Giả sử tích phân \(I = \int\limits_1^5 {\frac{1}{{1 + \sqrt {3x + 1} }}{\rm{d}}x} = a + b.ln3 + c.ln5\). Tính tổng a+b+c.

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Nguyên hàm | tích phân | nguyên hàm và tích phân |
Tính Nguyên Hàm Và Tích Phân Bằng Phương Pháp đổi Biến Số

Giả sử tích phân \(I = \int\limits_1^5 {\frac{1}{{1 + \sqrt {3x + 1} }}{\rm{d}}x} = a + b.ln3 + c.ln5\). Tính tổng a+b+c.
A. \(a + b + c = \frac{4}{3}.\)
B. . \(a + b + c = \frac{5}{3}.\)
C. \(a + b + c = \frac{7}{3}.\)
D. \(a + b + c = \frac{8}{3}.\)
 

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Học lớp hướng dẫn giải
Đặt \(1 + \sqrt {3x + 1} = t \Rightarrow 3x + 1 = {\left( {t - 1} \right)^2} \Rightarrow {\rm{d}}x = \frac{2}{3}\left( {t - 1} \right){\rm{d}}t\).
Đổi cận \(x = 1 \Rightarrow t = 3;x = 5 \Rightarrow t = 5\).
Khi đó \(I = \int\limits_3^5 {\frac{2}{3}\frac{{t - 1}}{t}{\rm{d}}t} = \frac{2}{3}\int\limits_3^5 {\left( {1 - \frac{1}{t}} \right){\rm{d}}t} = \left. {\frac{2}{3}\left( {t - \ln \left| t \right|} \right)} \right|_3^5 = \frac{4}{3} + \frac{2}{3}ln3 - \frac{2}{3}ln5\).
Do đó \(a = \frac{4}{3};b = \frac{2}{3};c = - \frac{2}{3}\).
Vậy \(a + b + c = \frac{4}{3}.\)