Những kỹ thuật qua trọng để giải phương trình giải bằng phương pháp đánh giá ta thường sử dụng là:
+ Dùng hằng đẳng thức: \({A_1}^2 + {A_2}^2 + ..{A_n}^2 = 0 \Leftrightarrow {A_1} = {A_2} = .. = {A_n} = 0\)
+ Dùng các bất đẳng thức cổ điển Cô si, Bunhiacopxki, Bất đẳng thức hình học
+ Dùng phương pháp khảo sát hàm số để tìm \(GTLN,GTNN\):
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
a) \(4{x^2} + 3x + 3 = 4x\sqrt {x + 3} + 2\sqrt {2x - 1} \).
b) \(13\sqrt {x - 1} + 9\sqrt {x + 1} = 0\).
c) \(x\left( {5{x^3} + 2} \right) - 2\left( {\sqrt {2x + 1} - 1} \right) = 0\) (Trích đề tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Trường chuyên Amsterdam 2014).
d) \(\sqrt {x - 1} + 2\sqrt {y - 4} + 3\sqrt {z - 9} = \frac{1}{2}\left( {x + y + z} \right)\)
Lời giải:
a) Điều kiện \(x \ge \frac{1}{2}\).
Ta viết lại phương trình thành: \(4{x^2} - 4x\sqrt {x + 3} + \left( {x + 3} \right) + 2x - 1 - 2\sqrt {2x - 1} + 1 = 0\) \( \Leftrightarrow {\left( {2x - \sqrt {x + 3} } \right)^2} + {\left( {\sqrt {2x - 1} - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - \sqrt {x + 3} = 0\\\sqrt {2x - 1} - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\).
b) Điều kiện: \(x \ge 1\).
Ta viết lại phương trình thành: \(13\left( {x - 1 - \sqrt {x - 1} + \frac{1}{4}} \right) + 9\left( {x + 1 - 3\sqrt {x + 1} + \frac{9}{4}} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 13{\left( {\sqrt {x - 1} - \frac{1}{2}} \right)^2} + 9{\left( {\sqrt {x + 1} - \frac{3}{2}} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 1} - \frac{1}{2} = 0\\\sqrt {x + 1} - \frac{3}{2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{5}{4}\).
c) Điều kiện \(x \ge - \frac{1}{2}\).
Ta viết lại phương trình thành: \(5{x^4} + \left( {2x + 1 - 2\sqrt {2x + 1} + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 5{x^4} + {\left( {\sqrt {2x + 1} - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\\sqrt {2x + 1} - 1 = 0\end{array} \right.\) Suy ra \(x = 0\) là nghiệm duy nhất của phương trình.
d) Điều kiện \(x \ge 1;y \ge 4;z \ge 9\)
ta viết lại phương trình thành: \(2\sqrt {x - 1} + 4\sqrt {y - 4} + 6\sqrt {z - 9} = x + y + z\) \( \Leftrightarrow x - 1 - 2\sqrt {x - 1} + 1 + y - 4 - 4\sqrt {y - 4} + 4 + z - 9 - 6\sqrt {z - 9} + 9 = 0\)
\({\left( {\sqrt {x - 1} - 1} \right)^2} + {\left( {\sqrt {y - 4} - 2} \right)^2} + {\left( {\sqrt {z - 9} - 3} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 1} - 1 = 0\\\sqrt {y - 4} - 2 = 0\\\sqrt {z - 9} - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 8\\z = 18\end{array} \right.\)
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
a) \(16{x^4} + 5 = 6\sqrt[3]{{4{x^3} + x}}\)
b) \(4{x^4} + {x^2} + 3x + 4 = 3\sqrt[3]{{16{x^3} + 12x}}\)
c) \(96{x^2} - 20x + 2 + x\sqrt {8x - 1} - \sqrt[3]{{4x(8x + 1)}} = 0\)
Giải:
a) Vì \(16{x^4} + 5 > 0\) nên phương trình đã cho có nghiệm khi \(4{x^3} + x \ge 0 \Leftrightarrow x(4{x^2} + 1) \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 0\).
Để ý rằng khi \(x = \frac{1}{2}\) thì \(VT = VP\) nên ta nghỉ đến sử dụng bất đẳng thức Cô si sao cho dấu bằng xảy ra khi \(x = \frac{1}{2}\).
Mặt khác khi \(x = \frac{1}{2}\)\( \Rightarrow 4{x^3} + x = 4.\frac{1}{8} + \frac{1}{2} = 1\) thì
Từ những cơ sở trên ta có lời giải như sau: Theo bất đẳng thức Cô si dạng \(3\sqrt[3]{{abc}} \le a + b + c\) ta có
Ta có \(6\sqrt[3]{{4{x^3} + x}} = 2.3.\sqrt[3]{{\left( {4{x^3} + x} \right).1.1}} \le 2\left( {4{x^3} + x + 1 + 1} \right) = 8{x^3} + 2x + 4\)
Mặt khác ta có:
\(16{x^4} + 5 - (8{x^3} + 2x + 4) = 16{x^4} - 8{x^3} - 2x + 1 = {\left( {2x - 1} \right)^2}\left( {4{x^2} + 2x + 1} \right) \ge 0\)
Suy ra \(VT \ge VP\).
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}2{(2x - 1)^2}(2{x^2} + 2x + 1) = 0\\4x = (4{x^2} + 1) = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\)
Tóm lại: Phương trình có nghiệm duy nhất \(x = \frac{1}{2}\)
b) Vì \(4{x^4} + {x^2} + 3x + 4 > 0\) nên phương trình đã cho có nghiệm khi \[16{x^3} + 12x \ge 0 \Leftrightarrow 4x(4{x^2} + 3) \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 0\].
Để ý rằng khi \(x = \frac{1}{2}\) thì \(VT = VP\) nên ta nghỉ đến sử dụng bất đẳng thức Cô si sao cho dấu bằng xảy ra khi \(x = \frac{1}{2}\).
Khi \(x = \frac{1}{2}\) thì \(16{x^3} + 12x = 16.\frac{1}{8} + 12.\frac{1}{2} = 8\).
Từ những cơ sở trên ta có lời giải như sau:
Theo bất đẳng thức Cô si dạng \(3\sqrt[3]{{abc}} \le a + b + c\) ta có
\(3\sqrt[3]{{\left( {16{x^3} + 12x} \right)}} = \frac{3}{4}\sqrt[3]{{\left( {16{x^3} + 12x} \right).8.8}} \le \frac{1}{4}\left( {16{x^3} + 12x + 8 + 8} \right) = 4{x^3} + 3x + 4\)
Mặt khác ta có:
\(4{x^4} + {x^2} + 3x + 4 - (4{x^3} + 3x + 4) = 4{x^4} - 4{x^3} + {x^2} = {x^2}{(2x - 1)^2} \ge 0\).
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2}{(2x - 1)^2} = 0\\2 = x(4{x^2} + 3)\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\)
c) Điều kiện: \(x \ge \frac{1}{8}\). Để ý rằng \(x = \frac{1}{8}\) là nghiệm của phương trình nên ta có lời giải như sau:
\[\sqrt[3]{{4x(8x + 1)}} = \sqrt[3]{{1.1.4x(8x + 1)}} \le \frac{{1 + 1 + 4x(8x + 1)}}{3} = \frac{{32{x^2} + 4x + 2}}{3}\].
Mặt khác ta có
\(96{x^2} - 20x + 2 - \frac{{32{x^2} + 4x + 2}}{3} = \frac{{256{x^2} - 64x + 4}}{3} = \frac{{4{{(8x - 1)}^2}}}{3} \ge 0\).
Suy ra \(96{x^2} - 20x + 2 + x\sqrt {8x - 1} - \sqrt[3]{{4x(8x + 1)}} \ge 0\).
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x = \frac{1}{8}\)
+ Dùng hằng đẳng thức: \({A_1}^2 + {A_2}^2 + ..{A_n}^2 = 0 \Leftrightarrow {A_1} = {A_2} = .. = {A_n} = 0\)
+ Dùng các bất đẳng thức cổ điển Cô si, Bunhiacopxki, Bất đẳng thức hình học
+ Dùng phương pháp khảo sát hàm số để tìm \(GTLN,GTNN\):
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
a) \(4{x^2} + 3x + 3 = 4x\sqrt {x + 3} + 2\sqrt {2x - 1} \).
b) \(13\sqrt {x - 1} + 9\sqrt {x + 1} = 0\).
c) \(x\left( {5{x^3} + 2} \right) - 2\left( {\sqrt {2x + 1} - 1} \right) = 0\) (Trích đề tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Trường chuyên Amsterdam 2014).
d) \(\sqrt {x - 1} + 2\sqrt {y - 4} + 3\sqrt {z - 9} = \frac{1}{2}\left( {x + y + z} \right)\)
Lời giải:
a) Điều kiện \(x \ge \frac{1}{2}\).
Ta viết lại phương trình thành: \(4{x^2} - 4x\sqrt {x + 3} + \left( {x + 3} \right) + 2x - 1 - 2\sqrt {2x - 1} + 1 = 0\) \( \Leftrightarrow {\left( {2x - \sqrt {x + 3} } \right)^2} + {\left( {\sqrt {2x - 1} - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - \sqrt {x + 3} = 0\\\sqrt {2x - 1} - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\).
b) Điều kiện: \(x \ge 1\).
Ta viết lại phương trình thành: \(13\left( {x - 1 - \sqrt {x - 1} + \frac{1}{4}} \right) + 9\left( {x + 1 - 3\sqrt {x + 1} + \frac{9}{4}} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 13{\left( {\sqrt {x - 1} - \frac{1}{2}} \right)^2} + 9{\left( {\sqrt {x + 1} - \frac{3}{2}} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 1} - \frac{1}{2} = 0\\\sqrt {x + 1} - \frac{3}{2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{5}{4}\).
c) Điều kiện \(x \ge - \frac{1}{2}\).
Ta viết lại phương trình thành: \(5{x^4} + \left( {2x + 1 - 2\sqrt {2x + 1} + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 5{x^4} + {\left( {\sqrt {2x + 1} - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\\sqrt {2x + 1} - 1 = 0\end{array} \right.\) Suy ra \(x = 0\) là nghiệm duy nhất của phương trình.
d) Điều kiện \(x \ge 1;y \ge 4;z \ge 9\)
ta viết lại phương trình thành: \(2\sqrt {x - 1} + 4\sqrt {y - 4} + 6\sqrt {z - 9} = x + y + z\) \( \Leftrightarrow x - 1 - 2\sqrt {x - 1} + 1 + y - 4 - 4\sqrt {y - 4} + 4 + z - 9 - 6\sqrt {z - 9} + 9 = 0\)
\({\left( {\sqrt {x - 1} - 1} \right)^2} + {\left( {\sqrt {y - 4} - 2} \right)^2} + {\left( {\sqrt {z - 9} - 3} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 1} - 1 = 0\\\sqrt {y - 4} - 2 = 0\\\sqrt {z - 9} - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 8\\z = 18\end{array} \right.\)
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
a) \(16{x^4} + 5 = 6\sqrt[3]{{4{x^3} + x}}\)
b) \(4{x^4} + {x^2} + 3x + 4 = 3\sqrt[3]{{16{x^3} + 12x}}\)
c) \(96{x^2} - 20x + 2 + x\sqrt {8x - 1} - \sqrt[3]{{4x(8x + 1)}} = 0\)
Giải:
a) Vì \(16{x^4} + 5 > 0\) nên phương trình đã cho có nghiệm khi \(4{x^3} + x \ge 0 \Leftrightarrow x(4{x^2} + 1) \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 0\).
Để ý rằng khi \(x = \frac{1}{2}\) thì \(VT = VP\) nên ta nghỉ đến sử dụng bất đẳng thức Cô si sao cho dấu bằng xảy ra khi \(x = \frac{1}{2}\).
Mặt khác khi \(x = \frac{1}{2}\)\( \Rightarrow 4{x^3} + x = 4.\frac{1}{8} + \frac{1}{2} = 1\) thì
Từ những cơ sở trên ta có lời giải như sau: Theo bất đẳng thức Cô si dạng \(3\sqrt[3]{{abc}} \le a + b + c\) ta có
Ta có \(6\sqrt[3]{{4{x^3} + x}} = 2.3.\sqrt[3]{{\left( {4{x^3} + x} \right).1.1}} \le 2\left( {4{x^3} + x + 1 + 1} \right) = 8{x^3} + 2x + 4\)
Mặt khác ta có:
\(16{x^4} + 5 - (8{x^3} + 2x + 4) = 16{x^4} - 8{x^3} - 2x + 1 = {\left( {2x - 1} \right)^2}\left( {4{x^2} + 2x + 1} \right) \ge 0\)
Suy ra \(VT \ge VP\).
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}2{(2x - 1)^2}(2{x^2} + 2x + 1) = 0\\4x = (4{x^2} + 1) = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\)
Tóm lại: Phương trình có nghiệm duy nhất \(x = \frac{1}{2}\)
b) Vì \(4{x^4} + {x^2} + 3x + 4 > 0\) nên phương trình đã cho có nghiệm khi \[16{x^3} + 12x \ge 0 \Leftrightarrow 4x(4{x^2} + 3) \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 0\].
Để ý rằng khi \(x = \frac{1}{2}\) thì \(VT = VP\) nên ta nghỉ đến sử dụng bất đẳng thức Cô si sao cho dấu bằng xảy ra khi \(x = \frac{1}{2}\).
Khi \(x = \frac{1}{2}\) thì \(16{x^3} + 12x = 16.\frac{1}{8} + 12.\frac{1}{2} = 8\).
Từ những cơ sở trên ta có lời giải như sau:
Theo bất đẳng thức Cô si dạng \(3\sqrt[3]{{abc}} \le a + b + c\) ta có
\(3\sqrt[3]{{\left( {16{x^3} + 12x} \right)}} = \frac{3}{4}\sqrt[3]{{\left( {16{x^3} + 12x} \right).8.8}} \le \frac{1}{4}\left( {16{x^3} + 12x + 8 + 8} \right) = 4{x^3} + 3x + 4\)
Mặt khác ta có:
\(4{x^4} + {x^2} + 3x + 4 - (4{x^3} + 3x + 4) = 4{x^4} - 4{x^3} + {x^2} = {x^2}{(2x - 1)^2} \ge 0\).
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2}{(2x - 1)^2} = 0\\2 = x(4{x^2} + 3)\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\)
c) Điều kiện: \(x \ge \frac{1}{8}\). Để ý rằng \(x = \frac{1}{8}\) là nghiệm của phương trình nên ta có lời giải như sau:
\[\sqrt[3]{{4x(8x + 1)}} = \sqrt[3]{{1.1.4x(8x + 1)}} \le \frac{{1 + 1 + 4x(8x + 1)}}{3} = \frac{{32{x^2} + 4x + 2}}{3}\].
Mặt khác ta có
\(96{x^2} - 20x + 2 - \frac{{32{x^2} + 4x + 2}}{3} = \frac{{256{x^2} - 64x + 4}}{3} = \frac{{4{{(8x - 1)}^2}}}{3} \ge 0\).
Suy ra \(96{x^2} - 20x + 2 + x\sqrt {8x - 1} - \sqrt[3]{{4x(8x + 1)}} \ge 0\).
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x = \frac{1}{8}\)
Sửa lần cuối: