Giải bài 27 trang 20 SGK Toán 9 tập 2. Bằng cách đặt ẩn phụ (theo hướng dẫn), đưa các hệ phương trình sau về dạng hệ hai phương trình bậc nhật hai ẩn

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Bằng cách đặt ẩn phụ (theo hướng dẫn), đưa các hệ phương trình sau về dạng hệ hai phương trình bậc nhật hai ẩn rồi giải:
a) \(\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y} = 1& & \\ \dfrac{3}{x} + \dfrac{4}{y} = 5& & \end{matrix}\right.\).
Hướng dẫn. Đặt \(u =\dfrac{1}{x},\ v =\dfrac{1}{y}\);
b) \(\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x - 2} + \dfrac{1}{y -1} = 2 & & \\ \dfrac{2}{x - 2} - \dfrac{3}{y - 1} = 1 & & \end{matrix}\right.\)
Hướng dẫn. Đặt \(u = \dfrac{1}{x - 2},\ v = \dfrac{1}{y - 1}\).
Giải​
a) Điền kiện \(x ≠ 0, y ≠ 0\).
Đặt \(\left\{\begin{matrix} u = \dfrac{1}{x} & & \\ v = \dfrac{1}{y} & & \end{matrix}\right.\) (với \(u \ne 0,\ v \ne 0\) ).
Phương trình đã cho trở thành:
\(\left\{\begin{matrix} u - v = 1 & & \\ 3u + 4v = 5& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3u - 3v = 3 & & \\ 3u + 4v = 5& & \end{matrix}\right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -7v = -2 & & \\ 3u = 5- 4v & & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} v =\dfrac{2}{7} & & \\ 3u = 5- 4.\dfrac{2}{7} & & \end{matrix}\right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} v =\dfrac{2}{7} & & \\ u = \dfrac{9}{7} & & \end{matrix} (thỏa\ mãn )\right.\)
Suy ra \(\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x} = \dfrac{9}{7}& & \\ \dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{7}& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = \dfrac{7}{9}& & \\ y = \dfrac{7}{2}& & \end{matrix}(thỏa\ mãn )\right.\)
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất \( {\left(\dfrac{7}{9};\dfrac{7}{2} \right)}\).
b) Điều kiện \(\left\{\begin{matrix} x-2 \ne 0 & & \\ y-1 \ne 0 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x \ne 2 & & \\ y \ne 1 & & \end{matrix}\right.\)
Đặt \(\left\{\begin{matrix} u = \dfrac{1}{x -2} & & \\ v = \dfrac{1}{y -1} & & \end{matrix}\right.\) (với \(u \ne 0,\ v \ne 0\) ).
Phương trình đã cho trở thành:
\(\left\{\begin{matrix} u + v = 2 & & \\ 2u - 3v = 1 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2u + 2v = 4 & & \\ 2u - 3v = 1 & & \end{matrix}\right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 5v = 3 & & \\ u+v=2 & & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} v = \dfrac{3}{5} & & \\ u=2-v & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} v = \dfrac{3}{5} & & \\ u=2-\dfrac{3}{5} & & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} v = \dfrac{3}{5} & & \\ u=\dfrac{7}{5} & & \end{matrix} (thỏa\ mãn)\right.\)
Suy ra \(\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x -2} = \dfrac{7}{5}& & \\ \dfrac{1}{y -1} = \dfrac{3}{5}& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x -2 = \dfrac{5}{7}& & \\ y - 1 = \dfrac{5}{3}& & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = \dfrac{5}{7}+ 2& & \\ y = \dfrac{5}{3}+1& & \end{matrix}\right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = \dfrac{19}{7}& & \\ y = \dfrac{8}{3}& & \end{matrix} (thỏa\ mãn)\right.\)
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất \( {\left(\dfrac{19}{7};\dfrac{8}{3} \right)}\).
7scv.com​