Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

Việc sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh f( n ) có tính chất K với n ∈ N ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: (Bước cơ sở): Chứng tỏ với n = 1 thì f(1) thoả mãn tính chất K.
Bước 2: (Bước quy nạp): Giả sử số hạng f(k) thoả mãn tính chất K. Ta đi chứng minh số hạng f(k + 1) cũng thoả mãn tính chất K.
Bước 3: Kết luận.

II. DÃY SỐ
1. ĐỊNH NGHĨA
Định nghĩa 1:
Một hàm số u xác định trên tập hợp N* các số nguyên dương được gọi là một dãy số vô hạn (hay còn gọi tắt là dãy số).
Kí hiệu (u$_n$) hay ở dạng khai triển là u$_1$, u$_2$, …, u$_n$, …

2. CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ
Một dãy số thường được xác định bằng một trong các cách:
Cách 1: Dãy số xác định bởi một công thức cho số hạng tổng quát u$_n$.
Thí dụ 1: Dãy số (u$_n$) xác định bởi u$_n$ = 2n + 1. Khi đó, nếu viết dãy số này dưới dạng khai triển, ta được 3, 5, 7, …, 2n + 1, ….
Cách 2: Dãy số xác định bởi một công thức truy hồi (hay còn nói cho dãy số bằng quy nạp), tức là:
* Trước tiên, cho số hạng đầu (hoặc vài số hạng đầu).
* Cho công thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó.

Thí dụ 2: Dãy số (v$_n$) xác định bởi:
$\left\{ \begin{array}{l}{v_1} = {v_2} = 1\\{v_n} = {v_{n - 2}} + {v_{n - 1}},\,\,v\'i i\,n \ge 3\end{array} \right.$.
Khi đó, nếu viết dãy số này dưới dạng khai triển, ta được: v$_1$ = 1, v$_2$ = 1, v$_3$ = 2, v$_4$ = 3, v$_5$ = 5, … Dãy số này được gọi là dãy số Phibônaxi.

Cách 3: Dãy số xác định bởi một mệnh đề mô tả các số hạng liên tiếp của nó.
Thí dụ 3: Cho dãy số (u$_n$) với u$_n$ là chữ số thứ n trong cách viết thập phân của số π, khi đó ta có dãy số:
u$_1$ = 3, u$_2$ = 1, u$_3$ = 4, u$_4$ = 1, u$_5$ = 5, … Trong trường hợp này ta không tìm được công thức biểu thị số hạng u$_n$ qua n.

3. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM
Định nghĩa 2:

a. Dãy số (u$_n$) được gọi là dãy số tăng nếu ∀n ∈ N*, u$_n$ < u$_{n+1}$.
b. Dãy số (u$_n$) được gọi là dãy số giảm nếu ∀n ∈ N*, u$_n$ > u$_{n+1}$.
Vậy, ta thấy:
* Với dãy số (u$_n$) tăng, ta có u$_1$ < u$_2$ < u$_3$ < … < u$_n$ < ….
* Với dãy số (u$_n$) tăng, ta có u$_1$ > u$_2$ > u$_3$ > … > u$_n$ > ….

4. DÃY SỐ BỊ CHẶN
Định nghĩa 3:

a. Dãy số (u$_n$) được gọi là bị chặn trên nếu ∃M ∈ R : u$_n$ ≤ M, ∀n ∈ N*.
b. Dãy số (u$_n$) được gọi là bị chặn dưới nếu ∃m ∈ R : u$_n$ ≥ m, ∀n ∈ N*.
c. Dãy số (u$_n$) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là: ∃m, M ∈ R : m ≤ u$_n$ ≤ M, ∀n ∈ N*.

III. CẤP SỐ CỘNG
a. ĐỊNH NGHĨA
Định nghĩa:
Dãy số (u$_n$) được xác định bởi: $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = u\\{u_{n + 1}} = {u_n} + d,\,\,\forall n \in {N^*}\end{array} \right.$
(u, d là hai số thực cho trước) được gọi là cấp số cộng.
* u là số hạng đầu tiên.
* d là công sai.
Đặc biệt khi d = 0 thì (u$_n$) là dãy số trong đó tất cả các số hạng đều bằng nhau.

5. CÁC TÍNH CHẤT
Định lí 1
: Ba số u$_n$, u$_{n+1}$, u$_{n+2}$ là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng (u$_n$) nếu: u$_{n+1}$ = $\frac{1}{2}$(u$_n$ + u$_{n+2}$).
Định lí 2: Số hạng thứ n của cấp số cộng (u$_n$) được cho bởi công thức: u$_n$ = u$_1$ + (n - 1)d.
Định lí 3: Tổng của n số hạng đầu tiên (kí hiệu là S$_n$) của cấp số cộng (u$_n$) được cho bởi công thức: S$_n$ = u$_1$ + u$_2$ + … + u$_n$ = $\frac{n}{2}$(u$_1$ + u$_n$) = $\frac{n}{2}$[2u$_1$ + (n - 1)d].

IV. CẤP SỐ NHÂN
1. ĐỊNH NGHĨA
Định nghĩa:
Dãy số (u$_n$) được xác định bởi:
$\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = u\\{u_{n + 1}} = {u_n}.q,\,\,\forall n \in {N^*}\end{array} \right.$
(u, q là hai số thực khác 0 cho trước) được gọi là cấp số nhân.
* u là số hạng đầu tiên.
* q là công bội.
Đặc biệt khi q = 1 thì (u$_n$) là dãy số trong đó tất cả các số hạng đều bằng nhau.

2. CÁC TÍNH CHẤT
Định lí 1:
Ba số u$_n$, u$_{n+1}$, u$_{n+2}$ là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân (u$_n$) nếu: $u_{n + 1}^2$ = u$_n$.u$_{n+2}$.
Định lí 2: Số hạng thứ n của cấp số nhân (u$_n$) được cho bởi công thức: u$_n$ = u$_1$.qn - 1.
Định lí 3: Tổng của n số hạng đầu tiên S$_n$ của cấp số nhân (u$_n$) được cho bởi công thức: S$_n$ = u$_1$ + u$_2$ + … + u$_n$ = u$_1$.$\frac{{{q^n} - 1}}{{q - 1}}$.
Nguồn: Học Lớp
 

Bình luận bằng Facebook