Giải các phương trình sau:
a) \(7{x^2} - 13x + 8 = 2{x^2}\sqrt[3]{{x(1 + 3x - 3{x^2})}}\)
b) \(3{x^3} + 4{x^2} - 1 = \sqrt[3]{{{x^6} + 2{x^3} + {x^2}}}\)
c) \({\left( {\frac{{{x^3} - x}}{2}} \right)^3} = 2x + \sqrt[3]{{\frac{{{x^3} + 3x}}{2}}}\)
Giải:
a) Nhận thấy \(x = 0\) không phải là nghiệm của phương trình:
Chia hai vế phương trình cho \({x^3}\) ta thu được: \(\frac{7}{x} - \frac{{13}}{{{x^2}}} + \frac{8}{{{x^3}}} = 2\sqrt[3]{{\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{3}{x} - 3}}\).
Đặt \(y = \sqrt[3]{{\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{3}{x} - 3}}\)
ta thu được hệ sau: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{7}{x} - \frac{{13}}{{{x^2}}} + \frac{8}{{{x^3}}} = 2y\\\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{3}{x} - 3 = {y^3}\end{array} \right.\) .
Cộng hai phương trình của hệ ta có:
\(\frac{8}{{{x^3}}} - \frac{{12}}{{{x^2}}} + \frac{{10}}{x} - 3 = {y^3} + 2y \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{x} - 1} \right)^3} + 2\left( {\frac{2}{x} - 1} \right) = {y^3} + 2y\) (*)
Đặt $z = \frac{2}{x} - 1$
ta thu được: \({z^3} + 2z = {y^3} + 2y \Rightarrow \left( {z - y} \right)\left( {{z^2} + yz + {y^2} + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow z = y\)
\( \Leftrightarrow y = \frac{2}{x} - 1 \Leftrightarrow \frac{7}{x} - \frac{{13}}{{{x^2}}} + \frac{8}{{{x^3}}} = \frac{4}{x} - 2 \Leftrightarrow \frac{8}{{{x^3}}} - \frac{{13}}{{{x^2}}} + \frac{3}{x} + 2 = 0\).
Suy ra \(x = 1,x = \frac{{ - 5 \pm \sqrt {89} }}{4}\)
b) Nhận thấy \(x = 0\) không phải là nghiệm của phương trình nên ta chia hai vế phương trình cho x thì thu được phương trình tương đương là:
\(\)\(3{x^2} + 4x - \frac{1}{x} = \sqrt[3]{{{x^3} + 2 + \frac{1}{x}}}\).
Đặt \(y = \sqrt[3]{{{x^3} + 2 + \frac{1}{x}}}\)
ta có hệ sau:\(\left\{ \begin{array}{l}3{x^2} + 4x - \frac{1}{x} = y\\{x^3} + 2 + \frac{1}{x} = {y^3}\end{array} \right.\).
Cộng hai phương trình của hệ ta có: \({(x + 1)^3} + (x + 1) = {y^3} + y\).
Từ phương trình ta suy ra \(y = x + 1 \Leftrightarrow 3{x^2} + 4x - \frac{1}{x} = x + 1\)
\(3{x^2} + 4x - \frac{1}{x} = x + 1 \Leftrightarrow 3{x^3} + 3{x^2} - x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\).
c) Ta viết lại phương trình thành: \({\left( {{x^3} - x} \right)^3} - 16x = 4\sqrt[3]{{4{x^3} + 12x}}\)
Đặt \(y = \sqrt[3]{{4{x^3} + 12x}}\) ta có hệ tạm sau:
\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {{x^3} - x} \right)^3} - 16x = 4y\\4{x^3} + 12x = {y^3}\end{array} \right.\)
Cộng hai vế hệ phương trình ta thu được: ${\left( {{x^3} - x} \right)^3} + 4\left( {{x^3} - x} \right) = {y^3} + 4y$ Đặt \(z = {x^3} - x\)
ta có: ${z^3} + 4z = {y^3} + 4y \Leftrightarrow \left( {z - y} \right)\left( {{z^2} + yz + {y^2} + 4} \right) = 0$$ \Leftrightarrow {\left( {{x^3} - x} \right)^3} = 4{x^3} + 12x$
$ \Leftrightarrow x\left[ {{x^2}{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^3} - 4{x^2} - 12} \right] = 0$\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = 3\end{array} \right.\)
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là: \(x = 0;x = \pm \sqrt 3 \)
a) \(7{x^2} - 13x + 8 = 2{x^2}\sqrt[3]{{x(1 + 3x - 3{x^2})}}\)
b) \(3{x^3} + 4{x^2} - 1 = \sqrt[3]{{{x^6} + 2{x^3} + {x^2}}}\)
c) \({\left( {\frac{{{x^3} - x}}{2}} \right)^3} = 2x + \sqrt[3]{{\frac{{{x^3} + 3x}}{2}}}\)
Giải:
a) Nhận thấy \(x = 0\) không phải là nghiệm của phương trình:
Chia hai vế phương trình cho \({x^3}\) ta thu được: \(\frac{7}{x} - \frac{{13}}{{{x^2}}} + \frac{8}{{{x^3}}} = 2\sqrt[3]{{\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{3}{x} - 3}}\).
Đặt \(y = \sqrt[3]{{\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{3}{x} - 3}}\)
ta thu được hệ sau: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{7}{x} - \frac{{13}}{{{x^2}}} + \frac{8}{{{x^3}}} = 2y\\\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{3}{x} - 3 = {y^3}\end{array} \right.\) .
Cộng hai phương trình của hệ ta có:
\(\frac{8}{{{x^3}}} - \frac{{12}}{{{x^2}}} + \frac{{10}}{x} - 3 = {y^3} + 2y \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{x} - 1} \right)^3} + 2\left( {\frac{2}{x} - 1} \right) = {y^3} + 2y\) (*)
Đặt $z = \frac{2}{x} - 1$
ta thu được: \({z^3} + 2z = {y^3} + 2y \Rightarrow \left( {z - y} \right)\left( {{z^2} + yz + {y^2} + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow z = y\)
\( \Leftrightarrow y = \frac{2}{x} - 1 \Leftrightarrow \frac{7}{x} - \frac{{13}}{{{x^2}}} + \frac{8}{{{x^3}}} = \frac{4}{x} - 2 \Leftrightarrow \frac{8}{{{x^3}}} - \frac{{13}}{{{x^2}}} + \frac{3}{x} + 2 = 0\).
Suy ra \(x = 1,x = \frac{{ - 5 \pm \sqrt {89} }}{4}\)
b) Nhận thấy \(x = 0\) không phải là nghiệm của phương trình nên ta chia hai vế phương trình cho x thì thu được phương trình tương đương là:
\(\)\(3{x^2} + 4x - \frac{1}{x} = \sqrt[3]{{{x^3} + 2 + \frac{1}{x}}}\).
Đặt \(y = \sqrt[3]{{{x^3} + 2 + \frac{1}{x}}}\)
ta có hệ sau:\(\left\{ \begin{array}{l}3{x^2} + 4x - \frac{1}{x} = y\\{x^3} + 2 + \frac{1}{x} = {y^3}\end{array} \right.\).
Cộng hai phương trình của hệ ta có: \({(x + 1)^3} + (x + 1) = {y^3} + y\).
Từ phương trình ta suy ra \(y = x + 1 \Leftrightarrow 3{x^2} + 4x - \frac{1}{x} = x + 1\)
\(3{x^2} + 4x - \frac{1}{x} = x + 1 \Leftrightarrow 3{x^3} + 3{x^2} - x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\).
c) Ta viết lại phương trình thành: \({\left( {{x^3} - x} \right)^3} - 16x = 4\sqrt[3]{{4{x^3} + 12x}}\)
Đặt \(y = \sqrt[3]{{4{x^3} + 12x}}\) ta có hệ tạm sau:
\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {{x^3} - x} \right)^3} - 16x = 4y\\4{x^3} + 12x = {y^3}\end{array} \right.\)
Cộng hai vế hệ phương trình ta thu được: ${\left( {{x^3} - x} \right)^3} + 4\left( {{x^3} - x} \right) = {y^3} + 4y$ Đặt \(z = {x^3} - x\)
ta có: ${z^3} + 4z = {y^3} + 4y \Leftrightarrow \left( {z - y} \right)\left( {{z^2} + yz + {y^2} + 4} \right) = 0$$ \Leftrightarrow {\left( {{x^3} - x} \right)^3} = 4{x^3} + 12x$
$ \Leftrightarrow x\left[ {{x^2}{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^3} - 4{x^2} - 12} \right] = 0$\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = 3\end{array} \right.\)
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là: \(x = 0;x = \pm \sqrt 3 \)