x}$.
Ta có phương trình:$\left( {t + a + b} \right)\left( {t + c + d} \right) = e$
Dạng 5: Phương trình ${\left( {x + a} \right)^4} + {\left( {x + b} \right)^4} = c$.
Đặt $x = t - \frac{{a + b}}{2}$ ta đưa về phương trình trùng phương

Ví dụ 1: Giải các phương trình:
1) $2{x^4} - 5{x^3} + 6{x^2} - 5x + 2 = 0$
2) ${\left( {x + 1} \right)^4} + {\left( {x + 3} \right)^4} = 2$
3) $x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 24$
4) $\left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {x + 4} \right)\left( {x - 6} \right) + 6{x^2} = 0$
Lời giải:
1) Ta thấy $x = 0$ không là nghiệm phương trình nên chia hai vế pương trình cho ${x^2}$ ta được:
$2\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) - 5\left( {x + \frac{1}{x}} \right) + 6 = 0$.
Đặt $t = x + \frac{1}{x},\left( {\left| t \right| \ge 2} \right) \Rightarrow {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} - 2 = {t^2} - 2$.
Ta có:$2\left( {{t^2} - 2} \right) - 5t + 6 = 0 \Leftrightarrow 2{t^2} - 5t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = \frac{1}{2}\end{array} \right.$.
Với $t = 2 \Leftrightarrow x + \frac{1}{x} = 2 \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 0$
2) Đặt $x = t - 2$ ta được: ${\left( {t - 1} \right)^4} + {\left( {t + 1} \right)^4} = 2 \Leftrightarrow {t^4} + 6{t^2} = 0 \Leftrightarrow t = 0 \Leftrightarrow x = - 2$
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = - 2$.
Chú ý: Với bài 2 ta có thể giải bằng cách khác như sau:
Trước hết ta có BĐT:
$\frac{{{a^4} + {b^4}}}{2} \ge {\left( {\frac{{a + b}}{4}} \right)^4}$ với $a + b \ge 0$.
Áp dụng BĐT này với:$a = - x - 1,b = x + 3 \Rightarrow VT \ge VP$. Đẳng thức xảy ra khi $x = - 2$.
3) Ta có phương trình:
$ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 3x} \right)\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) = 24$.
Đặt $t = {x^2} + 3x$.
Ta được:$t\left( {t + 2} \right) = 24 \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 24 = 0 \Leftrightarrow t = - 6,t = 4$
* $t = - 6 \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 6 = 0 \Rightarrow $phương trình vô nghiệm
* $t = 4 \Leftrightarrow {x^2} + 3x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 1;x = - 4$. Vậy phương trình có hai nghiệm $x = 1;x = - 4$.
4) Phương trình $ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2x - 12} \right)\left( {{x^2} + x - 12} \right) + 6{x^2} = 0$
Vì \(x = 0\) không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế phương trình cho${x^2}$ ta được:
$\left( {x - \frac{{12}}{x} - 4} \right)\left( {x - \frac{{12}}{x} + 1} \right) + 6 = 0$.
Đặt $t = x - \frac{{12}}{x}$, ta có: $\left( {t - 4} \right)\left( {t + 1} \right) + 6 = 0 \Leftrightarrow {t^2} - 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = 2\end{array} \right.$
* $t = 1 \Leftrightarrow x - \frac{{12}}{x} = 1 \Leftrightarrow {x^2} - x - 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = - 3\end{array} \right.$
* $t = 2 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 12 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \pm \sqrt {13} $
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm:$x = - 3;x = 4;x = 1 \pm \sqrt {13} $
Ví dụ 2)
a) Giải phương trình:$3{\left( {{x^2} - x + 1} \right)^2} - 2{\left( {x + 1} \right)^2} = 5\left( {{x^3} + 1} \right)$
b) Giải phương trình:${x^6} + 3{x^5} - 6{x^4} - 21{x^3} - 6{x^2} + 3x + 1 = 0$
c) Giải phương trình:$\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right){\left( {x + 3} \right)^2}\left( {x + 4} \right)\left( {x + 5} \right) = 360$
d) Giải phương trình:${\left( {{x^3} + 5x + 5} \right)^3} + 5{x^3} + 24x + 30 = 0$.
Lời giải:
a) Vì \(x = - 1\) không là nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế cho ${x^3} + 1$ ta được:
$3\frac{{{x^2} - x + 1}}{{x + 1}} - 2\frac{{x + 1}}{{{x^2} - x + 1}}$.
Đặt $t = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x + 1}} \Rightarrow 3t - \frac{2}{t} = 5 \Leftrightarrow 3{t^2} - 5t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = 2,t = - \frac{1}{3}$
* $t = 2 \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{3 \pm \sqrt {13} }}{2}$
* $t = - \frac{1}{3} \Leftrightarrow 3{x^2} - 2x + 4 = 0$ phương trình vô nghiệm
b) Đây là phương trình bậc 6 và ta thấy các hệ số đối xứng do đó ta có thể áp dụng cách giải mà ta đã giải đối với phương trình bậc bốn có hệ số đối xứng.
Ta thấy \(x = 0\) không là nghiệm của phương trình.
Chia 2 vế của phương trình cho ${x^3}$ ta được:
${x^3} + \frac{1}{{{x^3}}} + 3\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) - 6\left( {x + \frac{1}{x}} \right) - 21 = 0$.
Đặt $t = x + \frac{1}{x},\left| t \right| \ge 2$.
Ta có: ${x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = {t^2} - 2;{x^3} + \frac{1}{{{x^3}}} = t\left( {{t^2} - 3} \right)$
nên phương trình trở thành: $t\left( {{t^2} - 3} \right) + 3\left( {{t^2} - 2} \right) - 6t - 21 = 0$$ \Leftrightarrow {t^3} - 3{t^2} - 9t - 27 = 0 \Leftrightarrow {\left( {t + 3} \right)^2}\left( {t - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\\t = - 3\end{array} \right.$ * $t = 3 \Leftrightarrow x + \frac{1}{x} = 3 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2}$
* $t = - 3 \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 3 \pm \sqrt 5 }}{2}$.
Vậy phương trình có bốn nghiệm $x = \frac{{ - 3 \pm \sqrt 5 }}{2};x = \frac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2}$.
c) Phương trình $ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 6x + 5} \right)\left( {{x^2} + 6x + 8} \right)\left( {{x^2} + 6x + 9} \right) = 360$
Đặt $t = {x^2} + 6x$, ta có phương trình: $\left( {y + 5} \right)\left( {y + 8} \right)\left( {y + 9} \right) = 360$
$ \Leftrightarrow y\left( {{y^2} + 22y + 157} \right) = 0 \Leftrightarrow y = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 6\end{array} \right.$
Vậy phương trình có hai nghiệm:$x = 0;x = - 6$.
a) Ta có: ${x^3} + 5x + 30 = 5\left( {{x^3} + 5x + 5} \right) - x + 5$ nên phương trình tương đương
${\left( {{x^3} + 5x + 5} \right)^3} + 5\left( {{x^3} + 24x + } \right){x^3} + 24x + 30 = 0$.
Đặt $u = {x^3} + 5x + 5$.
Ta được hệ:
$\left\{ \begin{array}{l}{u^3} + 5u + 5 = x\\{x^3} + 5x + 5 = u\end{array} \right. \Rightarrow \left( {u - x} \right)\left( {{u^2} + ux + {x^2} + 6} \right) = 0 \Leftrightarrow u = x$.$ \Leftrightarrow {x^3} + 4x + 5 = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 5} \right) = 0 \Leftrightarrow x = - 1$. Vậy $x = - 1$ là nghiệm duy nhất của phương trình.
Dạng 6:
a) Phương trình: \(\frac{{ax}}{{{x^2} + mx + p}} + \frac{{bx}}{{{x^2} + nx + p}} = c\) với \(abc \ne 0\).
Phương pháp giải: Nhận xét \(x = 0\) không phải là nghiệm của phương trình.
Với \(x \ne 0\), ta chia cả tử số và mẫu số cho \(x\) thì thu được:
\(\frac{a}{{x + m + \frac{p}{x}}} + \frac{b}{{x + n + \frac{p}{x}}} = c\).
Đặt \(t = x + \frac{k}{x} \Rightarrow {t^2} = {x^2} + \frac{{{k^2}}}{{{x^2}}} + 2k \ge 2\left| k \right| + 2k\).
Thay vào phương trình để quy về phương trình bậc 2 theo \(t\).
b) Phương trình: \({x^2} + {\left( {\frac{{ax}}{{x + a}}} \right)^2} = b\) với \(a \ne 0,x \ne - a\).
Phương pháp : Dựa vào hằng đẳng thức \({a^2} + {b^2} = {\left( {a - b} \right)^2} + 2ab\).
Ta viết lại phương trình thành:
\({\left( {x - \frac{{ax}}{{x + a}}} \right)^2} + 2a.\frac{{{x^2}}}{{x + a}} = b \Leftrightarrow {\left( {\frac{{{x^2}}}{{x + a}}} \right)^2} + 2a\frac{{{x^2}}}{{x + a}} - b = 0\).
Đặt \(t = \frac{{{x^2}}}{{x + a}}\) quy về phương trình bậc 2.
Ví dụ 1) Giải các phương trình:
a) \({x^2} + \frac{{25{x^2}}}{{{{\left( {x + 5} \right)}^2}}} = 11\) . (Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2013).
b) \(\frac{{12x}}{{{x^2} + 4x + 2}} - \frac{{3x}}{{{x^2} + 2x + 2}} = 1\). (Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học Vinh 2010).
c) \(\frac{{{x^2}}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = 3{x^2} - 6x - 3\)(Trích đề thi vào lớp 10 chuyên ĐHSP Hà Nội 2008).
d) \({x^3} + \frac{{{x^3}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}} + \frac{{3{x^2}}}{{x - 1}} - 2 = 0\)
Giải:
a) Điều kiện \(x \ne - 5\)
Ta viết lại phương trình thành \({\left( {x - \frac{{5x}}{{x + 5}}} \right)^2} + \frac{{10{x^2}}}{{x + 5}} - 11 = 0 \Leftrightarrow {\left( {\frac{{{x^2}}}{{x + 5}}} \right)^2} + \frac{{10{x^2}}}{{x + 5}} - 11 = 0\).
Đặt \(t = \frac{{{x^2}}}{{x + 5}}\) thì phương trình có dạng \({t^2} + 10t - 11 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = - 11\end{array} \right.\)
Nếu \(t = 1\) ta có: \(\frac{{{x^2}}}{{x + 5}} = 1 \Leftrightarrow {x^2} - x - 5 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{1 \pm \sqrt {21} }}{2}\).
Nếu \(t = - 11 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{x + 5}} = - 11\) \( \Leftrightarrow {x^2} + 11x + 55 = 0\) phương trình vô nghiệm.
b) Để ý rằng nếu \(x\) là nghiệm thì \(x \ne 0\) nên ta chia cả tử số và mẫu số vế trái cho \(x\) thì thu được: \(\frac{{12}}{{x + 4 + \frac{2}{x}}} - \frac{3}{{x + 2 + \frac{2}{x}}} = 1\).
Đặt \(t = x + \frac{2}{x} + 2\) thì phương trình trở thành: \(\frac{{12}}{{t + 2}} - \frac{3}{t} = 1 \Leftrightarrow 12t - 3t - 6 = {t^2} + 2t \Leftrightarrow {t^2} - 7t + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = 6\end{array} \right.\).
Với \(t = 1\) ta có: \(x + \frac{2}{x} + 2 = 1 \Leftrightarrow {t^2} + t + 2 = 0\) vô nghiệm.
Với \(t = 6\) ta có: \(x + \frac{2}{x} + 2 = 6 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2 \pm \sqrt 2 \).
c) \({\left( {\frac{x}{{x + 2}} - \left( {x + 2} \right)} \right)^2} - {\left( {2x - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left( {\frac{x}{{x + 2}} + x - 3} \right)\left( {\frac{x}{{x + 2}} - 3x - 1} \right) = 0\).
Giải 2 phương trình ta thu được các nghiệm là $x = \pm \sqrt 6 ;x = \frac{{ - 3 \pm \sqrt 3 }}{3}$.
d) Sử dụng HĐT \({a^3} + {b^3} = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right)\)
ta viết lại phương trình thành: \({x^3} + \frac{{{x^3}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}} + \frac{{3{x^2}}}{{x - 1}} - 2 = 0 \Leftrightarrow {\left[ {x + \frac{x}{{x - 1}}} \right]^3} - 3\frac{{{x^2}}}{{x - 1}}\left( {x + \frac{x}{{x - 1}}} \right) + \frac{{3{x^2}}}{{x - 1}} - 2 = 0\)
hay \({\left( {\frac{{{x^2}}}{{x - 1}}} \right)^3} - 3{\left( {\frac{{{x^2}}}{{x - 1}}} \right)^2} + \frac{{3{x^2}}}{{x - 1}} - 2 = 0 \Leftrightarrow {\left( {\frac{{{x^2}}}{{x - 1}} - 1} \right)^3} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{x - 1}} - 1 = 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 2 = 0\).
Suy ra phương trình đã cho vô nghiệm.
 
Sửa lần cuối: