Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
Dãy số cấp số cộng cấp số nhân là một chuyên đề lớn trong toán học 11. Vậy dãy số là gì? Cấp số cộng, cấp số nhân là gì? Có những dạng bài nào liên quan tới phần kiến thức này?
day-so-va-cap-so-cong-jpg.7405

I. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

Việc sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh f( n ) có tính chất K với n ∈ N ta thực hiện theo các bước sau:
  • Bước 1: (Bước cơ sở): Chứng tỏ với n = 1 thì f(1) thoả mãn tính chất K.
  • Bước 2: (Bước quy nạp): Giả sử số hạng f(k) thoả mãn tính chất K. Ta đi chứng minh số hạng f(k + 1) cũng thoả mãn tính chất K.
  • Bước 3: Kết luận.

II. DÃY SỐ

1. ĐỊNH NGHĨA

Định nghĩa 1: Một hàm số u xác định trên tập hợp N* các số nguyên dương được gọi là một dãy số vô hạn (hay còn gọi tắt là dãy số).
Kí hiệu (u$_n$) hay ở dạng khai triển là u$_1$, u$_2$, …, u$_n$, …

2. CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ

Một dãy số thường được xác định bằng một trong các cách:
Cách 1: Dãy số xác định bởi một công thức cho số hạng tổng quát u$_n$.
Thí dụ 1: Dãy số (u$_n$) xác định bởi u$_n$ = 2n + 1. Khi đó, nếu viết dãy số này dưới dạng khai triển, ta được 3, 5, 7, …, 2n + 1, ….
Cách 2: Dãy số xác định bởi một công thức truy hồi (hay còn nói cho dãy số bằng quy nạp), tức là:
  • Trước tiên, cho số hạng đầu (hoặc vài số hạng đầu).
  • Cho công thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó.
Thí dụ 2: Dãy số (v$_n$) xác định bởi: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{v_1} = {v_2} = 1}\\ {{v_n} = {v_{n - 2}} + {v_{n - 1}},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} voi\,{\mkern 1mu} n \ge 3} \end{array}} \right.$
Khi đó, nếu viết dãy số này dưới dạng khai triển, ta được: v$_1$ = 1, v$_2$ = 1, v$_3$ = 2, v$_4$ = 3, v$_5$ = 5, … Dãy số này được gọi là dãy số Phibônaxi.

Cách 3: Dãy số xác định bởi một mệnh đề mô tả các số hạng liên tiếp của nó.

Thí dụ 3: Cho dãy số (u$_n$) với u$_n$ là chữ số thứ n trong cách viết thập phân của số π, khi đó ta có dãy số:
u$_1$ = 3, u$_2$ = 1, u$_3$ = 4, u$_4$ = 1, u$_5$ = 5, … Trong trường hợp này ta không tìm được công thức biểu thị số hạng u$_n$ qua n.

3. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM

Định nghĩa 2:
a. Dãy số (u$_n$) được gọi là dãy số tăng nếu ∀n ∈ N*, u$_n$ < u$_{n+1}$.
b. Dãy số (u$_n$) được gọi là dãy số giảm nếu ∀n ∈ N*, u$_n$ > u$_{n+1}$.
Vậy, ta thấy:
  • Với dãy số (u$_n$) tăng, ta có u$_1$ < u$_2$ < u$_3$ < … < u$_n$ < ….
  • Với dãy số (u$_n$) tăng, ta có u$_1$ > u$_2$ > u$_3$ > … > u$_n$ > ….

4. DÃY SỐ BỊ CHẶN

Định nghĩa 3:
a. Dãy số (u$_n$) được gọi là bị chặn trên nếu ∃M ∈ R : u$_n$ ≤ M, ∀n ∈ N*.
b. Dãy số (u$_n$) được gọi là bị chặn dưới nếu ∃m ∈ R : u$_n$ ≥ m, ∀n ∈ N*.
c. Dãy số (u$_n$) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là: ∃m, M ∈ R : m ≤ u$_n$ ≤ M, ∀n ∈ N*.

III. CẤP SỐ CỘNG

a. ĐỊNH NGHĨA
Định nghĩa:
Dãy số (u$_n$) được xác định bởi: $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = u\\{u_{n + 1}} = {u_n} + d,\,\,\forall n \in {N^*}\end{array} \right.$
(u, d là hai số thực cho trước) được gọi là cấp số cộng.
  • u là số hạng đầu tiên.
  • d là công sai.
Đặc biệt khi d = 0 thì (u$_n$) là dãy số trong đó tất cả các số hạng đều bằng nhau.

5. CÁC TÍNH CHẤT

Định lí 1: Ba số u$_n$, u$_{n+1}$, u$_{n+2}$ là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng (u$_n$) nếu: u$_{n+1}$ = $\frac{1}{2}$(u$_n$ + u$_{n+2}$).

Định lí 2: Số hạng thứ n của cấp số cộng (u$_n$) được cho bởi công thức: u$_n$ = u$_1$ + (n - 1)d.

Định lí 3: Tổng của n số hạng đầu tiên (kí hiệu là S$_n$) của cấp số cộng (u$_n$) được cho bởi công thức: S$_n$ = u$_1$ + u$_2$ + … + u$_n$ = $\frac{n}{2}$(u$_1$ + u$_n$) = $\frac{n}{2}$[2u$_1$ + (n - 1)d].

PHÂN DẠNG BÀI TẬP CẤP SỐ CỘNG


DẠNG 1: Chứng minh một dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ là cấp số cộng.
PHƯƠNG PHÁP
Để chứng minh dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ là một cấp số cộng, ta xét $A={{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}$
  • Nếu A là hằng số thì $\left( {{u}_{n}} \right)$ là một cấp số cộng với công sai $d=A$.
  • Nếu A phụ thuộc vào n thì $\left( {{u}_{n}} \right)$ không là cấp số cộng.
Ví dụ: Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số cộng. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó:
a). Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ với ${{u}_{n}}=19n-5$
b). Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ với ${{u}_{n}}=-3n+1$
c). Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ với ${{u}_{n}}={{n}^{2}}+n+1$
d). Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ với ${{u}_{n}}={{\left( -1 \right)}^{n}}+10n$
LỜI GIẢI
a). Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ với ${{u}_{n}}=19n-5$
Ta có ${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=19\left( n+1 \right)-5-\left( 19n-5 \right)=19$. Vậy $\left( {{u}_{n}} \right)$ là một cấp số cộng với công sai $d=19$và số hạng đầu ${{u}_{1}}=19.1-5=14$.

b). Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ với ${{u}_{n}}=-3n+1$
Ta có ${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=-3(n+1)+1-(-3n+1)=-3$. Vậy $\left( {{u}_{n}} \right)$ là một cấp số cộng với công sai $d=-3$và số hạng đầu ${{u}_{1}}=-3.1+1=-2$.

c). Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ với ${{u}_{n}}={{n}^{2}}+n+1$
Ta có ${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}={{\left( n+1 \right)}^{2}}+\left( n+1 \right)+1-\left( {{n}^{2}}+n+1 \right)=2n+2$, phụ thuộc vào n
Vậy $\left( {{u}_{n}} \right)$ không là cấp số cộng.

d). Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ với ${{u}_{n}}={{\left( -1 \right)}^{n}}+10n$
Ta có ${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}={{\left( -1 \right)}^{n+1}}+10\left( n+1 \right)-\left[ {{\left( -1 \right)}^{n}}+10n \right]=-{{\left( -1 \right)}^{n}}+10-{{\left( -1 \right)}^{n}}=10-2{{\left( -1 \right)}^{n}}$, phụ thuộc vào n. Vậy $\left( {{u}_{n}} \right)$ không là cấp số cộng.

DẠNG 2: Tìm số hạng đầu tiên, công sai của cấp số cộng, tìm số hạng thứ k của cấp số cộng, tính tổng k số hạng đầu tiên.
PHƯƠNG PHÁP
  • Ta thiết lập một hệ phương trình gồm hai ẩn ${{u}_{1}}$ và d. Sau đó giải hệ phương trình này tìm được ${{u}_{1}}$ và d.
  • Muốn tìm số hạng thứ k, trước tiên ta phải tìm ${{u}_{1}}$ và d. Sau đó áp dụng công thức: ${{u}_{k}}={{u}_{1}}+\left( k-1 \right)d$.
  • Muốn tính tổng của k số hạng đầu tiên, ta phải tìm ${{u}_{1}}$ và d. Sau đó áp dụng công thức: ${{S}_{k}}=\frac{k\left( {{u}_{1}}+{{u}_{k}} \right)}{2}=\frac{k\left[ 2{{u}_{1}}+(k-1)d \right]}{2}$
Ví dụ: Tìm số hạng đầu tiên, công sai, số hạng thứ 20 và tổng của 20 số hạng đầu tiên của các cấp số cộng sau, biết rằng:
a/ $\left\{ \begin{array}{l}
{u_5} = 19\\
{u_9} = 35
\end{array} \right.$

b/ $\left\{ \begin{array}{l}
{u_2} - {u_3} + {u_5} = 10\\
{u_4} + {u_6} = 26
\end{array} \right.$

c/ $\left\{ \begin{array}{l}
{u_3} + {u_5} = 14\\
{s_{12}} = 129
\end{array} \right.$

d/ $\left\{ \begin{array}{l}
{u_6} = 8\\
{u_2}^2 + {u_4}^2 = 16
\end{array} \right.$
LỜI GIẢI
a/ $\left\{ \begin{array}{l}
{u_5} = 19\\
{u_9} = 35
\end{array} \right.{\rm{ }}\left( 1 \right)$
Áp dụng công thức ${{u}_{n}}={{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d$, ta có:
$\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} + 4d = 19\\
{u_1} + 8d = 35
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 3\\
d = 4
\end{array} \right.$
Vậy số hạng đầu tiên ${{u}_{1}}=3$, công sai $d=4$.
Số hạng thứ 20: ${{u}_{20}}={{u}_{1}}+19d=3+19.4=79$.
Tổng của 20 số hạng đầu tiên: ${{S}_{20}}=\frac{20\left( 2{{u}_{1}}+19d \right)}{2}=10\left( 2.3+19.4 \right)=820$

b/ $\left\{ \begin{array}{l}
{u_2} - {u_3} + {u_5} = 10\\
{u_4} + {u_6} = 26
\end{array} \right.{\rm{ }}\left( 1 \right)$
Ta cũng áp dụng công thức ${{u}_{n}}={{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d$:
$\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} + d - \left( {{u_1} + 2d} \right) + {u_1} + 4d = 10\\
{u_1} + 3d + {u_1} + 5d = 26
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} + 3d = 10\\
2{u_1} + 8d = 26
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 1\\
d = 3.
\end{array} \right.$
Vậy số hạng đầu tiên ${{u}_{1}}=1$, công sai $d=3$.
Số hạng thứ 20: ${{u}_{20}}={{u}_{1}}+19d=1+19.3=58$.
Tổng của 20 số hạng đầu tiên: ${{S}_{20}}=\frac{20\left( 2{{u}_{1}}+19d \right)}{2}=10\left( 2.1+19.3 \right)=590$

c/ $\left\{ \begin{array}{l}
{u_3} + {u_5} = 14\\
{s_{12}} = 129
\end{array} \right.{\rm{ }}\left( 1 \right)$
Áp dụng công thức ${{u}_{n}}={{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d$, ${{S}_{n}}=\frac{n\left[ 2{{u}_{1}}+(n-1)d \right]}{2}$ Ta có:
$\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} + 2d + {u_1} + 4d = 14\\
6\left( {{u_1} + {u_{{\kern 1pt} 12}}} \right) = 129
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2{u_1} + 6d = 14\\
12{u_1} + 66d = 129
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = \frac{5}{2}\\
d = \frac{3}{2}.
\end{array} \right.$
Vậy số hạng đầu tiên ${{u}_{1}}=\frac{5}{2}$, công sai $d=\frac{3}{2}$.
Số hạng thứ 20: ${{u}_{20}}={{u}_{1}}+19d=\frac{5}{2}+19.\frac{3}{2}=31$.
Tổng của 20 số hạng đầu tiên: ${{S}_{20}}=\frac{20\left( 2{{u}_{1}}+19d \right)}{2}=10\left( 2.\frac{5}{2}+19.\frac{3}{2} \right)=335$

d/ $\left\{ \begin{array}{l}
{u_6} = 8\\
{u_2}^2 + {u_4}^2 = 16
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} + 5d = 8\\
{\left( {{u_1} + d} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 3d} \right)^2} = 16
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 8 - 5d\\
{\left( {8 - 5d + d} \right)^2} + {\left( {8 - 5d + 3d} \right)^2} = 16
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 8 - 5d\\
{\left( {8 - 4d} \right)^2} + {\left( {8 - 2d} \right)^2} = 16{\rm{ }}\left( * \right)
\end{array} \right.$
Giải $\left( * \right)$ :$20{{d}^{2}}-96d+112=0\Leftrightarrow d=\frac{14}{5}\text{ }\vee \text{ d = 2}$.
Với$d=\frac{14}{5}\Rightarrow {{u}_{1}}=-6$
Số hạng thứ 20: ${{u}_{20}}={{u}_{1}}+19d=-6+19.\frac{14}{5}=\frac{236}{5}$.
Tổng của 20 số hạng đầu tiên: ${{S}_{20}}=\frac{20\left( 2{{u}_{1}}+19d \right)}{2}=10\left( 2.(-6)+19.\frac{14}{5} \right)=412$
Với$d=2\Rightarrow {{u}_{1}}=-2$
Số hạng thứ 20: ${{u}_{20}}={{u}_{1}}+19d=-2+19.2=36$.
Tổng của 20 số hạng đầu tiên: ${{S}_{20}}=\frac{20\left( 2{{u}_{1}}+19d \right)}{2}=10\left( 2.(-2)+19.2 \right)=340$

DẠNG 3: Dựa vào tính chất của cấp số cộng, chứng minh đẳng thức:
Ví dụ:
Cho a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, chứng minh rằng:
a).${{a}^{2}}+2bc={{c}^{2}}+2ab$
b).${{a}^{2}}+8bc={{\left( 2b+c \right)}^{2}}$
c).${{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}},{{a}^{2}}+ac+{{c}^{2}},{{b}^{2}}+bc+{{c}^{2}}$ là cấp số cộng.

LỜI GIẢI
a). Vì a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng: $a+c=2b\Leftrightarrow a=2b-c$
Ta có:${{a}^{2}}-2ab={{a}^{2}}-a\left( a+c \right)=-ac$ $=-c\left( 2b-c \right)={{c}^{2}}-2bc$
Vậy${{a}^{2}}-2ab={{c}^{2}}-2bc\Leftrightarrow {{a}^{2}}+2bc={{c}^{2}}+2ab.$

b). Ta có ${{a}^{2}}+8bc={{\left( 2b-c \right)}^{2}}+8bc$
$=4{{b}^{2}}-4bc+{{c}^{2}}+8bc$ $=4{{b}^{2}}+4bc+{{c}^{2}}$ $={{\left( 2b+c \right)}^{2}}.$

c). Ta cần chứng minh:
$\left( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right)+\left( {{b}^{2}}+bc+{{c}^{2}} \right)=2\left( {{a}^{2}}+ac+{{c}^{2}} \right)$
$\Leftrightarrow 2{{b}^{2}}+ab+bc={{a}^{2}}+2ac+{{c}^{2}}$
$\Leftrightarrow 2{{b}^{2}}+b\left( a+c \right)={{\left( a+c \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow 2{{b}^{2}}+2{{b}^{2}}={{\left( 2b \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow 4{{b}^{2}}=4{{b}^{2}}$ (đúng).

IV. CẤP SỐ NHÂN

1. ĐỊNH NGHĨA

Định nghĩa: Dãy số (u$_n$) được xác định bởi:
$\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = u\\{u_{n + 1}} = {u_n}.q,\,\,\forall n \in {N^*}\end{array} \right.$
(u, q là hai số thực khác 0 cho trước) được gọi là cấp số nhân.
  • u là số hạng đầu tiên.
  • q là công bội.
Đặc biệt khi q = 1 thì (u$_n$) là dãy số trong đó tất cả các số hạng đều bằng nhau.

2. CÁC TÍNH CHẤT

Định lí 1: Ba số u$_n$, u$_{n+1}$, u$_{n+2}$ là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân (u$_n$) nếu: $u_{n + 1}^2$ = u$_n$.u$_{n+2}$.

Định lí 2: Số hạng thứ n của cấp số nhân (u$_n$) được cho bởi công thức: u$_n$ = u$_1$.qn - 1.

Định lí 3: Tổng của n số hạng đầu tiên S$_n$ của cấp số nhân (u$_n$) được cho bởi công thức: S$_n$ = u$_1$ + u$_2$ + … + u$_n$ = u$_1$.$\frac{{{q^n} - 1}}{{q - 1}}$.
 
Sửa lần cuối:

Bình luận bằng Facebook