Giải bài 5 trang 68 SGK hình học lớp 12 Hệ tọa độ trong không gian:
Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau đây:
a) \({x^2} + {\rm{ }}{y^{2}} + {\rm{ }}{z^2}-{\rm{ }}8x{\rm{ }} - {\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) ;
b) \(3{x^2} + {\rm{ }}3{y^2} + {\rm{ }}3{z^2}-{\rm{ }}6x{\rm{ }} + {\rm{ }}8y{\rm{ }} + {\rm{ }}15z{\rm{ }}-{\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0\).
Cách 1: Ta có phương trình : \({x^2} + {\rm{ }}{y^{2}} + {\rm{ }}{z^2}-{\rm{ }}8x{\rm{ }} - {\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
\( \Leftrightarrow {\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)^2} + {\rm{ }}{z^2} = {\rm{ }}{4^2}\)
Đây là mặt cầu tâm \(I(4; 1; 0)\) và có bán kính \(r = 4\).
Cách 2: Ta có: \(a = 4;\,\,b = 1;\,\,c = 0 ;\,\,d = 1 \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 16 > 0\) do đó đây là phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {4;1;0} \right)\), bán kính \(R=4\).
b)
Cách 1: Ta có phương trình:
\(3{x^2} + {\rm{ }}3{y^2} + {\rm{ }}3{z^2}-{\rm{ }}6x{\rm{ }} + {\rm{ }}8y{\rm{ }} + {\rm{ }}15z{\rm{ }}-{\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
\(\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2}{\rm{ - }}2x + {8 \over 3}y + 5z{\rm{ - }}1 = 0\)
\(⇔ (x-1)^{2}+(y+\frac{4}{3})^{2}+(z+\frac{5}{2})^{2}= (\frac{19}{6})^{2}\).
Đây là mặt cầu tâm \(J(1; -\frac{4}{3};-\frac{5}{2})\) và có bán kính là \(R = \frac{19}{6}\).
Cách 2:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} - 6x + 8y + 15z - 3 = 0\\\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + \frac{8}{3}y + 5z - 1 = 0
\end{array}\)
Ta có: \(a = 1;\,\,b = - \frac{4}{3};\,\,c = - \frac{5}{2};\,\,d = - 1 \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d = \frac{{336}}{{36}} > 0\) do đó đây là phương trình mặt cầu tâm \(J\left( {1; - \frac{4}{3}; - \frac{5}{2}} \right)\), bán kính \(R = \frac{{19}}{6}\).
Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau đây:
a) \({x^2} + {\rm{ }}{y^{2}} + {\rm{ }}{z^2}-{\rm{ }}8x{\rm{ }} - {\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) ;
b) \(3{x^2} + {\rm{ }}3{y^2} + {\rm{ }}3{z^2}-{\rm{ }}6x{\rm{ }} + {\rm{ }}8y{\rm{ }} + {\rm{ }}15z{\rm{ }}-{\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0\).
Lời giải bài tập
a)Cách 1: Ta có phương trình : \({x^2} + {\rm{ }}{y^{2}} + {\rm{ }}{z^2}-{\rm{ }}8x{\rm{ }} - {\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
\( \Leftrightarrow {\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)^2} + {\rm{ }}{z^2} = {\rm{ }}{4^2}\)
Đây là mặt cầu tâm \(I(4; 1; 0)\) và có bán kính \(r = 4\).
Cách 2: Ta có: \(a = 4;\,\,b = 1;\,\,c = 0 ;\,\,d = 1 \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 16 > 0\) do đó đây là phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {4;1;0} \right)\), bán kính \(R=4\).
b)
Cách 1: Ta có phương trình:
\(3{x^2} + {\rm{ }}3{y^2} + {\rm{ }}3{z^2}-{\rm{ }}6x{\rm{ }} + {\rm{ }}8y{\rm{ }} + {\rm{ }}15z{\rm{ }}-{\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
\(\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2}{\rm{ - }}2x + {8 \over 3}y + 5z{\rm{ - }}1 = 0\)
\(⇔ (x-1)^{2}+(y+\frac{4}{3})^{2}+(z+\frac{5}{2})^{2}= (\frac{19}{6})^{2}\).
Đây là mặt cầu tâm \(J(1; -\frac{4}{3};-\frac{5}{2})\) và có bán kính là \(R = \frac{19}{6}\).
Cách 2:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} - 6x + 8y + 15z - 3 = 0\\\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + \frac{8}{3}y + 5z - 1 = 0
\end{array}\)
Ta có: \(a = 1;\,\,b = - \frac{4}{3};\,\,c = - \frac{5}{2};\,\,d = - 1 \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d = \frac{{336}}{{36}} > 0\) do đó đây là phương trình mặt cầu tâm \(J\left( {1; - \frac{4}{3}; - \frac{5}{2}} \right)\), bán kính \(R = \frac{{19}}{6}\).