Toán 11 Giải 10 câu tính đạo hàm của hàm phân thức

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Câu 1). đạo hàm của hàm phân thức bạc nhất trên bậc nhất\(y = \frac{{2x - 1}}{{4x - 3}}\)
A.\(\frac{2}{{{{\left( {4x - 3} \right)}^2}}}.\)
B.\(\frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}.\)
C.\(\frac{2}{{\left( {4x - 3} \right)}}.\)
D.\(\frac{{ - 2}}{{{{\left( {4x - 3} \right)}^2}}}.\)
Lời giải
\( \Rightarrow y' = {\left( {\frac{{2x - 1}}{{4x - 3}}} \right)^/}\)\( = \frac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^/}\left( {4x - 3} \right) - {{\left( {4x - 3} \right)}^/}\left( {2x - 1} \right)}}{{{{\left( {4x - 3} \right)}^2}}} = \frac{{2\left( {4x - 3} \right) - 4\left( {2x - 1} \right)}}{{{{\left( {4x - 3} \right)}^2}}} = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {4x - 3} \right)}^2}}}.\)

Câu 2). đạo hàm của hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất \(y = \frac{{2x + 10}}{{4x - 3}}\)
A.\(\frac{{46}}{{{{\left( {4x - 3} \right)}^2}}}\)
B.\(\frac{{ - 4}}{{{{\left( {4x - 3} \right)}^2}}}\)
C.\(\frac{{ - 46}}{{\left( {4x - 3} \right)}}\)
D.\(\frac{{ - 46}}{{{{\left( {4x - 3} \right)}^2}}}\)
Lời giải
\( \Rightarrow y' = {\left( {\frac{{2x + 10}}{{4x - 3}}} \right)^/}\)\( = \frac{{{{\left( {2x + 10} \right)}^/}.\left( {4x - 3} \right) - {{\left( {4x - 3} \right)}^/}.\left( {2x + 10} \right)}}{{{{\left( {4x - 3} \right)}^2}}} = \frac{{2\left( {4x - 3} \right) - 4\left( {2x + 10} \right)}}{{{{\left( {4x - 3} \right)}^2}}} = \frac{{ - 46}}{{{{\left( {4x - 3} \right)}^2}}}\)

Câu 3). đạo hàm của hàm phân thức sau\(y = \frac{3}{{2x + 1}}\)
A.\(\frac{6}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}.\)
B.\(\frac{{ - 16}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}.\)
C.\(\frac{{ - 26}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}.\)
D.\(\frac{{ - 36}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}.\)
Lời giải
\( \Rightarrow y' = 3.{\left( {\frac{1}{{2x + 1}}} \right)^/} = - 3.\frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^/}}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 6}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}.\)
Câu 4). đạo hàm của hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất \(y = \frac{{2x + 1}}{{1 - 3x}}\)

A.\(\frac{{15}}{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^2}}}.\)
B.\(\frac{5}{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^2}}}.\)
C.\(\frac{{25}}{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^2}}}.\)
D.\(\frac{{ - 5}}{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^2}}}.\)
Lời giải
\( \Rightarrow y' = {\left( {\frac{{2x + 1}}{{1 - 3x}}} \right)^/}\)\(y' = \frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^/}\left( {1 - 3x} \right) - {{\left( {1 - 3x} \right)}^/}\left( {2x + 1} \right)}}{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^2}}} = \frac{{2\left( {1 - 3x} \right) + 3\left( {2x + 1} \right)}}{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^2}}} = \frac{5}{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^2}}}.\)

Câu 5). đạo hàm của hàm phân thức bậc hai trên bậc hai\(y = \frac{{1 + x - {x^2}}}{{1 - x + {x^2}}}\)
A.\(\frac{{\left( {1 - 2x} \right)\left( {1 - x + {x^2}} \right) - \left( { - 1 + 2x} \right)\left( {1 + x - {x^2}} \right)}}{{{{\left( {1 - x + {x^2}} \right)}^2}}}\)
B.\(\frac{{\left( {1 - 2x} \right)\left( {1 - x + {x^2}} \right) - \left( {1 + 2x} \right)\left( {1 + x - {x^2}} \right)}}{{{{\left( {1 - x + {x^2}} \right)}^2}}}\)
C.\(\frac{{\left( {1 - 2x} \right)\left( {1 - x + {x^2}} \right) - \left( {2x} \right)\left( {1 + x - {x^2}} \right)}}{{{{\left( {1 - x + {x^2}} \right)}^2}}}\)
D.\(\frac{{\left( {1 - 2x} \right)\left( {1 - x + {x^2}} \right) - \left( { - 1 + 2x} \right)\left( {1 + x - {x^2}} \right)}}{{{{\left( {1 - x + {x^2}} \right)}^2}}}\)
Lời giải
\( \Rightarrow y' = {\left( {\frac{{1 + x - {x^2}}}{{1 - x + {x^2}}}} \right)^/}\)\( = \frac{{{{\left( {1 + x - {x^2}} \right)}^/}\left( {1 - x + {x^2}} \right) - {{\left( {1 - x + {x^2}} \right)}^/}\left( {1 + x - {x^2}} \right)}}{{{{\left( {1 - x + {x^2}} \right)}^2}}}\)
\( = \frac{{\left( {1 - 2x} \right)\left( {1 - x + {x^2}} \right) - \left( { - 1 + 2x} \right)\left( {1 + x - {x^2}} \right)}}{{{{\left( {1 - x + {x^2}} \right)}^2}}}\)

Câu 6). đạo hàm của hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất\(y = \frac{{{x^2} - 3x + 3}}{{x - 1}}\)
A.\(\frac{{{x^2} - x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.\)
B.\(\frac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.\)
C.\(\frac{{{x^2} - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.\)
D.\(\frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.\)
Lời giải
\( \Rightarrow y' = \frac{{{{\left( {{x^2} - 3x + 3} \right)}^/}\left( {x - 1} \right) - {{\left( {x - 1} \right)}^/}\left( {{x^2} - 3x + 3} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)\( = \frac{{\left( {2x - 3} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} + 3x + 3} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.\)

Câu 7). Tính đạo hàm của hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất\(y = \frac{{2{x^2} - 4x + 1}}{{x - 3}}\)
A.\(\frac{{2{x^2} - 2x + 11}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}.\)
B.\(\frac{{2{x^2} - x + 11}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}.\)
C.\(\frac{{{x^2} - 12x + 11}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}.\)
D.\(\frac{{2{x^2} - 12x + 11}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}.\)
Lời giải
\( \Rightarrow y' = \frac{{{{\left( {2{x^2} - 4x + 1} \right)}^/}\left( {x - 3} \right) - {{\left( {x - 3} \right)}^/}\left( {2{x^2} - 4x + 1} \right)}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}\)\( = \frac{{\left( {4x - 4} \right)\left( {x - 3} \right) - \left( {2{x^2} - 4x + 1} \right)}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^2} - 12x + 11}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}.\)

Câu 8) đạo hàm của hàm phân thức đặc biệt\(y = {\left( {\frac{{2x + 1}}{{x - 1}}} \right)^3}\)
A.\(\frac{{3{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}}.\)
B.\( - \frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}}.\)
C.\(\frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}}.\)
D.\( - \frac{{3{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}}.\)
Lời giải
Bước đầu tiên sử dụng \({\left( {{u^\alpha }} \right)^/}\), với \(u = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\)
\(y' = 3.{\left( {\frac{{2x + 1}}{{x - 1}}} \right)^2}.{\left( {\frac{{2x + 1}}{{x - 1}}} \right)^/} = 3.{\left( {\frac{{2x + 1}}{{x - 1}}} \right)^2}.\frac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = - \frac{{3{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}}.\)

Câu 9). Tính đạo hàm của hàm phân thức \(y = \frac{1}{{{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)}^5}}}\)
A.\( - \frac{{5\left( {2x - 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)}^6}}}\)
B.\(\frac{{5\left( {2x - 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)}^6}}}\)
C.\( - \frac{{\left( {2x - 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)}^6}}}\)
D.\(\frac{{\left( {2x - 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)}^6}}}\)
Lời giải
Đầu tiên sử dụng công thức \({\left( {\frac{1}{u}} \right)^/}\) với \(u = {\left( {{x^2} - x + 1} \right)^5}\)
\(y' = - \frac{{{{\left( {{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)}^5}} \right)}^/}}}{{{{\left( {{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)}^5}} \right)}^2}}} = \frac{{ - 5{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)}^4}.{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)}^/}}}{{{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)}^{10}}}} = - \frac{{5\left( {2x - 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)}^6}}}\)

Câu 10). Tính đạo hàm của hàm phân thức sau\(y = \frac{{\left( {2 - {x^2}} \right)\left( {3 - {x^3}} \right)}}{{1 - x + {x^2}}}\)
A.\(y' = \frac{{\left( {5{x^4} - 6{x^2} - x} \right)\left( {1 - x + {x^2}} \right) - \left( { - 1 + 2x} \right)\left( {2 - {x^2}} \right)\left( {3 - {x^3}} \right)}}{{{{\left( {1 - x + {x^2}} \right)}^2}}}\)
B.\(y' = \frac{{\left( {5{x^4} - 6{x^2} - x} \right)\left( {1 - x + {x^2}} \right) - \left( {1 + 2x} \right)\left( {2 - {x^2}} \right)\left( {3 - {x^3}} \right)}}{{{{\left( {1 - x + {x^2}} \right)}^2}}}\)
C.\(y' = \frac{{\left( {5{x^4} - {x^2} - x} \right)\left( {1 - x + {x^2}} \right) - \left( {1 + x} \right)\left( {2 - {x^2}} \right)\left( {3 - {x^3}} \right)}}{{{{\left( {1 - x + {x^2}} \right)}^2}}}\)
D.\(y' = \frac{{\left( {5{x^4} - 6{x^2} - 6x} \right)\left( {1 - x + {x^2}} \right) - \left( { - 1 + 2x} \right)\left( {2 - {x^2}} \right)\left( {3 - {x^3}} \right)}}{{{{\left( {1 - x + {x^2}} \right)}^2}}}\)
Lời giải
Đầu tiên sử dụng \({\left( {\frac{u}{v}} \right)^/}\)
\(y' = \frac{{{{\left[ {\left( {2 - {x^2}} \right)\left( {3 - {x^3}} \right)} \right]}^/}.\left( {1 - x + {x^2}} \right) - {{\left( {1 - x + {x^2}} \right)}^/}\left( {2 - {x^2}} \right)\left( {3 - {x^3}} \right)}}{{{{\left( {1 - x + {x^2}} \right)}^2}}}\)
Tính \({\left[ {\left( {2 - {x^2}} \right)\left( {3 - {x^3}} \right)} \right]^/} = {\left( {2 - {x^2}} \right)^/}\left( {3 - {x^3}} \right) + {\left( {3 - {x^3}} \right)^/}\left( {2 - {x^2}} \right)\)
\( = - 2x\left( {3 - {x^3}} \right) - 3{x^2}\left( {2 - {x^2}} \right) = 5{x^4} - 6{x^2} - 6x.\)
Vậy \(y' = \frac{{\left( {5{x^4} - 6{x^2} - 6x} \right)\left( {1 - x + {x^2}} \right) - \left( { - 1 + 2x} \right)\left( {2 - {x^2}} \right)\left( {3 - {x^3}} \right)}}{{{{\left( {1 - x + {x^2}} \right)}^2}}}\)