Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Giải bài 1 trang 91 SGK hình học lớp 12 phần ôn tập phương pháp tọa độ không gian:
Cho hệ toạ độ \(Oxyz\), cho bốn điểm \(A( 1 ; 0 ; 0 ), B( 0 ; 1 ; 0 ), C( 0 ; 0 ; 1 ), D( -2 ; 1 ; -1)\).
a) Chứng minh \(A, B, C, D\) là bốn đỉnh của một tứ diện.
b) Tìm góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\).
c) Tính độ dài đường cao của hình chóp \(A.BCD\).
Lời giải bài tập
a) Viết phương trình mặt phẳng \((ABC)\): Theo phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, ta có:
\((ABC)\): \({x \over 1} + {y \over 1} + {z \over 1} = 1 \Leftrightarrow x + y + z - 1 = 0\)
Thế các toạ độ của \(D\) vào vế phải của phương trình mặt phẳng \((ABC)\), ta có: \(-2 + 1 - 1 - 1 = -3 ≠ 0\)
Vậy \(D ∉ (ABC)\) hay bốn điểm \(A, B, C, D\) không đồng phẳng, suy ra A, B, C, D là bốn đỉnh của 1 tứ diện.
b) Gọi \(α\) là góc giữa hai đường thẳng \(AB, CD\) ta có:
\(cos α =\left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right)} \right|\)
Do đó, ta tính \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right)\). Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \),\(\overrightarrow {CD} \) được tính theo công thức:
\(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {CD} } \right|}}\)
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = ( - 1,1,0)\), \(\overrightarrow {CD} = ( - 2,1, - 2)\)
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}= (-1).(-2) + 1.1 + 0.(-2) = 3\)
\(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {1^2} + {0^2}} = \sqrt 2 \)
\(\left| {\overrightarrow {CD} } \right| = \sqrt {{{( - 2)}^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} = 3\)
\( \Rightarrow \cos (\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} ) = {3 \over {3\sqrt 2 }} = {{\sqrt 2 } \over 2} \Rightarrow (\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} ) = 45^0\) \( \Rightarrow α = 45^0\)
c) Ta có \(\overrightarrow {BC} = (0; - 1;1),\) \(\overrightarrow {BD} = ( - 2;0; - 1)\)
Gọi \(\overrightarrow n \) là vectơ pháp tuyến của \((BCD)\) thì:
\(\overrightarrow n_{(BCD)} = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = (1; -2; -2)\)
Phương trình mặt phẳng \((BCD)\):
\(1(x - 0) - 2(y - 1) - 2( z - 0) = 0\)
\( \Leftrightarrow x - 2y - 2z + 2 = 0\)
Chiều cao của hình chóp \(A.BCD\) bằng khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \((BCD)\):
\(h = d(A,(BCD)) = {{\left| {1 + 2} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {(-2)^2} + {{( - 2)}^2}} }} = {3 \over 3} = 1\)