a) Phát biểu định nghĩa tích phân của hàm số \(f(x)\) trên một đoạn
b) Nêu các tính chất của tích phân. Cho ví dụ minh họa.
Giả sử \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên \([a, b]\).
Hiệu số \(F(b) – F(a)\) được gọi là tích phân từ \(a\) đến \(b\) (hay tích phân xác định trên đoạn \([a, b]\) của hàm số \(f(x)\).
Kí hiệu \(\int_a^b {f(x)dx} \): hoặc
Dấu \({\rm{[F(x)]}}{\left| {^b} \right._a} = F(b) – F(a) (1)\). (Công thức Newton – Leibniz)
Dấu được gọi là dấu tích phân, \(a\) là cận dưới và \(b\) là cận trên của tích phân
Hàm số \(f(x)\) gọi là hàm số dưới dấu tích phân,\( f(x) dx\) là biểu thức dưới dấu tích phân, \(dx\) chỉ biến số lấy tích phân là \(x\).
b) Tính chất 1: \(\int_a^b {k.f(x)dx = k\int_a^b {f(x)dx} } \) ( \(k\) là hằng số)
Tính chất 2: \(\int_a^b {{\rm{[f(x)}} \pm {\rm{g(x)]dx}} = \int_a^b {f(x)dx \pm } } \int_a^b {g(x)dx} \)
Tính chất 3: \(\int_a^b {f(x)dx = \int_a^c {f(x)dx + \int_c^b {f(x)dx} } } \) \((a < c < b).\)
Ví dụ:
a) Biết \(\int_5^9 {f(x)dx = 2.} \) Hãy tính \(\int_5^9 {( - 5).f(x)dx}. \)
b) Biết \(\int_5^9 {f(x)dx = 2} \) và \(\int_5^9 {g(x)dx = 4} .\) Hãy tính \(\int_5^0 {{\rm{[f(x) + g(x)]dx}}}. \)
c) Biết \(\int_5^9 {f(x)dx = 2} \) và \(\int_9^{10} {f(x)dx = 3} .\) Hãy tính \(\int_5^{10} {f(x)dx}. \)
b) Ta có: \(\int_5^9 {{\rm{[f(x) + g(x)]dx}} = \int_5^9 {f(x)dx + \int_5^9 {g(x)dx = 2 + 4 = 6} } } .\)
c) Ta có: \(\int_5^{10} {f(x)dx = \int_5^9 {f(x)dx + \int_9^{10} {f(x)dx = 2 + 3 = 5} } }. \)
b) Nêu các tính chất của tích phân. Cho ví dụ minh họa.
Lời giải bài tập
a) Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \([a, b]\).Giả sử \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên \([a, b]\).
Hiệu số \(F(b) – F(a)\) được gọi là tích phân từ \(a\) đến \(b\) (hay tích phân xác định trên đoạn \([a, b]\) của hàm số \(f(x)\).
Kí hiệu \(\int_a^b {f(x)dx} \): hoặc
Dấu \({\rm{[F(x)]}}{\left| {^b} \right._a} = F(b) – F(a) (1)\). (Công thức Newton – Leibniz)
Dấu được gọi là dấu tích phân, \(a\) là cận dưới và \(b\) là cận trên của tích phân
Hàm số \(f(x)\) gọi là hàm số dưới dấu tích phân,\( f(x) dx\) là biểu thức dưới dấu tích phân, \(dx\) chỉ biến số lấy tích phân là \(x\).
b) Tính chất 1: \(\int_a^b {k.f(x)dx = k\int_a^b {f(x)dx} } \) ( \(k\) là hằng số)
Tính chất 2: \(\int_a^b {{\rm{[f(x)}} \pm {\rm{g(x)]dx}} = \int_a^b {f(x)dx \pm } } \int_a^b {g(x)dx} \)
Tính chất 3: \(\int_a^b {f(x)dx = \int_a^c {f(x)dx + \int_c^b {f(x)dx} } } \) \((a < c < b).\)
Ví dụ:
a) Biết \(\int_5^9 {f(x)dx = 2.} \) Hãy tính \(\int_5^9 {( - 5).f(x)dx}. \)
b) Biết \(\int_5^9 {f(x)dx = 2} \) và \(\int_5^9 {g(x)dx = 4} .\) Hãy tính \(\int_5^0 {{\rm{[f(x) + g(x)]dx}}}. \)
c) Biết \(\int_5^9 {f(x)dx = 2} \) và \(\int_9^{10} {f(x)dx = 3} .\) Hãy tính \(\int_5^{10} {f(x)dx}. \)
Lời giải bài tập
a) Ta có: \(\int_5^9 {( - 5).f(x)dx = ( - 5)\int_5^9 {f(x)dx = ( - 5).2 = - 10} }. \)b) Ta có: \(\int_5^9 {{\rm{[f(x) + g(x)]dx}} = \int_5^9 {f(x)dx + \int_5^9 {g(x)dx = 2 + 4 = 6} } } .\)
c) Ta có: \(\int_5^{10} {f(x)dx = \int_5^9 {f(x)dx + \int_9^{10} {f(x)dx = 2 + 3 = 5} } }. \)