Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Giải bài 3 trang 92 SGK hình học lớp 12 phần ôn tập phương pháp tọa độ không gian:
Trong hệ toạ độ \(Oxyz\), cho bốn điểm \(A(-2 ; 6 ; 3), B(1 ; 0 ; 6), C(0; 2 ; -1), D(1 ; 4 ; 0)\).
a) Viết phương trình mặt phẳng \((BCD)\). Suy ra \(ABCD\) là một tứ diện.
b) Tính chiều cao \(AH\) của tứ diện \(ABCD\).
c) Viết phương trình mặt phẳng \((α)\) chứa \(AB\) và song song với \(CD\).
Lời giải bài tập
a) Ta có: \(\overrightarrow {BC} = (-1; 2; -7)\), \(\overrightarrow {BD}= (0; 4; -6)\)
Xét vectơ \(\overrightarrow a = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right]\) \( \Rightarrow \overrightarrow a = (16; - 6; - 4) = 2(8; - 3; - 2)\)
Mặt phẳng \((BCD)\) đi qua \(B\) và nhận \(\overrightarrow {a'} = (8; -3; -2)\) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình:
\(8(x - 1) -3y - 2(z - 6) = 0\) \( \Leftrightarrow 8x - 3y - 2z + 4 = 0\)
Thay toạ độ của \(A\) vào phương trình của \((BC)\) ta có:
\(8.(-2) - 3.6 - 2.3 + 4 = -36 ≠ 0\)
Điều này chứng tỏ điểm \(A\) không thuộc mặt phẳng \((BCD)\) hay bốn điểm \(A, B, C, D\) không đồng phẳng, và \(ABCD\) là một tứ diện.
b) Chiều cao \(AH\) của tứ diện chính là khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \((BCD)\):
\(AH = d(A,(BCD))\) = \({{\left| {8.( - 2) - 3.6 - 2.3 + 4} \right|} \over {\sqrt {{8^2} + {{( - 3)}^2} + {{( - 2)}^2}} }} = {{36} \over {\sqrt {77} }}\)
c) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (3; - 6; 3)\), \(\overrightarrow {CD} = ( 1; 2; 1)\)
Mặt phẳng \((α)\) chứa \(AB\) và \(CD\) chính là mặt phẳng đi qua \(A(-2; 6; 3)\) và nhận cặp vectơ \(\overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {CD} \) làm cặp vectơ chỉ phương, có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right]\)
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 6;3} \right);\,\,\overrightarrow {CD} = \left( {1;2;1} \right)\)
\(\Rightarrow \overrightarrow n \) = \((-12; 0; 12) = -12(1; 0; -1)\)
Vậy phương trình của \((α)\) là:
\(1(x + 2) + 0(y - 6) - 1(z - 3) = 0 \)\( \Leftrightarrow x - z + 5 = 0\)