Giải các phương trình:
a) \(3(\sqrt {2{x^2} + 1} - 1) = x(1 + 3x + 8\sqrt {2{x^2} + 1} )\)
b) \(\sqrt {{x^2} + 3x + 6} + \sqrt {2{x^2} - 1} = 3x + 1\)
Lời Giải:
a) Ta viết lại phương trình thành: \(3{x^2} + x + 3 + (8x - 3)\sqrt {2{x^2} + 1} = 0\).
Đặt \(t = \sqrt {2{x^2} + 1} \ge 0\) suy ra \({t^2} = 2{x^2} + 1\).
Ta tạo ra phương trình: \(m{t^2} + (8x - 3)t + (3 - 2m){x^2} + x + 3 - m = 0\).
Ta có \(\Delta = {(8x - 3)^2} - 4m\left[ {(3 - 2m){x^2} + x + 3 - m} \right] = \)
\( = (8{m^2} - 12m + 64){x^2} - (48 + 4m)x + 4{m^2} - 12m + 9\).
Ta cần \(\Delta {'_m} = {(24 + 2m)^2} - (8{m^2} - 12m + 64)(4{m^2} - 12m + 9) = 0 \Rightarrow m = 3\).
Phương trình trở thành: \(3{t^2} + (8x - 3)t - 3{x^2} + x = 0\) .
Ta có: \(\Delta = {(8x - 3)^2} - 12.( - 3{x^2} + x) = 100{x^2} - 60x + 9 = {(10x - 3)^2}\).
Từ đó tính được : \(\left[ \begin{array}{l}t = \frac{{3 - 8x - (10x - 3)}}{6} = - 3x + 1\\t = \frac{{3 - 8x + (10x - 3)}}{6} = - \frac{x}{3}\end{array} \right.\)
Trường hợp 1: \(\sqrt {2{x^2} + 1} = - 3x + 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le \frac{1}{3}\\9{x^2} - 6x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0\)
Trường hợp 2: \(\sqrt {2{x^2} + 1} = - \frac{x}{3} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 0\\17{x^2} + 9 = 0\end{array} \right.VN\)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: \(x = 0\)
b) Điều kiện: \(x \ge \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).
Ta viết lại phương trình thành: \(\sqrt {{x^2} + 3x + 6} = 3x + 1 - \sqrt {2{x^2} - 1} \).
Bình phương 2 vế và thu gọn ta được phương trình mới:
\(10{x^2} + 3x - 6 - 2(3x + 1)\sqrt {2{x^2} - 1} = 0\)
Đặt \(t = \sqrt {2{x^2} - 1} \ge 0\) suy ra \({t^2} = 2{x^2} - 1\).
Ta tạo ra phương trình: \(m{t^2} - 2(3x + 1)t + (10 - 2m){x^2} + 3x - 6 + m = 0\). Ta có
\(\Delta ' = {(3x + 1)^2} - m\left[ {(10 - 2m){x^2} + 3x - 6 + m} \right]\)
\( = (2{m^2} - 10m + 9){x^2} + (6 - 3m)x - {m^2} + 6m + 1\).
Ta cần \({\Delta _m} = {(6 - 3m)^2} - 4(2{m^2} - 10m + 9)( - {m^2} + 6m + 1) = 0 \Rightarrow m = 4\).
Phương trình trở thành: \(4{t^2} - 2(3x + 1)t + 2{x^2} + 3x - 2 = 0\) .
Ta có: \(\Delta ' = {(3x + 1)^2} - 4.(2{x^2} + 3x - 2) = {x^2} - 6x + 9 = {(x - 3)^2}\).
Từ đó tính được: \(\left[ \begin{array}{l}t = \frac{{3x + 1 - (x - 3)}}{4} = \frac{{x + 2}}{2}\\t = \frac{{3x + 1 + (x - 3)}}{4} = \frac{{2x - 1}}{2}\end{array} \right.\)
Trường hợp 1: \(\sqrt {2{x^2} - 1} = \frac{{x + 2}}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 2\\7{x^2} - 4x - 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{2 + 2\sqrt {15} }}{7}\\x = \frac{{2 - 2\sqrt {15} }}{7}\end{array} \right.\).
Đối chiếu với điều kiện ban đầu ta thấy chỉ có \(x = \frac{{2 + 2\sqrt {15} }}{7}\) là thỏa mãn điều kiện .
Trường hợp 2: \(\sqrt {2{x^2} - 1} = \frac{{2x - 1}}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{1}{2}\\4{x^2} + 4x - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 1 - \sqrt 6 }}{2}\\x = \frac{{ - 1 + \sqrt 6 }}{2}\end{array} \right.\).
Đối chiếu với điều kiện ban đầu ta thấy chỉ có \(x = \frac{{ - 1 + \sqrt 6 }}{2}\) là thỏa mãn điều kiện .
Vậy phương trình có 2 nghiệm là: \(x = \frac{{2 + 2\sqrt {15} }}{7}\) và \(x = \frac{{ - 1 + \sqrt 6 }}{2}\)
a) \(3(\sqrt {2{x^2} + 1} - 1) = x(1 + 3x + 8\sqrt {2{x^2} + 1} )\)
b) \(\sqrt {{x^2} + 3x + 6} + \sqrt {2{x^2} - 1} = 3x + 1\)
Lời Giải:
a) Ta viết lại phương trình thành: \(3{x^2} + x + 3 + (8x - 3)\sqrt {2{x^2} + 1} = 0\).
Đặt \(t = \sqrt {2{x^2} + 1} \ge 0\) suy ra \({t^2} = 2{x^2} + 1\).
Ta tạo ra phương trình: \(m{t^2} + (8x - 3)t + (3 - 2m){x^2} + x + 3 - m = 0\).
Ta có \(\Delta = {(8x - 3)^2} - 4m\left[ {(3 - 2m){x^2} + x + 3 - m} \right] = \)
\( = (8{m^2} - 12m + 64){x^2} - (48 + 4m)x + 4{m^2} - 12m + 9\).
Ta cần \(\Delta {'_m} = {(24 + 2m)^2} - (8{m^2} - 12m + 64)(4{m^2} - 12m + 9) = 0 \Rightarrow m = 3\).
Phương trình trở thành: \(3{t^2} + (8x - 3)t - 3{x^2} + x = 0\) .
Ta có: \(\Delta = {(8x - 3)^2} - 12.( - 3{x^2} + x) = 100{x^2} - 60x + 9 = {(10x - 3)^2}\).
Từ đó tính được : \(\left[ \begin{array}{l}t = \frac{{3 - 8x - (10x - 3)}}{6} = - 3x + 1\\t = \frac{{3 - 8x + (10x - 3)}}{6} = - \frac{x}{3}\end{array} \right.\)
Trường hợp 1: \(\sqrt {2{x^2} + 1} = - 3x + 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le \frac{1}{3}\\9{x^2} - 6x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0\)
Trường hợp 2: \(\sqrt {2{x^2} + 1} = - \frac{x}{3} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 0\\17{x^2} + 9 = 0\end{array} \right.VN\)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: \(x = 0\)
b) Điều kiện: \(x \ge \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).
Ta viết lại phương trình thành: \(\sqrt {{x^2} + 3x + 6} = 3x + 1 - \sqrt {2{x^2} - 1} \).
Bình phương 2 vế và thu gọn ta được phương trình mới:
\(10{x^2} + 3x - 6 - 2(3x + 1)\sqrt {2{x^2} - 1} = 0\)
Đặt \(t = \sqrt {2{x^2} - 1} \ge 0\) suy ra \({t^2} = 2{x^2} - 1\).
Ta tạo ra phương trình: \(m{t^2} - 2(3x + 1)t + (10 - 2m){x^2} + 3x - 6 + m = 0\). Ta có
\(\Delta ' = {(3x + 1)^2} - m\left[ {(10 - 2m){x^2} + 3x - 6 + m} \right]\)
\( = (2{m^2} - 10m + 9){x^2} + (6 - 3m)x - {m^2} + 6m + 1\).
Ta cần \({\Delta _m} = {(6 - 3m)^2} - 4(2{m^2} - 10m + 9)( - {m^2} + 6m + 1) = 0 \Rightarrow m = 4\).
Phương trình trở thành: \(4{t^2} - 2(3x + 1)t + 2{x^2} + 3x - 2 = 0\) .
Ta có: \(\Delta ' = {(3x + 1)^2} - 4.(2{x^2} + 3x - 2) = {x^2} - 6x + 9 = {(x - 3)^2}\).
Từ đó tính được: \(\left[ \begin{array}{l}t = \frac{{3x + 1 - (x - 3)}}{4} = \frac{{x + 2}}{2}\\t = \frac{{3x + 1 + (x - 3)}}{4} = \frac{{2x - 1}}{2}\end{array} \right.\)
Trường hợp 1: \(\sqrt {2{x^2} - 1} = \frac{{x + 2}}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 2\\7{x^2} - 4x - 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{2 + 2\sqrt {15} }}{7}\\x = \frac{{2 - 2\sqrt {15} }}{7}\end{array} \right.\).
Đối chiếu với điều kiện ban đầu ta thấy chỉ có \(x = \frac{{2 + 2\sqrt {15} }}{7}\) là thỏa mãn điều kiện .
Trường hợp 2: \(\sqrt {2{x^2} - 1} = \frac{{2x - 1}}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{1}{2}\\4{x^2} + 4x - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 1 - \sqrt 6 }}{2}\\x = \frac{{ - 1 + \sqrt 6 }}{2}\end{array} \right.\).
Đối chiếu với điều kiện ban đầu ta thấy chỉ có \(x = \frac{{ - 1 + \sqrt 6 }}{2}\) là thỏa mãn điều kiện .
Vậy phương trình có 2 nghiệm là: \(x = \frac{{2 + 2\sqrt {15} }}{7}\) và \(x = \frac{{ - 1 + \sqrt 6 }}{2}\)