1) Đặt ẩn phụ hoàn toàn để quy về phương trình một ẩn.
+ Điểm mấu chốt của phương pháp này là phải chọn một biểu thức \(f(x)\) để đặt \(f(x) = t\) sao cho phần còn lại phải biểu diễn được theo ẩn \(t\). Những bài toán dạng này nói chung là dễ.
+ Trong nhiều trường hợp ta cần thực hiện phép chia cho một biểu thức có sẵn ở phương trình từ đó mới phát hiện ẩn phụ. Tùy thuộc vào cấu trúc phương trình ta có thể chia cho \(g(x)\) phù hợp (thông thường ta chia cho \({x^k}\) với k là số hữu tỷ)
+ Đối với những bài toán mà việc đưa về một ẩn dẫn đến phương trình mới phức tạp như: Số mũ cao, căn bậc cao .. thì ta có thể nghỉ đến hướng đặt nhiều ẩn phụ để quy về hệ phương trình hoặc dựa vào các hằng đẳng thức để giải toán.
Ta xét các ví dụ sau:
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
a) \({x^2} = (1 - \sqrt x )(2x - 3\sqrt x + 3)\)
b) \({x^2} + \sqrt[3]{{{x^4} - {x^2}}} = 2x + 1\)
c) \(x + 1 + \sqrt {{x^2} - 4x + 1} = 3\sqrt x \)
d) \({x^2} + 2x\sqrt {x - \frac{1}{x}} = 3x + 1\).
Giải:
a) Điều kiện: \(x \ge 0\). Phương trình đã cho có thể viết lại như sau:
\({x^2} = (1 - \sqrt x )\left[ {2x + 3(1 - \sqrt x )} \right] \Leftrightarrow {x^2} = 2x(1 - \sqrt x ) + 3{(1 - \sqrt x )^2}\).
Ta thấy \(x = 0\) không phải là nghiệm của phương trình.
Ta chia hai vế cho \({x^2}\) thì thu được: \(1 = 2\left( {\frac{{1 - \sqrt x }}{x}} \right) + 3{\left( {\frac{{1 - \sqrt x }}{x}} \right)^2}\).
Đặt \(\frac{{1 - \sqrt x }}{x} = t\)
ta có phương trình theo \(t\): \(3{t^2} + 2t - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\\t = \frac{1}{3}\end{array} \right.\)
Trường hợp 1: \(t = - 1\) ta có: \(\frac{{1 - \sqrt x }}{x} = - 1 \Leftrightarrow x - \sqrt x + 1 = 0(VN)\)
Trường hợp 2: \(t = \frac{1}{3}\) ta có:
\(\frac{{1 - \sqrt x }}{x} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow x - 3\sqrt x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x = \frac{{3 - \sqrt {21} }}{2}(L)\\\sqrt x = \frac{{3 + \sqrt {21} }}{2}\end{array} \right. \Rightarrow x = \frac{{15 + 3\sqrt {21} }}{2}\)
Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất: \(x = \frac{{15 + 3\sqrt {21} }}{2}\)
b) Ta thấy \(x = 0\) không phải là nghiệm của phương trình.
Vì vậy ta chia hai vế cho \(x\) thì thu được: \(x + \sqrt[3]{{x - \frac{1}{x}}} = 2 + \frac{1}{x} \Leftrightarrow x - \frac{1}{x} + \sqrt[3]{{x - \frac{1}{x}}} - 2 = 0\)
Đặt \(t = \sqrt[3]{{x - \frac{1}{x}}}\) ta thu được phương trình:
\({t^3} + t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow x - \frac{1}{x} = 1 \Leftrightarrow {x^2} - x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}\)\( \Leftrightarrow \)
Kết luận: Phương trình có nghiệm \(x = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}\)
c) Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} - 4x + 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 \le x \le 2 - \sqrt 3 \\x \ge 2 + \sqrt 3 \end{array} \right.\).
Ta thấy \(x = 0\) không phải là nghiệm của phương trình.
Chia hai vế cho \(\sqrt x \) ta thu được: \(\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }} + \sqrt {x - 4 + \frac{1}{x}} = 3\).
Đặt \(t = \sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }} \Rightarrow {t^2} = x + \frac{1}{x} + 2\) theo bất đẳng thức Cô si ta có \(t \ge 2\) .
Thay vào phương trình ta có:
\(\sqrt {{t^2} - 6} = 3 - t \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t \le 3\\{t^2} - 6 = {t^2} - 6t + 9\end{array} \right. \Leftrightarrow t = \frac{5}{2}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{25}}{4} = x + \frac{1}{x} + 2 \Leftrightarrow 4{x^2} - 17x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = \frac{1}{4}\end{array} \right.\)
Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm: \(x = 4,x = \frac{1}{4}\)
d). Nhận xét: \(x = 0\) không phải là nghiệm của phương trình:
Ta chia hai vế cho \(x\) khi đó phương trình trở thành:
\(x - \frac{1}{x} + 2\sqrt {x - \frac{1}{x}} - 3 = 0\).
Đặt \(t = \sqrt {x - \frac{1}{x}} \ge 0\) phương trình trở thành:
\({t^2} + 2t - 3 = 0 \Rightarrow t = 1 \Leftrightarrow x - \frac{1}{x} = 1 \Leftrightarrow {x^2} - x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}\)
+ Điểm mấu chốt của phương pháp này là phải chọn một biểu thức \(f(x)\) để đặt \(f(x) = t\) sao cho phần còn lại phải biểu diễn được theo ẩn \(t\). Những bài toán dạng này nói chung là dễ.
+ Trong nhiều trường hợp ta cần thực hiện phép chia cho một biểu thức có sẵn ở phương trình từ đó mới phát hiện ẩn phụ. Tùy thuộc vào cấu trúc phương trình ta có thể chia cho \(g(x)\) phù hợp (thông thường ta chia cho \({x^k}\) với k là số hữu tỷ)
+ Đối với những bài toán mà việc đưa về một ẩn dẫn đến phương trình mới phức tạp như: Số mũ cao, căn bậc cao .. thì ta có thể nghỉ đến hướng đặt nhiều ẩn phụ để quy về hệ phương trình hoặc dựa vào các hằng đẳng thức để giải toán.
Ta xét các ví dụ sau:
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
a) \({x^2} = (1 - \sqrt x )(2x - 3\sqrt x + 3)\)
b) \({x^2} + \sqrt[3]{{{x^4} - {x^2}}} = 2x + 1\)
c) \(x + 1 + \sqrt {{x^2} - 4x + 1} = 3\sqrt x \)
d) \({x^2} + 2x\sqrt {x - \frac{1}{x}} = 3x + 1\).
Giải:
a) Điều kiện: \(x \ge 0\). Phương trình đã cho có thể viết lại như sau:
\({x^2} = (1 - \sqrt x )\left[ {2x + 3(1 - \sqrt x )} \right] \Leftrightarrow {x^2} = 2x(1 - \sqrt x ) + 3{(1 - \sqrt x )^2}\).
Ta thấy \(x = 0\) không phải là nghiệm của phương trình.
Ta chia hai vế cho \({x^2}\) thì thu được: \(1 = 2\left( {\frac{{1 - \sqrt x }}{x}} \right) + 3{\left( {\frac{{1 - \sqrt x }}{x}} \right)^2}\).
Đặt \(\frac{{1 - \sqrt x }}{x} = t\)
ta có phương trình theo \(t\): \(3{t^2} + 2t - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\\t = \frac{1}{3}\end{array} \right.\)
Trường hợp 1: \(t = - 1\) ta có: \(\frac{{1 - \sqrt x }}{x} = - 1 \Leftrightarrow x - \sqrt x + 1 = 0(VN)\)
Trường hợp 2: \(t = \frac{1}{3}\) ta có:
\(\frac{{1 - \sqrt x }}{x} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow x - 3\sqrt x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x = \frac{{3 - \sqrt {21} }}{2}(L)\\\sqrt x = \frac{{3 + \sqrt {21} }}{2}\end{array} \right. \Rightarrow x = \frac{{15 + 3\sqrt {21} }}{2}\)
Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất: \(x = \frac{{15 + 3\sqrt {21} }}{2}\)
b) Ta thấy \(x = 0\) không phải là nghiệm của phương trình.
Vì vậy ta chia hai vế cho \(x\) thì thu được: \(x + \sqrt[3]{{x - \frac{1}{x}}} = 2 + \frac{1}{x} \Leftrightarrow x - \frac{1}{x} + \sqrt[3]{{x - \frac{1}{x}}} - 2 = 0\)
Đặt \(t = \sqrt[3]{{x - \frac{1}{x}}}\) ta thu được phương trình:
\({t^3} + t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow x - \frac{1}{x} = 1 \Leftrightarrow {x^2} - x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}\)\( \Leftrightarrow \)
Kết luận: Phương trình có nghiệm \(x = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}\)
c) Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} - 4x + 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 \le x \le 2 - \sqrt 3 \\x \ge 2 + \sqrt 3 \end{array} \right.\).
Ta thấy \(x = 0\) không phải là nghiệm của phương trình.
Chia hai vế cho \(\sqrt x \) ta thu được: \(\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }} + \sqrt {x - 4 + \frac{1}{x}} = 3\).
Đặt \(t = \sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }} \Rightarrow {t^2} = x + \frac{1}{x} + 2\) theo bất đẳng thức Cô si ta có \(t \ge 2\) .
Thay vào phương trình ta có:
\(\sqrt {{t^2} - 6} = 3 - t \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t \le 3\\{t^2} - 6 = {t^2} - 6t + 9\end{array} \right. \Leftrightarrow t = \frac{5}{2}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{25}}{4} = x + \frac{1}{x} + 2 \Leftrightarrow 4{x^2} - 17x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = \frac{1}{4}\end{array} \right.\)
Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm: \(x = 4,x = \frac{1}{4}\)
d). Nhận xét: \(x = 0\) không phải là nghiệm của phương trình:
Ta chia hai vế cho \(x\) khi đó phương trình trở thành:
\(x - \frac{1}{x} + 2\sqrt {x - \frac{1}{x}} - 3 = 0\).
Đặt \(t = \sqrt {x - \frac{1}{x}} \ge 0\) phương trình trở thành:
\({t^2} + 2t - 3 = 0 \Rightarrow t = 1 \Leftrightarrow x - \frac{1}{x} = 1 \Leftrightarrow {x^2} - x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}\)