Giải bài 5 trang 80 SGK hình học lớp 12 Phương trình mặt phẳng:
Cho tứ diện có các đỉnh là \(A(5 ; 1 ; 3), B(1 ; 6 ; 2), C(5 ; 0 ; 4), D(4 ; 0 ; 6).\)
a) Hãy viết các phương trình mặt phẳng \((ACD)\) và \((BCD)\)
b) Hãy viết phương trình mặt phẳng \((α)\) đi qua cạnh \(AB\) và song song với cạnh \(CD\).
Khi đó VTPT của mặt phẳng \((ADC)\) là: \(\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} \right ]\) \( = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&1\\{ - 1}&3\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\3&{ - 1}\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 1}\\{ - 1}&{ - 1}\end{array}} \right|} \right)= (-2 ; -1 ; -1).\)
Phương trình \((ACD)\) có dạng:
\(2(x - 5) + (y - 1) + (z - 3) = 0\).
hay \(2x + y + z - 14 = 0\).
Tương tự: Mặt phẳng \((BCD)\) qua điểm \(B(1 ; 6 ; 2)\) và nhận vectơ \(\overrightarrow{m}=\left [\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} \right ]\) làm vectơ pháp tuyến.
Ta có :\(\overrightarrow{BC}(4 ; -6 ; 2)\), \(\overrightarrow{BD}(3 ; -6 ; 4)\) và
\(\overrightarrow{m}=\left (\begin{vmatrix} -6 & 2\\ -6 & 4 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 2 &4 \\ 4& 3 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} 4 & -6\\ 3& -6 \end{vmatrix} \right )\)
\(= (-12 ; -10 ; -6)=-2(6; 5; 3).\)
Xét \(\overrightarrow{m_{1}} (6 ; 5 ; 3)\) thì \(\overrightarrow{m}=-2\overrightarrow{m_{1}}\) nên \(\overrightarrow{m_{1}}\) cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((BCD)\). Phương trình mặt phẳng \((BCD)\) có dạng:
\(6(x - 1) + 5(y - 6) +3(z - 2) = 0\)
hay \(6x + 5y + 3z - 42 = 0\).
b) Mặt phẳng \(( α )\) qua cạnh \(AB\) và song song với \(CD\) thì \(( α )\) qua \(A\) và nhận \(\overrightarrow{AB} (-4 ; 5 ; -1)\) , \(\overrightarrow{CD}(-1 ; 0 ; 2)\) làm vectơ chỉ phương.
VTPT của mặt phẳng \((α): \overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right ] \) \(= \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&{ - 1}\\0&2\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{ - 4}\\2&{ - 1}\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 4}&5\\{ - 1}&0\end{array}} \right|} \right)= (10 ; 9 ; 5).\)
Phương trình mặt phẳng \(( α )\) có dạng : \(10x + 9y + 5z - 74 = 0\).
Cho tứ diện có các đỉnh là \(A(5 ; 1 ; 3), B(1 ; 6 ; 2), C(5 ; 0 ; 4), D(4 ; 0 ; 6).\)
a) Hãy viết các phương trình mặt phẳng \((ACD)\) và \((BCD)\)
b) Hãy viết phương trình mặt phẳng \((α)\) đi qua cạnh \(AB\) và song song với cạnh \(CD\).
Lời giải bài tập
a) Mặt phẳng \((ADC)\) đi qua \(A(5 ; 1 ; 3)\) và chứa giá của các vectơ \(\overrightarrow{AC}(0 ; -1 ; 1)\) và \(\overrightarrow{AD}(-1 ; -1 ; 3)\).Khi đó VTPT của mặt phẳng \((ADC)\) là: \(\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} \right ]\) \( = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&1\\{ - 1}&3\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\3&{ - 1}\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 1}\\{ - 1}&{ - 1}\end{array}} \right|} \right)= (-2 ; -1 ; -1).\)
Phương trình \((ACD)\) có dạng:
\(2(x - 5) + (y - 1) + (z - 3) = 0\).
hay \(2x + y + z - 14 = 0\).
Tương tự: Mặt phẳng \((BCD)\) qua điểm \(B(1 ; 6 ; 2)\) và nhận vectơ \(\overrightarrow{m}=\left [\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} \right ]\) làm vectơ pháp tuyến.
Ta có :\(\overrightarrow{BC}(4 ; -6 ; 2)\), \(\overrightarrow{BD}(3 ; -6 ; 4)\) và
\(\overrightarrow{m}=\left (\begin{vmatrix} -6 & 2\\ -6 & 4 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 2 &4 \\ 4& 3 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} 4 & -6\\ 3& -6 \end{vmatrix} \right )\)
\(= (-12 ; -10 ; -6)=-2(6; 5; 3).\)
Xét \(\overrightarrow{m_{1}} (6 ; 5 ; 3)\) thì \(\overrightarrow{m}=-2\overrightarrow{m_{1}}\) nên \(\overrightarrow{m_{1}}\) cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((BCD)\). Phương trình mặt phẳng \((BCD)\) có dạng:
\(6(x - 1) + 5(y - 6) +3(z - 2) = 0\)
hay \(6x + 5y + 3z - 42 = 0\).
b) Mặt phẳng \(( α )\) qua cạnh \(AB\) và song song với \(CD\) thì \(( α )\) qua \(A\) và nhận \(\overrightarrow{AB} (-4 ; 5 ; -1)\) , \(\overrightarrow{CD}(-1 ; 0 ; 2)\) làm vectơ chỉ phương.
VTPT của mặt phẳng \((α): \overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right ] \) \(= \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&{ - 1}\\0&2\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{ - 4}\\2&{ - 1}\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 4}&5\\{ - 1}&0\end{array}} \right|} \right)= (10 ; 9 ; 5).\)
Phương trình mặt phẳng \(( α )\) có dạng : \(10x + 9y + 5z - 74 = 0\).