Câu 1. Tính đạo hàm của hàm số lượng giác cos sau: \(y = {\cos ^2}x\).
A. – sin(2x)
B. sin(2x)
C. cos(2x)
D. 2sin(2x)
\(y' = {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^/} = 2.\cos {\left( {\cos x} \right)^/} = 2\cos x.\left( { - \sin x} \right) = - \sin 2x.\)
Câu 2. Tính đạo hàm của hàm số lượng giác sin sau: \(y = \sin \sqrt x \).
A.\(\frac{1}{{\sqrt x }}.\cos \sqrt x .\)
B.\(\frac{1}{{\sqrt x }}.\cos \sqrt x .\)
C.\(\frac{1}{{\sqrt x }}.\sin \sqrt x .\)
D.\(\frac{1}{{2\sqrt x }}.\cos \sqrt x .\)
\(y' = {\left( {\sin \sqrt x } \right)^/} = \cos \sqrt x .{\left( {\sqrt x } \right)^/} = \frac{1}{{2\sqrt x }}.\cos \sqrt x .\)
Câu 3. Tính đạo hàm của hàm số lượng giác cos sau\(y = \cos \sqrt {2x + 1} \).
A.\( - \frac{1}{{\sqrt {2x + 1} }}.\sin \sqrt {2x + 1} .\)
B. $\frac{1}{{\sqrt {2x + 1} }}.\sin \sqrt {2x + 1} .$
C.\(\sin \sqrt {2x + 1} .\)
D.\( - \frac{1}{{\sqrt {2x + 1} }}.\cos \sqrt {2x + 1} .\)
Câu \(y' = {\left( {\cos \sqrt {2x + 1} } \right)^/} = - \sin \sqrt {2x + 1} {\left( {\sqrt {2x + 1} } \right)^/} = - \sin \sqrt {2x + 1} .\frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^/}}}{{2\sqrt {2x + 1} }}\)
\( = - \sin \sqrt {2x + 1} .\frac{2}{{2\sqrt {2x + 1} }} = - \frac{1}{{\sqrt {2x + 1} }}.\sin \sqrt {2x + 1} .\)
Câu 4. Sử dụng bảng công thức đạo hàm tính hàm lượng giác \(y = \sin 3x.\cos 5x\) \( = \frac{1}{2}\left( {\sin \left( { - 2x} \right) + \sin 8x} \right) = \frac{1}{2}\left( { - \sin 2x + \sin 8x} \right)\)
A. 4cos(8x) – cos(2x)
B. cos(8x) – cos(2x)
C. 4cos(8x) + cos(2x)
D. cos(8x) – 2cos(2x)
\( = 4\cos 8x - \cos 2x\)
Câu 5. Tím đạo hàm hàm lượng giác bậc nhất trên bậc nhất: \(y = \frac{{\sin x + \cos x}}{{\sin x - \cos x}}\).
A.\(\frac{{\sin 2x}}{{{{\left( {\sin x - \cos x} \right)}^2}}}.\)
B.\(\frac{{3\sin 2x}}{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2}}}.\)
C. $\frac{{\sin 2x}}{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2}}}.$
D.\(\frac{{2\sin 2x}}{{{{\left( {\sin x - \cos x} \right)}^2}}}.\)
\(y' = \frac{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^/}\left( {\sin x - \cos x} \right) - {{\left( {\sin x - \cos x} \right)}^/}.\left( {\sin x + \cos x} \right)}}{{{{\left( {\sin x - \cos x} \right)}^2}}}\)
\(y' = \frac{{\left( {{\mathop{\rm cosx}\nolimits} - \sin x} \right)\left( {\sin x - \cos x} \right) - \left( {\cos x + \sin x} \right)\left( {\sin x + \cos x} \right)}}{{{{\left( {\sin x - \cos x} \right)}^2}}}\)
\(y' = \frac{{ - {{\left( {\sin x - \cos x} \right)}^2} - {{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2}}}{{{{\left( {\sin x - \cos x} \right)}^2}}} = \frac{{2\sin 2x}}{{{{\left( {\sin x - \cos x} \right)}^2}}}.\)
Câu 6. Tính đạo hàm lượng giác chứa căn sau\(y = \sqrt {\cos 2x} \).
A.\(\frac{{\sin 2x}}{{\sqrt {\cos 2x} }}.\)
B.\(\frac{{ - \sin x}}{{\sqrt {\cos 2x} }}.\)
C.\(\frac{{\sin 2x}}{{2\sqrt {\cos 2x} }}.\)
D.\(\frac{{ - \sin 2x}}{{\sqrt {\cos 2x} }}.\)
\(y' = \frac{{{{\left( {\cos 2x} \right)}^/}}}{{2\sqrt {\cos 2x} }} = \frac{{ - \sin 2x.{{\left( {2x} \right)}^/}}}{{2\sqrt {\cos 2x} }} = \frac{{ - \sin 2x}}{{\sqrt {\cos 2x} }}.\)
Câu 7. Tính đạo hàm lượng giác bậc cao \(y = \frac{{\sin x}}{x} + \frac{x}{{\sin x}}\)
A.\(\frac{{\cos x - \sin x}}{{{x^2}}} + \frac{{\sin x - x\cos x}}{{{{\sin }^2}x}}.\)
B.\(\frac{{x\cos x - \sin x}}{{{x^2}}} - \frac{{\sin x - x\cos x}}{{{{\sin }^2}x}}.\)
C.\(\frac{{x\cos x - \sin x}}{{{x^2}}} + \frac{{\sin x - \cos x}}{{{{\sin }^2}x}}.\)
D.\(\frac{{x\cos x - \sin x}}{{{x^2}}} + \frac{{\sin x - x\cos x}}{{{{\sin }^2}x}}.\)
Câu 8. Tính đạo hàm lượng giác sau y = sin(cosx) + cos(sinx)
A. sin(x + cosx)
B. - sin(x + cosx)
C. - sin(cosx)
D. – sin(x)
\(y' = {\left( {\sin \left( {\cos x} \right)} \right)^/} + {\left( {\cos \left( {\sin x} \right)} \right)^/} = \cos \left( {\cos x} \right).{\left( {\cos x} \right)^/} - \sin \left( {\sin x} \right).{\left( {\sin x} \right)^/}\)
\( = - \sin x.\cos \left( {\cos x} \right) - \cos x.\sin \left( {\sin x} \right) = - \left( {\sin x.\cos \left( {\cos x} \right) + \cos x.\sin \left( {\sin x} \right)} \right)\)
\( = - \sin \left( {x + \cos x} \right)\)
Câu 9. Tính đạo hàm \(y = \frac{{x + \sin x}}{{x - \sin x}}\).
A.\(\frac{{ - 2\sin x + 2x\cos x}}{{{{\left( {x - \sin x} \right)}^2}}}.\)
B.\(\frac{{ - 2\sin x + x\cos x}}{{{{\left( {x - \sin x} \right)}^2}}}.\)
C.\(\frac{{ - \sin x + x\cos x}}{{{{\left( {x - \sin x} \right)}^2}}}.\)
D.\(\frac{{2\sin x + 2x\cos x}}{{{{\left( {x - \sin x} \right)}^2}}}.\)
\(y' = \frac{{{{\left( {x + \sin x} \right)}^/}.\left( {x - \sin x} \right) - {{\left( {x - \sin x} \right)}^/}.\left( {x + \sin x} \right)}}{{{{\left( {x - \sin x} \right)}^2}}}\)
\( = \frac{{\left( {1 + \cos x} \right)\left( {x - \sin x} \right) - \left( {1 - \cos x} \right)\left( {x + \sin x} \right)}}{{{{\left( {x - \sin x} \right)}^2}}}\)\( = \frac{{ - 2\sin x + 2x\cos x}}{{{{\left( {x - \sin x} \right)}^2}}}.\)
Câu 10. Tính đạo hàm lượng giác bậc cao \(y = {\left( {\frac{{1 + \cos 2x}}{{1 - \cos 2x}}} \right)^2}\).
A.\(2\left( {\frac{{1 + \cos 2x}}{{1 - \cos 2x}}} \right).\left( {\frac{{ - 4\sin 2x}}{{{{\left( {1 - \cos 2x} \right)}^2}}}} \right)\)
B.\(\left( {\frac{{1 + \cos 2x}}{{1 - \cos 2x}}} \right).\left( {\frac{{ - 4\sin 2x}}{{{{\left( {1 - \cos 2x} \right)}^2}}}} \right)\)
C.\(2\left( {\frac{{1 + \cos 2x}}{{1 - \cos 2x}}} \right).\left( {\frac{{ - \sin 2x}}{{{{\left( {1 - \cos 2x} \right)}^2}}}} \right)\)
D.\(2\left( {\frac{{1 + \cos 2x}}{{1 - \cos 2x}}} \right).\left( {\frac{{ - 4\sin 2x}}{{{{\left( {1 - \cos 2x} \right)}^2}}}} \right)\)
\(y' = 2\left( {\frac{{1 + \cos 2x}}{{1 - \cos 2x}}} \right).{\left( {\frac{{1 + \cos 2x}}{{1 - \cos 2x}}} \right)^/}\)
\( = 2\left( {\frac{{1 + \cos 2x}}{{1 - \cos 2x}}} \right).\left( {\frac{{{{\left( {1 + \cos 2x} \right)}^/}\left( {1 - \cos 2x} \right) - {{\left( {1 - \cos 2x} \right)}^/}\left( {1 + \cos 2x} \right)}}{{{{\left( {1 - \cos 2x} \right)}^2}}}} \right)\)
\( = 2\left( {\frac{{1 + \cos 2x}}{{1 - \cos 2x}}} \right).\left( {\frac{{ - 2\sin 2x\left( {1 - \cos 2x} \right) - 2\sin 2x\left( {1 + \cos 2x} \right)}}{{{{\left( {1 - \cos 2x} \right)}^2}}}} \right)\)
\( = 2\left( {\frac{{1 + \cos 2x}}{{1 - \cos 2x}}} \right).\left( {\frac{{ - 4\sin 2x}}{{{{\left( {1 - \cos 2x} \right)}^2}}}} \right)\) .
Câu 11. Đạo hàm lượng giác bậc 4 như sau: \(y = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x\)
A. sin(4x)
B. 2 – sin(4x)
C. cos(4x) – sin(4x)
D. – sin(4x)
\(y' = {\left( {\frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x} \right)^/} = \frac{1}{4}{\left( {\cos 4x} \right)^/} = \frac{1}{4}\left( { - \sin 4x} \right).{\left( {4x} \right)^/} = - \sin 4x.\)
Câu 12. Đạo hàm lượng giác bậc nhất trên bậc nhất \(y = \frac{{\sin x - x\cos x}}{{\cos x + x\sin x}}\)
A.\(\frac{{{x^2}}}{{{{\left( {\cos x + \sin x} \right)}^2}}}.\)
B.\(\frac{{{x^2}}}{{{{\left( {\cos x - \sin x} \right)}^2}}}.\)
C.\(\frac{{2{x^2}}}{{{{\left( {\cos x + x\sin x} \right)}^2}}}.\)
D.\(\frac{{{x^2}}}{{{{\left( {\cos x + x\sin x} \right)}^2}}}.\)
Tính \({\left( {\sin x - x\cos x} \right)^/} = \cos x - {\left( {x\cos x} \right)^/} = \cos x - \left( {x'.\cos x + x.{{\left( {\cos x} \right)}^/}} \right)\)
\( = \cos x - \left( {\cos x - x\sin x} \right) = x\sin x\)
Tính\({\left( {\cos x + x\sin x} \right)^/} = - \sin x + \left( {x'.\sin x + x.{{\left( {\sin x} \right)}^/}} \right)\)
\( = - \sin x + \left( {\sin x + x\cos x} \right) = x\cos x\)
\( \Rightarrow y' = \frac{{x\sin x\left( {\cos x + x\sin x} \right) - x\cos x\left( {\sin x - x\cos x} \right)}}{{{{\left( {\cos x + x\sin x} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2}}}{{{{\left( {\cos x + x\sin x} \right)}^2}}}.\)
A. – sin(2x)
B. sin(2x)
C. cos(2x)
D. 2sin(2x)
Lời giải:
Áp dụng công thức \({\left( {{u^\alpha }} \right)^/},\) với \(u = \cos x\)\(y' = {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^/} = 2.\cos {\left( {\cos x} \right)^/} = 2\cos x.\left( { - \sin x} \right) = - \sin 2x.\)
Câu 2. Tính đạo hàm của hàm số lượng giác sin sau: \(y = \sin \sqrt x \).
A.\(\frac{1}{{\sqrt x }}.\cos \sqrt x .\)
B.\(\frac{1}{{\sqrt x }}.\cos \sqrt x .\)
C.\(\frac{1}{{\sqrt x }}.\sin \sqrt x .\)
D.\(\frac{1}{{2\sqrt x }}.\cos \sqrt x .\)
Lời giải:
Áp dụng \({\left( {\sin u} \right)^/},\) với \(u = \sqrt x \)\(y' = {\left( {\sin \sqrt x } \right)^/} = \cos \sqrt x .{\left( {\sqrt x } \right)^/} = \frac{1}{{2\sqrt x }}.\cos \sqrt x .\)
Câu 3. Tính đạo hàm của hàm số lượng giác cos sau\(y = \cos \sqrt {2x + 1} \).
A.\( - \frac{1}{{\sqrt {2x + 1} }}.\sin \sqrt {2x + 1} .\)
B. $\frac{1}{{\sqrt {2x + 1} }}.\sin \sqrt {2x + 1} .$
C.\(\sin \sqrt {2x + 1} .\)
D.\( - \frac{1}{{\sqrt {2x + 1} }}.\cos \sqrt {2x + 1} .\)
Lời giải
Áp dụng \({\left( {\cos u} \right)^/},\) với \(u = \sqrt {2x + 1} \)Câu \(y' = {\left( {\cos \sqrt {2x + 1} } \right)^/} = - \sin \sqrt {2x + 1} {\left( {\sqrt {2x + 1} } \right)^/} = - \sin \sqrt {2x + 1} .\frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^/}}}{{2\sqrt {2x + 1} }}\)
\( = - \sin \sqrt {2x + 1} .\frac{2}{{2\sqrt {2x + 1} }} = - \frac{1}{{\sqrt {2x + 1} }}.\sin \sqrt {2x + 1} .\)
Câu 4. Sử dụng bảng công thức đạo hàm tính hàm lượng giác \(y = \sin 3x.\cos 5x\) \( = \frac{1}{2}\left( {\sin \left( { - 2x} \right) + \sin 8x} \right) = \frac{1}{2}\left( { - \sin 2x + \sin 8x} \right)\)
A. 4cos(8x) – cos(2x)
B. cos(8x) – cos(2x)
C. 4cos(8x) + cos(2x)
D. cos(8x) – 2cos(2x)
Lời giải
\(y' = \frac{1}{2}{\left( {\sin 8x - \sin 2x} \right)^/} = \frac{1}{2}{\left( {\sin 8x} \right)^/} - \frac{1}{2}{\left( {\sin 2x} \right)^/} = \frac{1}{2}\cos 8x{\left( {8x} \right)^/} - \frac{1}{2}\cos 2x.{\left( {2x} \right)^/}\) \( = 4\cos 8x - \cos 2x\)
Câu 5. Tím đạo hàm hàm lượng giác bậc nhất trên bậc nhất: \(y = \frac{{\sin x + \cos x}}{{\sin x - \cos x}}\).
A.\(\frac{{\sin 2x}}{{{{\left( {\sin x - \cos x} \right)}^2}}}.\)
B.\(\frac{{3\sin 2x}}{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2}}}.\)
C. $\frac{{\sin 2x}}{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2}}}.$
D.\(\frac{{2\sin 2x}}{{{{\left( {\sin x - \cos x} \right)}^2}}}.\)
Lời giải
Áp dụng \({\left( {\frac{u}{v}} \right)^/}\)\(y' = \frac{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^/}\left( {\sin x - \cos x} \right) - {{\left( {\sin x - \cos x} \right)}^/}.\left( {\sin x + \cos x} \right)}}{{{{\left( {\sin x - \cos x} \right)}^2}}}\)
\(y' = \frac{{\left( {{\mathop{\rm cosx}\nolimits} - \sin x} \right)\left( {\sin x - \cos x} \right) - \left( {\cos x + \sin x} \right)\left( {\sin x + \cos x} \right)}}{{{{\left( {\sin x - \cos x} \right)}^2}}}\)
\(y' = \frac{{ - {{\left( {\sin x - \cos x} \right)}^2} - {{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2}}}{{{{\left( {\sin x - \cos x} \right)}^2}}} = \frac{{2\sin 2x}}{{{{\left( {\sin x - \cos x} \right)}^2}}}.\)
Câu 6. Tính đạo hàm lượng giác chứa căn sau\(y = \sqrt {\cos 2x} \).
A.\(\frac{{\sin 2x}}{{\sqrt {\cos 2x} }}.\)
B.\(\frac{{ - \sin x}}{{\sqrt {\cos 2x} }}.\)
C.\(\frac{{\sin 2x}}{{2\sqrt {\cos 2x} }}.\)
D.\(\frac{{ - \sin 2x}}{{\sqrt {\cos 2x} }}.\)
Lời giải
Áp dụng \({\left( {\sqrt u } \right)^/},\) với \(u = \cos 2x\)\(y' = \frac{{{{\left( {\cos 2x} \right)}^/}}}{{2\sqrt {\cos 2x} }} = \frac{{ - \sin 2x.{{\left( {2x} \right)}^/}}}{{2\sqrt {\cos 2x} }} = \frac{{ - \sin 2x}}{{\sqrt {\cos 2x} }}.\)
Câu 7. Tính đạo hàm lượng giác bậc cao \(y = \frac{{\sin x}}{x} + \frac{x}{{\sin x}}\)
A.\(\frac{{\cos x - \sin x}}{{{x^2}}} + \frac{{\sin x - x\cos x}}{{{{\sin }^2}x}}.\)
B.\(\frac{{x\cos x - \sin x}}{{{x^2}}} - \frac{{\sin x - x\cos x}}{{{{\sin }^2}x}}.\)
C.\(\frac{{x\cos x - \sin x}}{{{x^2}}} + \frac{{\sin x - \cos x}}{{{{\sin }^2}x}}.\)
D.\(\frac{{x\cos x - \sin x}}{{{x^2}}} + \frac{{\sin x - x\cos x}}{{{{\sin }^2}x}}.\)
Lời giải
\( \Rightarrow y' = {\left( {\frac{{\sin x}}{x}} \right)^/} + {\left( {\frac{x}{{\sin x}}} \right)^/}\)\( = \frac{{{{\left( {\sin x} \right)}^/}.x - {x^/}.\sin x}}{{{x^2}}} + \frac{{{x^/}.\sin x - {{\left( {\sin x} \right)}^/}.x}}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{{x\cos x - \sin x}}{{{x^2}}} + \frac{{\sin x - x\cos x}}{{{{\sin }^2}x}}.\)Câu 8. Tính đạo hàm lượng giác sau y = sin(cosx) + cos(sinx)
A. sin(x + cosx)
B. - sin(x + cosx)
C. - sin(cosx)
D. – sin(x)
Lời giải
Bước đầu tiên sử dụng đạo hàm tổng, sau đó sử dụng \({\left( {\sin u} \right)^/},{\left( {\cos u} \right)^/}\).\(y' = {\left( {\sin \left( {\cos x} \right)} \right)^/} + {\left( {\cos \left( {\sin x} \right)} \right)^/} = \cos \left( {\cos x} \right).{\left( {\cos x} \right)^/} - \sin \left( {\sin x} \right).{\left( {\sin x} \right)^/}\)
\( = - \sin x.\cos \left( {\cos x} \right) - \cos x.\sin \left( {\sin x} \right) = - \left( {\sin x.\cos \left( {\cos x} \right) + \cos x.\sin \left( {\sin x} \right)} \right)\)
\( = - \sin \left( {x + \cos x} \right)\)
Câu 9. Tính đạo hàm \(y = \frac{{x + \sin x}}{{x - \sin x}}\).
A.\(\frac{{ - 2\sin x + 2x\cos x}}{{{{\left( {x - \sin x} \right)}^2}}}.\)
B.\(\frac{{ - 2\sin x + x\cos x}}{{{{\left( {x - \sin x} \right)}^2}}}.\)
C.\(\frac{{ - \sin x + x\cos x}}{{{{\left( {x - \sin x} \right)}^2}}}.\)
D.\(\frac{{2\sin x + 2x\cos x}}{{{{\left( {x - \sin x} \right)}^2}}}.\)
Lời giải
Sử dụng \({\left( {\frac{u}{v}} \right)^/}\)\(y' = \frac{{{{\left( {x + \sin x} \right)}^/}.\left( {x - \sin x} \right) - {{\left( {x - \sin x} \right)}^/}.\left( {x + \sin x} \right)}}{{{{\left( {x - \sin x} \right)}^2}}}\)
\( = \frac{{\left( {1 + \cos x} \right)\left( {x - \sin x} \right) - \left( {1 - \cos x} \right)\left( {x + \sin x} \right)}}{{{{\left( {x - \sin x} \right)}^2}}}\)\( = \frac{{ - 2\sin x + 2x\cos x}}{{{{\left( {x - \sin x} \right)}^2}}}.\)
Câu 10. Tính đạo hàm lượng giác bậc cao \(y = {\left( {\frac{{1 + \cos 2x}}{{1 - \cos 2x}}} \right)^2}\).
A.\(2\left( {\frac{{1 + \cos 2x}}{{1 - \cos 2x}}} \right).\left( {\frac{{ - 4\sin 2x}}{{{{\left( {1 - \cos 2x} \right)}^2}}}} \right)\)
B.\(\left( {\frac{{1 + \cos 2x}}{{1 - \cos 2x}}} \right).\left( {\frac{{ - 4\sin 2x}}{{{{\left( {1 - \cos 2x} \right)}^2}}}} \right)\)
C.\(2\left( {\frac{{1 + \cos 2x}}{{1 - \cos 2x}}} \right).\left( {\frac{{ - \sin 2x}}{{{{\left( {1 - \cos 2x} \right)}^2}}}} \right)\)
D.\(2\left( {\frac{{1 + \cos 2x}}{{1 - \cos 2x}}} \right).\left( {\frac{{ - 4\sin 2x}}{{{{\left( {1 - \cos 2x} \right)}^2}}}} \right)\)
Lời giải
Sử dụng \({\left( {{u^\alpha }} \right)^/}\) với \(u = \frac{{1 + \cos 2x}}{{1 - \cos 2x}}\)\(y' = 2\left( {\frac{{1 + \cos 2x}}{{1 - \cos 2x}}} \right).{\left( {\frac{{1 + \cos 2x}}{{1 - \cos 2x}}} \right)^/}\)
\( = 2\left( {\frac{{1 + \cos 2x}}{{1 - \cos 2x}}} \right).\left( {\frac{{{{\left( {1 + \cos 2x} \right)}^/}\left( {1 - \cos 2x} \right) - {{\left( {1 - \cos 2x} \right)}^/}\left( {1 + \cos 2x} \right)}}{{{{\left( {1 - \cos 2x} \right)}^2}}}} \right)\)
\( = 2\left( {\frac{{1 + \cos 2x}}{{1 - \cos 2x}}} \right).\left( {\frac{{ - 2\sin 2x\left( {1 - \cos 2x} \right) - 2\sin 2x\left( {1 + \cos 2x} \right)}}{{{{\left( {1 - \cos 2x} \right)}^2}}}} \right)\)
\( = 2\left( {\frac{{1 + \cos 2x}}{{1 - \cos 2x}}} \right).\left( {\frac{{ - 4\sin 2x}}{{{{\left( {1 - \cos 2x} \right)}^2}}}} \right)\) .
Câu 11. Đạo hàm lượng giác bậc 4 như sau: \(y = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x\)
A. sin(4x)
B. 2 – sin(4x)
C. cos(4x) – sin(4x)
D. – sin(4x)
Lời giải
\( = 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x.\)\(y' = {\left( {\frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x} \right)^/} = \frac{1}{4}{\left( {\cos 4x} \right)^/} = \frac{1}{4}\left( { - \sin 4x} \right).{\left( {4x} \right)^/} = - \sin 4x.\)
Câu 12. Đạo hàm lượng giác bậc nhất trên bậc nhất \(y = \frac{{\sin x - x\cos x}}{{\cos x + x\sin x}}\)
A.\(\frac{{{x^2}}}{{{{\left( {\cos x + \sin x} \right)}^2}}}.\)
B.\(\frac{{{x^2}}}{{{{\left( {\cos x - \sin x} \right)}^2}}}.\)
C.\(\frac{{2{x^2}}}{{{{\left( {\cos x + x\sin x} \right)}^2}}}.\)
D.\(\frac{{{x^2}}}{{{{\left( {\cos x + x\sin x} \right)}^2}}}.\)
Lời giải
\(y' = \frac{{{{\left( {\sin x - x\cos x} \right)}^/}\left( {\cos x + x\sin x} \right) - {{\left( {\cos x - x\sin x} \right)}^/}\left( {\sin x - x\cos x} \right)}}{{{{\left( {\cos x + x\sin x} \right)}^2}}}\)Tính \({\left( {\sin x - x\cos x} \right)^/} = \cos x - {\left( {x\cos x} \right)^/} = \cos x - \left( {x'.\cos x + x.{{\left( {\cos x} \right)}^/}} \right)\)
\( = \cos x - \left( {\cos x - x\sin x} \right) = x\sin x\)
Tính\({\left( {\cos x + x\sin x} \right)^/} = - \sin x + \left( {x'.\sin x + x.{{\left( {\sin x} \right)}^/}} \right)\)
\( = - \sin x + \left( {\sin x + x\cos x} \right) = x\cos x\)
\( \Rightarrow y' = \frac{{x\sin x\left( {\cos x + x\sin x} \right) - x\cos x\left( {\sin x - x\cos x} \right)}}{{{{\left( {\cos x + x\sin x} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2}}}{{{{\left( {\cos x + x\sin x} \right)}^2}}}.\)