Giải 7 bài tập nguyên hàm chi tiết

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
Bài tập nguyên hàm sẽ minh họa tốt nhất các công thức trong bảng nguyên hàm mà ta đã học bài hôm trước. Bài viết này giới thiệu 7 bài nguyên hàm kèm lời giải chi tiết được sắp xếp từ căn bản tới nâng cao để học sinh dễ hiểu
Câu 1.
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\)
A. \(F\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{3}{2}{x^2} + 2x + C\).
B. \(F\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{2}{3}{x^2} + 2x + C\).
C. \(F\left( x \right) = 2x + 3 + C\).
D. \(F\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{2}{3}{x^2} + 2x + C\).
\(f\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right) = {x^2} + 3x + 2\). Sử dụng bảng nguyên hàm.

Câu 2. Hàm số \(f(x) = {x^3} - {x^2} + 3 + \frac{1}{x}\) có nguyên hàm là
A. \(F(x) = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^3}}}{3} + 3x + \ln \left| x \right| + C\).
B. \(F(x) = {x^4} - \frac{{{x^3}}}{3} + 3x + \ln \left| x \right| + C\).
C. \(F(x) = 3{x^2} - 2x - \frac{1}{{{x^2}}} + C\).
D. \(F(x) = {x^4} - {x^3} + 3x + \ln \left| x \right| + C\).
\(F(x) = \int {({x^3} - {x^2} + 3 + \frac{1}{x})dx} = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^3}}}{3} + 3x + \ln \left| x \right| + C\)

Câu 3. Một nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f(x) = {({e^{ - x}} + {e^x})^2}\) thỏa mãn điều kiện \(F(0) = 1\) là
A. \(F(x) = - \frac{1}{2}{e^{ - 2x}} + \frac{1}{2}{e^{2x}} + 2x + 1\).
B. \(F(x) = - 2{e^{ - 2x}} + 2{e^{2x}} + 2x + 1\).
C. \(F(x) = - \frac{1}{2}{e^{ - 2x}} + \frac{1}{2}{e^{2x}} + 2x\).
D. \(F(x) = - \frac{1}{2}{e^{ - 2x}} + \frac{1}{2}{e^{2x}} + 2x - 1\).
Ta có\(F(x) = - \frac{1}{2}{e^{ - 2x}} + \frac{1}{2}{e^{2x}} + 2x + C,F(0) = 1 \Leftrightarrow C = 1\)

Câu 4. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \cos \left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right)\).
A. \(\int {f(x)dx = \frac{1}{3}\sin \left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right) + C} \).
B. \(\int {f(x).dx = \sin \left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right) + C} \).
C. \(\int {f(x)dx = - \frac{1}{3}\sin \left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right) + C} \).
D. \(\int {f(x)dx = \frac{1}{6}\sin \left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right) + C} \).
\(\int {f(x)dx = \frac{1}{3}\int {\cos \left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right)d\left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right) = } } \frac{1}{3}\sin \left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right) + C\).

Câu 5. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {2^x}{.3^{ - 2{\rm{x}}}}\).
A. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = {\left( {\frac{2}{9}} \right)^x}.\frac{1}{{\ln 2 - \ln 9}} + C\).
B. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = {\left( {\frac{9}{2}} \right)^x}.\frac{1}{{\ln 2 - \ln 9}} + C\).
C. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x}.\frac{1}{{\ln 2 - \ln 9}} + C\).
D. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = {\left( {\frac{2}{9}} \right)^x}.\frac{1}{{\ln 2 + \ln 9}} + C\).
\(\int {{2^x}{{.3}^{ - 2{\rm{x}}}}d{\rm{x}} = \int {{{\left( {\frac{2}{9}} \right)}^x}d{\rm{x}} = } } {\left( {\frac{2}{9}} \right)^x}.\frac{1}{{\ln 2 - \ln 9}} + C\)

Câu 6. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {\sin ^3}x.\cos 3x + {\cos ^3}x.\sin 3x\).
A. $\int {f(x)dx = \frac{{ - 3}}{{16}}\cos 4x + C} $.
B. $\int {f(x)dx = \frac{3}{{16}}\cos 4x + C} $.
C. $\int {f(x)dx = \frac{{ - 3}}{{16}}\sin 4x + C} $.
D. $\int {f(x)dx = \frac{3}{{16}}\sin 4x + C} $.
\(\int {\left( {{{\sin }^3}x.\cos 3x + {{\cos }^3}x.\sin 3x} \right).} dx\)\( = \int {\left( {\frac{{3\sin x - \sin 3x}}{4}.\cos 3x + \frac{{\cos 3x + 3\cos x}}{4}.\sin 3x} \right)dx} \) \( = \int {\left( {\frac{3}{4}\sin x.\cos 3x - \sin 3x.\cos 3x + \frac{3}{4}\sin 3x.\cos x + \sin 3x.\cos 3x} \right)dx} \) \( = \frac{3}{4}\int {\left( {\sin x.\cos 3x + \sin 3x.\cos x} \right)dx} = \frac{3}{4}\int {\sin 4xdx} = \frac{{ - 3}}{{16}}\cos 4x + C\)

Câu 7. Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{{\sqrt {2{\rm{x}} - 1} }}\) là
A. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \sqrt {2{\rm{x}} - 1} + C\).
B. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = 2\sqrt {2{\rm{x}} - 1} + C\).
C. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{{\sqrt {2{\rm{x}} - 1} }}{2} + C\).
D. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = - 2\sqrt {2{\rm{x}} - 1} + C\).
\(\int {\frac{1}{{\sqrt {2{\rm{x}} - 1} }}d{\rm{x}} = \frac{1}{2}\int {\frac{{d\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)}}{{\sqrt {2{\rm{x}} - 1} }} = \sqrt {2{\rm{x}} - 1} + C} } \).

Xem thêm lý thuyết nguyên hàm
 

Bình luận bằng Facebook