Toán 11 Giải 18 câu đạo hàm của hàm số chứa căn

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Câu 1: Hãy tính đạo hàm của hàm số chưa căn sau \(y = 2{x^4} - \frac{1}{3}{x^3} + 2\sqrt x - 5\)
A.\(y' = 8{x^3} + {x^2} + \frac{1}{{\sqrt x }}.\)
B.\(y' = 8{x^3} - {x^2} - \frac{1}{{\sqrt x }}.\)
C.\(y' = 2{x^3} - {x^2} + \frac{1}{{\sqrt x }}.\)
D.\(y' = 8{x^3} - {x^2} + \frac{1}{{\sqrt x }}.\)
Lời giải
\(y' = {\left( {2{x^4} - \frac{1}{3}{x^3} + 2\sqrt x - 5} \right)^/}\)$ \Leftrightarrow $ \(y' = {\left( {2{x^4}} \right)^/} - {\left( {\frac{1}{3}{x^3}} \right)^/} + {\left( {2\sqrt x } \right)^/} - {5^/}\) $ \Leftrightarrow $\(y' = 8{x^3} - {x^2} + \frac{1}{{\sqrt x }}.\)

Câu 2: Hãy tính đạo hàm của hàm số chưa căn sau
A.\(\frac{6}{{{x^3}}} - \frac{1}{{2\sqrt x }} + \sqrt x .\)
B.\(\frac{6}{{{x^3}}} - \frac{1}{{\sqrt x }} + \sqrt x .\)
C.\(\frac{{ - 6}}{{{x^3}}} - \frac{1}{{\sqrt x }} + \sqrt x .\)
D.\(\frac{{ - 6}}{{{x^3}}} - \frac{1}{{2\sqrt x }} + \sqrt x .\)
Lời giải
\(y' = {\left( {\frac{3}{{{x^2}}} - \sqrt x + \frac{2}{3}x\sqrt x } \right)^/}\)$ \Leftrightarrow $\(y' = {\left( {3.{x^{ - 2}}} \right)^/} - {\left( {\sqrt x } \right)^/} + \frac{2}{3}{\left( {x\sqrt x } \right)^/}\)
$ \Leftrightarrow $\(y' = 3.\left( { - 2} \right).{x^{ - 3}} - \frac{1}{{2\sqrt x }} + \frac{2}{3}\left( {{x^/}.\sqrt x + {{\left( {\sqrt x } \right)}^/}.x} \right)\) $ \Leftrightarrow $\(y' = \frac{{ - 6}}{{{x^3}}} - \frac{1}{{2\sqrt x }} + \frac{2}{3}\left( {\sqrt x + \frac{1}{{2\sqrt x }}.x} \right)\)
\( \Leftrightarrow y' = \frac{{ - 6}}{{{x^3}}} - \frac{1}{{2\sqrt x }} + \frac{2}{3}\left( {\sqrt x + \frac{{\sqrt x }}{2}} \right) = \frac{{ - 6}}{{{x^3}}} - \frac{1}{{2\sqrt x }} + \sqrt x .\)

Câu 3: Hãy tính đạo hàm của hàm số chưa căn sau \(y = 2{x^4} - \frac{1}{3}{x^3} + 2\sqrt x - 5\)
A.\(y' = 2{x^3} - {x^2} + \frac{1}{{\sqrt x }}.\)
B.\(y' = {x^3} - {x^2} + \frac{1}{{\sqrt x }}.\)
C.\(y' = 8{x^3} - 3{x^2} + \frac{1}{{\sqrt x }}.\)
D.\(y' = 8{x^3} - {x^2} + \frac{1}{{\sqrt x }}.\)
Lời giải
\(y' = {\left( {2{x^4} - \frac{1}{3}{x^3} + 2\sqrt x - 5} \right)^/}\) $ \Leftrightarrow $\(y' = {\left( {2{x^4}} \right)^/} - {\left( {\frac{1}{3}{x^3}} \right)^/} + {\left( {2\sqrt x } \right)^/} - {5^/}\) $ \Leftrightarrow $\(y' = 8{x^3} - {x^2} + \frac{1}{{\sqrt x }}.\)

Câu 4: Hãy tính đạo hàm của hàm số chưa căn sau \(y = {x^5} - 4{x^3} + 2x - 3\sqrt x \)
A.\(y' = 4{x^4} - 12x + 2 - \frac{3}{{2\sqrt x }}.\)
B.\(y' = 5{x^4} - 12x + 2 - \frac{3}{{2\sqrt x }}.\)
C.\(y' = 5{x^4} - 4x + 2 - \frac{3}{{2\sqrt x }}.\)
D.\(y' = 5{x^4} - 12{x^2} + 2 - \frac{3}{{2\sqrt x }}.\)
Lời giải
\(y' = {\left( {{x^5} - 4{x^3} + 2x - 3\sqrt x } \right)^/}\)$ \Leftrightarrow $ \(y' = {\left( {{x^5}} \right)^/} - 4{\left( {{x^3}} \right)^/} + 2.{x^/} - 3{\left( {\sqrt x } \right)^/}\) $ \Leftrightarrow $\(y' = 5{x^4} - 12x + 2 - \frac{3}{{2\sqrt x }}.\)

Câu 5. Hãy tính đạo hàm của h\(x + \frac{{3\sqrt x }}{2}.\)àm số chưa căn đặc biệt sau \(y = {x^2}\sqrt x \)
A.\(\frac{{x\sqrt x }}{2}.\)
B.\(\frac{{5\sqrt x }}{2}.\)
C.\(\frac{{5x\sqrt x }}{3}.\)
D.\(\frac{{5x\sqrt x }}{2}.\)
Lời giải
\(y' = {\left( {{x^2}\sqrt x } \right)^/} = {\left( {{x^2}} \right)^/}.\sqrt x + {\left( {\sqrt x } \right)^/}.{x^2} = 2x.\sqrt x + \frac{1}{{2\sqrt x }}.{x^2} = 2x\sqrt x + \frac{1}{2}x\sqrt x = \frac{{5x\sqrt x }}{2}.\)

Câu 6. Hãy tính đạo hàm của hàm số chưa căn sau\(y = {x^2} + x\sqrt x + 1\)
A. \(\frac{{ - x}}{{\sqrt {1 + 2x - {x^2}} }}\)
B.\(2x + \frac{{\sqrt x }}{2}.\)
C.\(x + \frac{{\sqrt x }}{2}.\)
D.\(2x + \frac{{3\sqrt x }}{2}.\)
Lời giải
\(y' = {\left( {{x^2}} \right)^/} + {\left( {x\sqrt x } \right)^{/.}} + {1^/} = 2x + x'.\sqrt x + {\left( {\sqrt x } \right)^/}.x = 2x + \sqrt x + \frac{1}{{2\sqrt x }}.x = 2x + \frac{{3\sqrt x }}{2}.\)

Câu 7. Hãy tính đạo hàm của hàm số chưa căn sau \(y = \sqrt {1 + 2x - {x^2}} \) .
A.\(\frac{{ - x}}{{\sqrt {1 + 2x - {x^2}} }}\)
B.\(\frac{1}{{\sqrt {1 + 2x - {x^2}} }}\)
C.\(\frac{{1 - x}}{{\sqrt {1 + x - {x^2}} }}\)
D.\(\frac{{1 - x}}{{\sqrt {1 + 2x - {x^2}} }}\)
Lời giải
Sử dụng công thức \({\left( {\sqrt u } \right)^/}\) với \(u = 1 + 2x - {x^2}\)
\(y' = \frac{{{{\left( {1 + 2x - {x^2}} \right)}^/}}}{{\sqrt {1 + 2x - {x^2}} }} = \frac{{1 - x}}{{\sqrt {1 + 2x - {x^2}} }}\).

Câu 8. Hãy tính đạo hàm của hàm số chưa căn sau \(y = \sqrt {{x^2} + 1} - \sqrt {1 - {x^2}} \)
A.\(\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} + \frac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}.\)
B.\(\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}.\)
C.\(\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}.\)
D.\(\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} + \frac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}.\)
Lời giải
\(y' = {\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)^/} - {\left( {\sqrt {1 - {x^2}} } \right)^/} = \frac{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^/}}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }} - \frac{{{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^/}}}{{2\sqrt {1 - {x^2}} }} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} + \frac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}.\)

Câu 9. Hãy tính đạo hàm của hàm số chưa căn phân thức sau \(y = \sqrt {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} \).
A.\(\frac{1}{{\sqrt {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} }}\left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)\)
B.\(\frac{1}{{2\sqrt {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} }}\)
C.\(\frac{3}{{2\sqrt {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} }}\left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)\)
D.\(\frac{1}{{2\sqrt {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} }}\left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)\)
Lời giải
Sử dụng công thức \({\left( {\sqrt u } \right)^/}\) với \(u = \frac{{{x^2} + 1}}{x}\)
\(y' = \frac{1}{{2\sqrt {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} }}.{\left( {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} \right)^/} = \frac{1}{{2\sqrt {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} }}\left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)\)

Câu 10. Hãy tính đạo hàm của hàm số chưa căn phân thức sau \(y = \left( {\frac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right)\).
A.\(y' = 2\left( {\frac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right).\frac{1}{{{{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}\)
B.\(y' = 2\left( {\frac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right).\frac{{ - 1}}{{\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}\)
C.\(y' = \left( {\frac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right).\frac{{ - 1}}{{\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}\)
D.\(y' = 2\left( {\frac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right).\frac{1}{{\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}\)
Lời giải
Đầu tiên sử dụng công thức \({\left( {{u^\alpha }} \right)^/}\) với \(u = \frac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}\)
\(y' = 2\left( {\frac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right).{\left( {\frac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right)^/}\)
Tính \({\left( {\frac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right)^/} = \frac{{{{\left( {1 - \sqrt x } \right)}^/}\left( {1 + \sqrt x } \right) - {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^/}\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{{{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}\)
\( = \frac{{\frac{{ - 1}}{{2\sqrt x }}\left( {1 + \sqrt x } \right) - \frac{1}{{2\sqrt x }}\left( {1 - x} \right)}}{{{{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}} = \frac{{ - 1}}{{\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}\)
Vậy \(y' = 2\left( {\frac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right).\frac{{ - 1}}{{\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}\) .

Câu 11. Hãy tính đạo hàm của hàm số chưa căn phân thức sau \(y = \sqrt {x - 1} + \frac{1}{{\sqrt {x - 1} }}\)
A.\(\frac{1}{{\sqrt {x - 1} }} + \frac{{ - 1}}{{2\sqrt {x - 1} \left( {x - 1} \right)}}.\)
B.\(\frac{1}{{2\sqrt {x - 1} }} + \frac{{ - 1}}{{2\sqrt {x - 1} }}.\)
C.\(\frac{1}{{\sqrt {x - 1} }} + \frac{{ - 1}}{{\sqrt {x - 1} \left( {x - 1} \right)}}.\)
D.\(\frac{1}{{2\sqrt {x - 1} }} + \frac{{ - 1}}{{2\sqrt {x - 1} \left( {x - 1} \right)}}.\)
Lời giải
\(y' = {\left( {\sqrt {x - 1} } \right)^/} + {\left( {\frac{1}{{\sqrt {x - 1} }}} \right)^/} = \frac{1}{{2\sqrt {x - 1} }} + \frac{{ - {{\left( {\sqrt {x - 1} } \right)}^/}}}{{{{\left( {\sqrt {x - 1} } \right)}^2}}} = \frac{1}{{2\sqrt {x - 1} }} + \frac{{ - 1}}{{2\sqrt {x - 1} \left( {x - 1} \right)}}.\)

Câu 12. Hãy tính đạo hàm của hàm số chưa căn phân thức sau \(y = {\left( {\sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^5}\) .
A.\(5{\left( {\sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^4}\left( {\frac{1}{{2\sqrt x }} + \frac{1}{{2\sqrt x .x}}} \right)\)
B.\(5{\left( {\sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^4}\left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x .x}}} \right)\)
C.\({\left( {\sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^4}\left( {\frac{1}{{2\sqrt x }} + \frac{1}{{2\sqrt x .x}}} \right)\)
D.\(5{\left( {\sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^4}\left( {\frac{1}{{2\sqrt x }} + \frac{1}{{2\sqrt x .x}}} \right)\)
Lời giải
Bước đầu tiên sử dụng \({\left( {{u^\alpha }} \right)^/}\)với \(u = \sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }}\)
\(y' = 5{\left( {\sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^4}.{\left( {\sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^/} = 5{\left( {\sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^4}.\left( {\frac{1}{{2\sqrt x }} + \frac{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^/}}}{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2}}}} \right)\)
\( = 5{\left( {\sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^4}\left( {\frac{1}{{2\sqrt x }} + \frac{1}{{2\sqrt x .x}}} \right)\)

Câu 13. Hãy tính đạo hàm của hàm số chưa căn phân thức sau \(y = \frac{{1 + x}}{{\sqrt {1 - x} }}\) .
A.\(\frac{{ - x}}{{2\sqrt {1 - x} \left( {1 - x} \right)}}.\)
B.\(\frac{{3 - x}}{{\sqrt {1 - x} \left( {1 - x} \right)}}.\)
C.\(\frac{3}{{2\sqrt {1 - x} \left( {1 - x} \right)}}.\)
D.\(\frac{{3 - x}}{{2\sqrt {1 - x} \left( {1 - x} \right)}}.\)
Lời giải
Sử dụng \({\left( {\frac{u}{v}} \right)^/}\) được: \(y' = \frac{{{{\left( {1 + x} \right)}^/}\sqrt {1 - x} - {{\left( {\sqrt {1 - x} } \right)}^/}\left( {1 + x} \right)}}{{{{\left( {\sqrt {1 - x} } \right)}^2}}}\) \( = \frac{{\sqrt {1 - x} - \frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^/}}}{{2\sqrt {1 - x} }}.\left( {1 + x} \right)}}{{\left( {1 - x} \right)}}\)\( = \frac{{2\left( {1 - x} \right) + \left( {1 + x} \right)}}{{2\sqrt {1 - x} .\left( {1 - x} \right)}} = \frac{{3 - x}}{{2\sqrt {1 - x} \left( {1 - x} \right)}}.\)

Câu 14. Hãy tính đạo hàm của hàm số chứa căn nhiều lớp sau \(y = \sqrt {x + \sqrt {x + \sqrt x } .} \)
A.\(\frac{1}{{2\sqrt {x + \sqrt {x + \sqrt x } } }}.\left[ {1 + \frac{1}{{2\sqrt {x + \sqrt x } }}.\left( {1 + \frac{1}{{2\sqrt x }}} \right)} \right].\)
B.\(\frac{1}{{\sqrt {x + \sqrt {x + \sqrt x } } }}.\left[ {1 + \frac{1}{{\sqrt {x + \sqrt x } }}.\left( {1 + \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)} \right].\)
C.\(\frac{1}{{\sqrt {x + \sqrt {x + \sqrt x } } }}.\left[ {1 + \frac{1}{{2\sqrt {x + \sqrt x } }}.\left( {1 + \frac{1}{{2\sqrt x }}} \right)} \right].\)
D.\(\frac{1}{{2\sqrt {x + \sqrt {x + \sqrt x } } }}.\left[ {1 - \frac{1}{{2\sqrt {x + \sqrt x } }}.\left( {1 + \frac{1}{{2\sqrt x }}} \right)} \right].\)
Lời giải
Đầu tiên áp dụng \(\sqrt u \) với \(u = x + \sqrt {x + \sqrt x } \)
\(y' = \frac{1}{{2\sqrt {x + \sqrt {x + \sqrt x } } }}{\left( {x + \sqrt {x + \sqrt x } } \right)^/} = \frac{1}{{2\sqrt {x + \sqrt {x + \sqrt x } } }}\left( {1 + \frac{1}{{2\sqrt {x + \sqrt x } }}.{{\left( {x + \sqrt x } \right)}^/}} \right)\)
\( = \frac{1}{{2\sqrt {x + \sqrt {x + \sqrt x } } }}.\left[ {1 + \frac{1}{{2\sqrt {x + \sqrt x } }}.\left( {1 + \frac{1}{{2\sqrt x }}} \right)} \right].\)

Câu 15. Hãy tính đạo hàm của hàm số chứa căn phân thức sau \(y = \sqrt {\frac{{{x^3}}}{{x - 1}}} \) (Áp dụng căn bặc hai của u đạo hàm).
A.\(y' = \frac{1}{{2\sqrt {\frac{{{x^3}}}{{x - 1}}} }}.\frac{{{x^3} - 3{x^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.\)
B.\(\frac{{ - x + 8}}{{\left( {{x^2} + 3} \right)\sqrt {{x^2} + 2} }}\)
C.\(y' = \frac{1}{{\sqrt {\frac{{{x^3}}}{{x - 1}}} }}.\frac{{2{x^3} - 3{x^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.\)
D.\(y' = \frac{1}{{2\sqrt {\frac{{{x^3}}}{{x - 1}}} }}.\frac{{2{x^3} - 3{x^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.\)
Lời giải
\(y' = \frac{1}{{2\sqrt {\frac{{{x^3}}}{{x - 1}}} }}.{\left( {\frac{{{x^3}}}{{x - 1}}} \right)^/}\)
Ta có: \({\left( {\frac{{{x^3}}}{{x - 1}}} \right)^/} = \frac{{{{\left( {{x^3}} \right)}^/}\left( {x - 1} \right) - {{\left( {x - 1} \right)}^/}.{x^3}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{3{x^2}\left( {x - 1} \right) - {x^3}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^3} - 3{x^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)
Vậy \(y' = \frac{1}{{2\sqrt {\frac{{{x^3}}}{{x - 1}}} }}.\frac{{2{x^3} - 3{x^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.\)

Câu 16. Hãy tính đạo hàm của hàm số chứa căn \(y = \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^3}} .\)
A.\(\frac{{\left( {x - 2} \right)}}{{2\sqrt {x - 2} }}.\)
B.\(\frac{{\left( {x - 2} \right)}}{{\sqrt {x - 2} }}.\)
C.\(\frac{{3\left( {x - 2} \right)}}{{\sqrt {x - 2} }}.\)
D.\(\frac{{3\left( {x - 2} \right)}}{{2\sqrt {x - 2} }}.\)
Lời giải
Đầu tiên áp dụng \({\left( {\sqrt u } \right)^/}\) với \(u = {\left( {x - 2} \right)^3}\)
\(y' = \frac{1}{{2\sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^3}} }}.{\left( {{{\left( {x - 2} \right)}^3}} \right)^/} = \frac{1}{{2\sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^3}} }}.3.{\left( {x - 2} \right)^2} = \frac{{3\left( {x - 2} \right)}}{{2\sqrt {x - 2} }}.\)

Câu 17. Cho $f\left( x \right) = \frac{1}{x} + \frac{1}{{\sqrt x }} + {x^2}$. Tính
A.\(\frac{1}{2}\)
B.1
C.2
D.3
Lời giải
Ta có $f'\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{{\sqrt x }} + {x^2}} \right)^/} = - \frac{1}{{{x^2}}} - \frac{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^/}}}{x} + 2x = - \frac{1}{{{x^2}}} - \frac{1}{{2x\sqrt x }} + 2x$
Vậy $f'\left( 1 \right) = - 1 - \frac{1}{2} + 2 = \frac{1}{2}$

Câu 18. Cho $f\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}$. Tính$f'\left( 0 \right)$
A.\(\frac{1}{4}\)
B.1
C.2
D.3
Lời giải
$f'\left( x \right) = {\left( {\frac{x}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}} \right)^/} = \frac{{x'\sqrt {4 - {x^2}} - x{{\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right)}^/}}}{{{{\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right)}^2}}} = \frac{{\sqrt {4 - {x^2}} + \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}}}{{\left( {4 - {x^2}} \right)}} = \frac{4}{{\left( {4 - {x^2}} \right)\sqrt {4 - {x^2}} }}$
Vậy $f'\left( 0 \right) = \frac{1}{4}$.
 
Sửa lần cuối: