Thí dụ 1. Chứng minh rằng:
a. Hàm số y = tanx thoả mãn hệ thức y' – y$^2$ - 1 = 0.
b. Hàm số y = cot2x thoả mãn hệ thức y' + 2y$^2$ + 2 = 0.
Khi đó, ta có: y' - y$^2$ - 1 = $\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$ - tan$^2$x - 1 = $\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$ - $\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$ = 0, đpcm.
b. Trước tiên, ta có: y' = -$\frac{2}{{{{\sin }^2}2x}}$.
Khi đó, ta có: y' + 2y$^2$ + 2 = -$\frac{2}{{{{\sin }^2}2x}}$ + 2cot$^2$2x + 2 = -$\frac{2}{{{{\sin }^2}2x}}$ + $\frac{2}{{{{\sin }^2}2x}}$ = 0.
Thí dụ 2. Cho hàm số f(x) = 2cos$^2$(4x - 1). Chứng minh rằng với mọi x ta có |f'(x)| ≤ 8. Tìm giá trị của x để đẳng thức xảy ra.
Suy ra: |f'(x)| = |-8sin(8x - 2)| = 8|sin(8x - 2)| ≤ 8,
dấu đẳng thức xảy ra khi: sin(8x - 2) = 1 <=> 8x - 2 = $\frac{\pi }{2}$ + 2kπ
<=> x = $\frac{\pi }{{16}}$ + $\frac{1}{4}$ + $\frac{{k\pi }}{8}$, k ∈ \(\mathbb{Z}\).
a. Hàm số y = tanx thoả mãn hệ thức y' – y$^2$ - 1 = 0.
b. Hàm số y = cot2x thoả mãn hệ thức y' + 2y$^2$ + 2 = 0.
Giải
a. Trước tiên, ta có: y' = $\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$.Khi đó, ta có: y' - y$^2$ - 1 = $\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$ - tan$^2$x - 1 = $\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$ - $\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$ = 0, đpcm.
b. Trước tiên, ta có: y' = -$\frac{2}{{{{\sin }^2}2x}}$.
Khi đó, ta có: y' + 2y$^2$ + 2 = -$\frac{2}{{{{\sin }^2}2x}}$ + 2cot$^2$2x + 2 = -$\frac{2}{{{{\sin }^2}2x}}$ + $\frac{2}{{{{\sin }^2}2x}}$ = 0.
Thí dụ 2. Cho hàm số f(x) = 2cos$^2$(4x - 1). Chứng minh rằng với mọi x ta có |f'(x)| ≤ 8. Tìm giá trị của x để đẳng thức xảy ra.
Giải
Ta có: f'(x) = -16sin(4x - 1).cos(4x - 1) = -8sin(8x - 2).Suy ra: |f'(x)| = |-8sin(8x - 2)| = 8|sin(8x - 2)| ≤ 8,
dấu đẳng thức xảy ra khi: sin(8x - 2) = 1 <=> 8x - 2 = $\frac{\pi }{2}$ + 2kπ
<=> x = $\frac{\pi }{{16}}$ + $\frac{1}{4}$ + $\frac{{k\pi }}{8}$, k ∈ \(\mathbb{Z}\).
Nguồn: Học Lớp