Toán 12 Giải bài tập sgk toán lớp 12 bài 3 trang 126 phần Ôn tập Chương III Nguyên hàm tích phân và ứng dụng

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) \(f(x) = (x - 1)(1 - 2x)(1 - 3x)\)
b) \(f(x) = sin4x cos^2 2x\)
c) \(f(x) = {1 \over {1 - {x^2}}}\)
d) \(f(x) = (e^x- 1)^3\)
Lời giải bài tập
a) Ta có:
\(f\left( x \right)= ( - 2{x^2} + 3x-1)\left( {1 - 3x} \right)\)
\( =6{x^3}-11{x^2} +6x-1.\)
Vậy nguyên hàm của \(f(x)\) là: \(F\left( x \right) = \int {\left( {6{x^3} - 11{x^2} + 6x - 1} \right)dx} \\= \frac{3}{2}{x^4} - \frac{{11}}{3}{x^3} + 3{x^2} - x + C.\)
b) Ta có:
\(f\left( x \right) = \sin 4x.co{s^2}2x = \sin 4x.{{1 + \cos 4x} \over 2}\)
\(= {1 \over 2}(\sin 4x + \sin 4x.cos4x)\)
\(= {1 \over 2}(\sin 4x + {1 \over 2}\sin 8x) \)
Vậy nguyên hàm của \(f(x)\) là:
\(\begin{array}{l}
F\left( x \right) = \frac{1}{2}\int {\left( {\sin 4x + \frac{1}{2}\sin 8x} \right)dx} \\
\;\;\;\;\;\;\; = - \frac{1}{8}\cos 4x - \frac{1}{{32}}\cos 8x + C.
\end{array}\)
c) Ta có:
\(f(x) = {1 \over {1 - {x^2}}} = {1 \over 2}({1 \over {1 - x}} + {1 \over {1 + x}})\)
Vậy nguyên hàm của f(x) là:
\(\begin{array}{l}
F\left( x \right) = \frac{1}{2}\int {\left( {\frac{1}{{1 - x}} + \frac{1}{{1 + x}}} \right)} dx\\
\;\;\;\;\;\;\; = \frac{1}{2}\left( { - \ln \left| {1 - x} \right| + \ln \left| {1 + x} \right| + C} \right)\\
\;\;\;\;\;\;\; = \frac{1}{2}ln\left| {\frac{{1 + x}}{{1 - x}}} \right| + C.
\end{array}\)
d) Ta có: \(f(x) ={e^{3x}}-3{e^{2x}} + 3{e^x}-1\)
Vậy nguyên hàm của \(f(x)\) là
\(\begin{array}{l}
F\left( x \right) = \int {\left( {{e^{3x}} - 3{e^{2x}} + 3{e^x} - 1} \right)dx} \\
\;\;\;\;\;\;\;\; = \frac{1}{3}{e^{3x}} - \frac{3}{2}{e^{2x}} + 3{e^x} - x + C.
\end{array}\)