Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường \(y = {x^2} - 1\) và \(y = - {x^2} + 2x + 3\) không được tính bằng công thức nào sau đây?

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Nguyên hàm | tích phân | nguyên hàm và tích phân |
Ứng Dụng Của Tích Phân Và Nguyên Hàm

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường \(y = {x^2} - 1\) và \(y = - {x^2} + 2x + 3\) không được tính bằng công thức nào sau đây?
A. \(S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( { - {x^2} - x + 2} \right)} dx\)
B. \(S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {\left( {{x^2} - 1} \right) - \left( { - {x^2} + 2x + 3} \right)} \right|} dx\)
C. \(S = \int\limits_2^{ - 1} {\left( {2{x^2} - 2x - 4} \right)} dx\)
D. \(S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {2{x^2} - 2x - 4} \right|} dx\)
 

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Học lớp hướng dẫn giải
Ta có phương trình hoành độ giao điểm:
\(- {x^2} + 2x + 3 = {x^2} - 1\)
\(\Leftrightarrow 2{x^2} - 2x - 4 = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 1}\\ {x = 2} \end{array}} \right.\)
Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số đã cho được tính bằng công thức:
\(S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {\left( {{x^2} - 1} \right) - \left( { - {x^2} + 2x + 3} \right)} \right|} dx\).
Từ đây suy ra phương án B và D đúng.
C đúng vì:
\(\begin{array}{l} S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {\left( {{x^2} - 1} \right) - \left( { - {x^2} + 2x + 3} \right)} \right|} dx\\ = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {2{x^2} - 2x - 4} \right|} dx = \int\limits_2^{ - 1} {\left( {2{x^2} - 2x - 4} \right)} dx\\ (do\,2{x^2} - 2x - 4 < 0,\forall x \in \left( { - 1;2} \right)\, \end{array}\)
Nhận xét ta có thể suy ra ngay A sai vì rõ ràng thiếu hẳn hệ số 2 và \({ - {x^2} - x + 2}\) không lớn hơn 0 \(\forall x\in(-1;2)\).