1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P) Căn cứ vào số điểm chung của đường thẳng và mặt phẳng ta có ba trường hợp sau:
a. Đường thẳng a và mặt phẳng (P) không có điểm chung, tức là: $a \cap \left( P \right) = \emptyset \,\, \Leftrightarrow \,\,a\parallel \left( P \right).$
b. Đường thẳng d và mặt phẳng (P) chỉ có một điểm chung, tức là: $a \cap \left( P \right) = A\,\, \Leftrightarrow \,\,a$ cắt (P) tại a.
c. Đường thẳng a và mặt phẳng (P) có hai điểm chung, tức là:
2. Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng
Định lí 1: Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và song song với một đường thẳng nào đó trong (P) thì a song song với (P)
Tức là, $a \not\subset \left( P \right)$ thì nếu: $a\parallel d \subset \left( P \right) \Rightarrow a\parallel \left( P \right).$
3. Tính chất
Định lí 2: Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) thì mọi mặt phẳng (Q) chứa a mà cắt (P) thì sẽ cắt theo một giao tuyến song song với a.
Tức là, nếu $\left\{ \begin{array}{l}a\parallel \left( P \right)\\a \subset \left( Q \right)\,\,\,\,\left[ {\left( Q \right) \cap \left( P \right) = d} \right]\end{array} \right. \Rightarrow \,\,a\parallel d.$
Hệ quả 1: Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường thẳng nào đó trong mặt phẳng.
Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến (nếu có) của chúng song song với đường thẳng đó.
Tức là: $\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \cap \left( Q \right) = d\\\left( P \right)\parallel a\\\left( Q \right)\parallel a\end{array} \right. \Rightarrow \,\,d\parallel a.$
Hệ quả 3: Nếu a và b là hai đường thẳng chéo nhau thì qua a có một và chỉ một mặt phẳng song song với b.
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P) trong không gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối của a và (P)?
A. 2.
B. 3.
C. 1.
D.4.
Có 3 vị trí tương đối của a và (P), đó là: a nằm trong (P), a song song với (P) và a cắt (P). Chọn B
Câu 2. Cho hai đường thẳng phân biệt a; b và mặt phẳng α. Giả sử $a\,\parallel \,b$, $b\,\parallel \,\left( \alpha \right)$. Khi đó:
A. $a\,\parallel \,\left( \alpha \right).$
B. $a \subset \left( \alpha \right).$
C. a cắt (P).
D.$a\,\parallel \,\left( \alpha \right)$ hoặc $a \subset \left( \alpha \right).$
Câu 3. Cho hai đường thẳng phân biệt a; b và mặt phẳng α. Giả sử $a\,\parallel \,\left( \alpha \right)$, $b \subset \left( \alpha \right)$. Khi đó:
A. $a\,\parallel \,b.$
B. a; b chéo nhau.
C. $a\,\parallel \,b$ hoặc $a,\;b$ chéo nhau.
D.a; b cắt nhau.
Vì $a\,\parallel \,\left( \alpha \right)$ nên tồn tại đường thẳng $c \subset \left( \alpha \right)$ thỏa mãn $a\,\parallel \,c.$ Suy ra $b,\;c$ đồng phẳng và xảy ra các trường hợp sau:
Nếu b song song hoặc trùng với c thì $a\,\parallel \,b$.
Nếu b cắt c thì b cắt $\left( \beta \right) \equiv \left( {a,c} \right)$ nên a; b không đồng phẳng. Do đó a; b chéo nhau.
Chọn C
Câu 4. Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng α. Giả sử $b \not\subset \left( \alpha \right)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Nếu $b\,\parallel \,\left( \alpha \right)$ thì $b\,\parallel \,a.$
B. Nếu b cắt α thì b cắt a.
C. Nếu $b\,\parallel \,a$ thì $b\,\parallel \,\left( \alpha \right).$
D.Nếu b cắt α và β chứa b thì giao tuyến của α và β là đường thẳng cắt cả a và b.
Câu 5. Cho hai đường thẳng phân biệt a; b và mặt phẳng α. Giả sử $a\,\parallel \,\left( \alpha \right)$ và $b\,\parallel \,\left( \alpha \right)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a và b không có điểm chung.
B. a và b hoặc song song hoặc chéo nhau.
C. a và b hoặc song song hoặc chéo nhau hoặc cắt nhau.
D.a và b chéo nhau.
Câu 6. Cho mặt phẳng (P) và hai đường thẳng song song a và b. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Nếu (P) song song với a thì (P) cũng song song với b.
B. Nếu (P) cắt a thì (P) cũng cắt b.
C. Nếu (P) chứa a thì (P) cũng chứa b.
D.Các khẳng định A, B, C đều sai.
Câu 7. Cho $d\,\parallel \,\left( \alpha \right)$, mặt phẳng β qua d cắt α theo giao tuyến d’. Khi đó:
A. $d\,\parallel \,d'.$
B. d cắt d’.
C. d và d’ chéo nhau.
D.$d \equiv d'.$
Câu 8. Có bao nhiêu mặt phẳng song song với cả hai đường thẳng chéo nhau?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D.Vô số.
Gọi a và b là 2 đường thẳng chéo nhau, c là đường thẳng song song với a và cắt b.
Gọi $\left( \alpha \right) \equiv \left( {b,c} \right)$. Do $a\,\parallel \,c \Rightarrow a\,\parallel \,\left( \alpha \right)$.
Giả sử $\left( \beta \right)\,\parallel \,\left( \alpha \right)$.
Mặt khác, $a\,\parallel \,\left( \alpha \right) \Rightarrow a\,\parallel \,\left( \beta \right)$.
Có vô số mặt phẳng $\left( \beta \right)\,\parallel \,\left( \alpha \right)$. Vậy có vô số mặt phẳng song song với 2 đường thẳng chéo nhau. Chọn D.
Câu 9. Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Có duy nhất một mặt phẳng song song với a và b.
B. Có duy nhất một mặt phẳng qua a và song song với b.
C. Có duy nhất một mặt phẳng qua điểm M, song song với a và b (với M là điểm cho trước).
D.Có vô số đường thẳng song song với (P) và cắt b.
Câu 10. Cho ba đường thẳng đôi một chéo nhau a, b, c. Gọi (P) là mặt phẳng qua a, (Q) là mặt phẳng qua b sao cho giao tuyến của (P) và (Q) song song với c. Có nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng (P) và (Q) thỏa mãn yêu cầu trên?
A. Một mặt phẳng (P), một mặt phẳng (Q).
B. Một mặt phẳng (P), vô số mặt phẳng (Q).
C. Một mặt phẳng (Q), vô số mặt phẳng (P).
D.Vô số mặt phẳng (P) và (Q).
Vì c song song với giao tuyến của (P) và (Q) nên c//(P) và $c\,\parallel \,\left( Q \right)$.
Khi đó, (P) là mặt phẳng chứa .. và song song với c, mà a và c chéo nhau nên chỉ có một mặt phẳng như vậy.
Tương tự cũng chỉ có một mặt phẳng (Q) chứa b và song song với c.
Vậy có nhiều nhất một mặt phẳng (P) và một mặt phẳng (Q) thỏa yêu cầu bài toán. Chọn A
Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P) Căn cứ vào số điểm chung của đường thẳng và mặt phẳng ta có ba trường hợp sau:
a. Đường thẳng a và mặt phẳng (P) không có điểm chung, tức là: $a \cap \left( P \right) = \emptyset \,\, \Leftrightarrow \,\,a\parallel \left( P \right).$
b. Đường thẳng d và mặt phẳng (P) chỉ có một điểm chung, tức là: $a \cap \left( P \right) = A\,\, \Leftrightarrow \,\,a$ cắt (P) tại a.
c. Đường thẳng a và mặt phẳng (P) có hai điểm chung, tức là:
2. Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng
Định lí 1: Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và song song với một đường thẳng nào đó trong (P) thì a song song với (P)
Tức là, $a \not\subset \left( P \right)$ thì nếu: $a\parallel d \subset \left( P \right) \Rightarrow a\parallel \left( P \right).$
3. Tính chất
Định lí 2: Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) thì mọi mặt phẳng (Q) chứa a mà cắt (P) thì sẽ cắt theo một giao tuyến song song với a.
Tức là, nếu $\left\{ \begin{array}{l}a\parallel \left( P \right)\\a \subset \left( Q \right)\,\,\,\,\left[ {\left( Q \right) \cap \left( P \right) = d} \right]\end{array} \right. \Rightarrow \,\,a\parallel d.$
Hệ quả 1: Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường thẳng nào đó trong mặt phẳng.
Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến (nếu có) của chúng song song với đường thẳng đó.
Tức là: $\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \cap \left( Q \right) = d\\\left( P \right)\parallel a\\\left( Q \right)\parallel a\end{array} \right. \Rightarrow \,\,d\parallel a.$
Hệ quả 3: Nếu a và b là hai đường thẳng chéo nhau thì qua a có một và chỉ một mặt phẳng song song với b.
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P) trong không gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối của a và (P)?
A. 2.
B. 3.
C. 1.
D.4.
Có 3 vị trí tương đối của a và (P), đó là: a nằm trong (P), a song song với (P) và a cắt (P). Chọn B
A. $a\,\parallel \,\left( \alpha \right).$
B. $a \subset \left( \alpha \right).$
C. a cắt (P).
D.$a\,\parallel \,\left( \alpha \right)$ hoặc $a \subset \left( \alpha \right).$
Chọn D.
A. $a\,\parallel \,b.$
B. a; b chéo nhau.
C. $a\,\parallel \,b$ hoặc $a,\;b$ chéo nhau.
D.a; b cắt nhau.
Vì $a\,\parallel \,\left( \alpha \right)$ nên tồn tại đường thẳng $c \subset \left( \alpha \right)$ thỏa mãn $a\,\parallel \,c.$ Suy ra $b,\;c$ đồng phẳng và xảy ra các trường hợp sau:
Nếu b song song hoặc trùng với c thì $a\,\parallel \,b$.
Nếu b cắt c thì b cắt $\left( \beta \right) \equiv \left( {a,c} \right)$ nên a; b không đồng phẳng. Do đó a; b chéo nhau.
Chọn C
A. Nếu $b\,\parallel \,\left( \alpha \right)$ thì $b\,\parallel \,a.$
B. Nếu b cắt α thì b cắt a.
C. Nếu $b\,\parallel \,a$ thì $b\,\parallel \,\left( \alpha \right).$
D.Nếu b cắt α và β chứa b thì giao tuyến của α và β là đường thẳng cắt cả a và b.
Chọn C
A sai. Nếu $b\,\parallel \,\left( \alpha \right)$ thì $b\,\parallel \,a$ hoặc a; b chéo nhau.
B sai. Nếu b cắt α thì b cắt a hoặc a; b chéo nhau.
D sai. Nếu b cắt α và β chứa b thì giao tuyến của α và β là đường thẳng cắt a hoặc song song với a.
A sai. Nếu $b\,\parallel \,\left( \alpha \right)$ thì $b\,\parallel \,a$ hoặc a; b chéo nhau.
B sai. Nếu b cắt α thì b cắt a hoặc a; b chéo nhau.
D sai. Nếu b cắt α và β chứa b thì giao tuyến của α và β là đường thẳng cắt a hoặc song song với a.
A. a và b không có điểm chung.
B. a và b hoặc song song hoặc chéo nhau.
C. a và b hoặc song song hoặc chéo nhau hoặc cắt nhau.
D.a và b chéo nhau.
Chọn C
A. Nếu (P) song song với a thì (P) cũng song song với b.
B. Nếu (P) cắt a thì (P) cũng cắt b.
C. Nếu (P) chứa a thì (P) cũng chứa b.
D.Các khẳng định A, B, C đều sai.
Gọi $\left( Q \right) \equiv \left( {a,b} \right)$.
A sai. Khi $b = \left( P \right) \cap \left( Q \right) \Rightarrow b \subset \left( P \right)$.
C sai. Khi $\left( P \right) \ne \left( Q \right) \Rightarrow b\,\parallel \,\left( P \right)$.
Xét khẳng định B, giả sử (P) không cắt b khi đó $b \subset \left( P \right)$ hoặc $b\,\parallel \,\left( P \right)$. Khi đó, vì $b\,\parallel \,a$ nên $a \subset \left( P \right)$ hoặc a cắt (P) (mâu thuẫn với giả thiết (P) cắt a).
Vậy khẳng định B đúng. Chọn B
A sai. Khi $b = \left( P \right) \cap \left( Q \right) \Rightarrow b \subset \left( P \right)$.
C sai. Khi $\left( P \right) \ne \left( Q \right) \Rightarrow b\,\parallel \,\left( P \right)$.
Xét khẳng định B, giả sử (P) không cắt b khi đó $b \subset \left( P \right)$ hoặc $b\,\parallel \,\left( P \right)$. Khi đó, vì $b\,\parallel \,a$ nên $a \subset \left( P \right)$ hoặc a cắt (P) (mâu thuẫn với giả thiết (P) cắt a).
Vậy khẳng định B đúng. Chọn B
A. $d\,\parallel \,d'.$
B. d cắt d’.
C. d và d’ chéo nhau.
D.$d \equiv d'.$
Ta có: $d' = \left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right)$. Do d và d’ cùng thuộc β nên d cắt .. hoặc ...
Nếu d cắt d’. Khi đó, d cắt α (mâu thuẫn với giả thiết).
Vậy $d\,\parallel \,d'$. Chọn A
Nếu d cắt d’. Khi đó, d cắt α (mâu thuẫn với giả thiết).
Vậy $d\,\parallel \,d'$. Chọn A
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D.Vô số.
Gọi a và b là 2 đường thẳng chéo nhau, c là đường thẳng song song với a và cắt b.
Gọi $\left( \alpha \right) \equiv \left( {b,c} \right)$. Do $a\,\parallel \,c \Rightarrow a\,\parallel \,\left( \alpha \right)$.
Giả sử $\left( \beta \right)\,\parallel \,\left( \alpha \right)$.
Mặt khác, $a\,\parallel \,\left( \alpha \right) \Rightarrow a\,\parallel \,\left( \beta \right)$.
Có vô số mặt phẳng $\left( \beta \right)\,\parallel \,\left( \alpha \right)$. Vậy có vô số mặt phẳng song song với 2 đường thẳng chéo nhau. Chọn D.
A. Có duy nhất một mặt phẳng song song với a và b.
B. Có duy nhất một mặt phẳng qua a và song song với b.
C. Có duy nhất một mặt phẳng qua điểm M, song song với a và b (với M là điểm cho trước).
D.Có vô số đường thẳng song song với (P) và cắt b.
Có có vô số mặt phẳng song song với 2 đường thẳng chéo nhau.
Do đó A sai. Chọn A
Do đó A sai. Chọn A
A. Một mặt phẳng (P), một mặt phẳng (Q).
B. Một mặt phẳng (P), vô số mặt phẳng (Q).
C. Một mặt phẳng (Q), vô số mặt phẳng (P).
D.Vô số mặt phẳng (P) và (Q).
Vì c song song với giao tuyến của (P) và (Q) nên c//(P) và $c\,\parallel \,\left( Q \right)$.
Khi đó, (P) là mặt phẳng chứa .. và song song với c, mà a và c chéo nhau nên chỉ có một mặt phẳng như vậy.
Tương tự cũng chỉ có một mặt phẳng (Q) chứa b và song song với c.
Vậy có nhiều nhất một mặt phẳng (P) và một mặt phẳng (Q) thỏa yêu cầu bài toán. Chọn A